微积分中导数运用

一、简单介绍导数在微积分的学习内容中处在核心的位置。学生对它的学习是从简单的引例出发,引出概念和求导法则,最后会以部分的应用来进行简单的总结。在课堂的教学中,教师往往重视引例的讲解,而忽略在总结部分应用的讲解,其中一个原因就是在应用部分的例子往往本文对导数的应用给出几个简单的应用实例,可以对教师的课堂授课进行有效地补充,以此来激发学生的兴趣。全文结构如下:在第二章我们给出简单的导数的定义,并给出两个最为直接的例子。在第三章我们对实际应用进行举例。总结部分在第四章给出。

二、基础知识

定义2.1.设函数在点的某邻域有定义,当自变量在处取得变量时,函数相应的取得变量

如果极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为。若令=+,则当0时,,于是导数的定义又可以表示为(1)从(1)可以看出,导数是函数在某点处切线的斜率。我们给出导数的直接应用如下:

(一)在函数图像中的应用

如果>0,那么函数的图像是上升的;如果<0,那么函数的图像是下降的。进一步,如果函数的导数的导数(二阶导数)>0,说明函数的一阶导数是越来越大的(即增长越来越快),那么函数的图像是凹函数;如果函数的导数的导数(二阶导数)<0,说明函数的一阶导数是越来越小的(即增长越来越慢),那么函数的图像是凸函数;

(二)极大极小的应用

当函数的一阶导数在某一点的正负值发生变化时,函数就会出现极值问题。如果在处,函数左边的导数,而右边的导数,那么在处函数达到极大值,相反就是极小值。我们在下一章将给出一些更加实际的应用。

三、导数的应用举例补充

(一)相关率的问题

正如一棵大树的树冠和高度的成长需要关系到日照,土地的营养,以及周围树木的距离等,相关率问题经常在生活中得到体现。例3.1:一个氢气球以每分钟10立方米的充气速度进行充气,假设现在气球的体积是20立方米,那么此时气球半径的增长速度是多少?问题求解如下:已知气球体积和半径的关系式(2)由(2)得当体积是20的时候。已知问题的自由变量为时间,对(2)进行链式法则求导,可知(3)现在给定的是,代入(3)可得例3.2.一个十三米的梯子斜靠在墙上,底部相距5米,由于某种原因,梯子底部开始滑动,滑动速率为每分钟1米,问题求解如下:设当时间为时梯子的高度为,梯子底部同墙的距离为,那么有2+2=132(4)方程的两端同时对求导可得那么可得(5)这是我们已知是=5,根据(4)可得此时,因为=1,那么由(5)可得,(取负值是因为梯子的高度在下降)。

(二)自由落体问题

已知在地球表面,重力加速度是9.8,假设是物体的高度,那么显然,负号是因为高度下降。那么我们进行逆推,高度的变化率(速度)是多少呢?因为一次多项式的导数是常数项,那么可以猜测(6)如果初始速度是0的话,那么可以得知那么我们进一步来猜测高度是多少呢?同理来猜测得:(7)例3.3.如果一个球以每秒20米的速度掉到地上,问该球的初始高度是多少?由于初始速度为0,那么由(6)可以知道速度达到20米/秒时的时间为。当球落到地上是高度为0,那么由(7)可得那么易得初始高度为40.8米。

四、结论

导数在实际问题中的应用是非常广泛的,如何在课堂中应用简单的例子来对导数的应用进行讲解对于进一步的激发学生的学习兴趣有很大的促进作用。本文通过运用相关变化率和自由落体的例子来对导数的应用做进一步的解释,这几个例子思想简单,作用明显,非常适合学生在课堂中掌握。