时间：2023-03-14 14:36:51
2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系;
3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学难点平方根和算术平方根的联系与区别
知识重点平方根的概念和求数的平方根。
教学过程(师生活动)设计理念
思考归纳
导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少?
学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和-3.受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数.注意中括号的作用.
又如：，则x等于多少呢?
使学生完成课本165页的填表练习.
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.即：如果=a，那么x叫做a的平方根.
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
例如：3的平方等于9，9的平方根是3，所以平方与开平方互为逆运算.
观察：课本165页中的图10.1-2.
图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质.
让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根.
注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数.
例1：(课本165页的例4)。求下列各数的平方根。
(1)100(2)(3)0.25
建议教师要规范书写格式。这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验.
在等式中求出x的值，为填表做准备.
通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备.
教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产
生发展的过程.(通常称为平方根.在研究有关n次方根的问题
时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法.
3表示+3和一3两个数.这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。
通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根.这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备.
讨论归纳
深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：
正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗?
建议：可引导学生通过观察=a中的a和x的取值范围和取值个数得出.
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表.
注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另
一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外).教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点.
引入符号：正数a的算术平方根可用表示;正数a的负的平方根可用-表示.例如……
思考：表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢?
而对于又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?通过讨论，使学生对有理数的平方根有一个全面的认识.也是平方根概念的进一步深化.
体验分类思想，巩固平方根概念.
加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用.
测试学生对平方根概念的掌握情况.
应用例2下列各数有平方根?如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
-64、0，，
如果有要用平方根的符号来表示。
例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。
(1)，(2)-，(3)
(4)，
建议：要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系.区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根.
思考：-的值是多少?熟练应用平方根的概念，计算有关算式的值，是本课的主要内容。
被开方数不是完全平方数时，可用计算器求出它的近似值
练习巩固课本第167页的练习
小结：
1、什么叫做一个数的平方根?
2、正数、0、负数的平方根有什么规律?
3、怎样求出一个数的平方根?数a的平方怎样表示?
小结与作业
布置作业教科书第167页习题10.1第3、4、7、8、11、12题。
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式=a和已有算术
平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了.
2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法.
课题：10.2立方根(1)
教学目标1、了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根;
2、了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根;
3、让学生体会一个数的立方根的惟一性;
4、分清一个数的立方根与平方根的区别;
5、使学生理解“两个互为相反数的立方根的关系，即.
6、渗透特殊一般-特殊的思想方法。
教学难点立方根与平方根的区别。
知识重点立方根的概念和求法。
教学过程(师生活动)设计理念
情境导入(出示电热水器图片)
问题(1)：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50L的.如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少?
(学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演.)
解：设容积的底面直径为xdm,则
2x=50
可得，
问题是什么数的立方会等于31.84呢?学生百思不得其解，教师可在此处设置一个台阶，再设问：要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少?
在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程：
设这种包装箱的边长为xm,则=27
这就是求一个数，使它的立方等于27.
因为=27，
所以x=3.
即这种包装箱的边长应为3m.从学生生活实际中常常见到的热水器引入课题，让学生从
实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用.
空间图形都是三维的，有关空间图形的计算常常涉及开立方.
这个实际问题中的数量关系的分析对于学生来说是不成
问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题，这对学生来说是一个挑战，从而激发学生学习的兴趣.
“什么数的立方会等于31.84?”这个问题对于学生来说
是难解决的，但该问题设置的目的是激发学生学习的兴趣.
体会开立方与立方互为逆运算.
试一试(1)学生回忆平方根的概念，并联系上面的问题，请学生归纳得出立方根的概念。
(2)学生联系开平方的概念，给出开立方的概念。联系平方根的概念，让学生根据上述问题类比地给出立方根的概念，初步体会立方根与平方根的联系与区别。
练一练(1)请学生完成课本第172页习题10.2的第2题.
(2)请学生口头回答以下问题：
根据立方根的意义，求下列各数的立方根：
，-64，，1，-1体会开立方与立方互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求。
深入探究完成课本第169页的探究题：
(1)对于，可以进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢?对于下面几个问题可以类似设问.
(2)思考正数、0、负数的立方根各有什么特点?并追问一个正数有几个立方根?一个负数有几个立方根?零的立方根是什么?(学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质)
(3)尝试用符号给出数a的立方根的表示方法.(并问a可以取什么数?)通过学生自己动手计算，让学生感受任何一个数都有立方根，以及一个数的立方根的惟一性。
巩固新知例1(1)求下列各数的平方根：;1;0
(2)求下列各数的立方根。
，1，0，-1，-343，-0.729
解：略
例2求下列各式的值
(1);(2);(3)
(4);(5);(6)
(7)
请学生思考数的平方根与数的立方根有什么区别与联系呢?(学生小组讨论后，请学生相互补充.)
例3判断题：
(1)64的立方根是=()
(2)是-的立方根()
(3)()
(4)立方根等于它本身的数是0和1()
拓展新知：
(1)学生独立研究课本第170页的探究题，并不妨请同学再举几个例子，探索从上面的计算结果中可以得到什么结论?
学生自己总结出两个互为相反数的立方根的关系：,请同学再试试看可以怎样解?
(2)小组学习：课本第173页的第9题，探索从上面计算结果中可以得到什么结论?让学生进一步体会立方根与平方根的联系与区别.
例题着眼于弄清立方根的概念，因此不仅用立方的方法求
立方根，且在书写上采用了语言叙述和符号表示相互补充的方
式，让学生学会从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径.
学生讨论，自己体会平方根与立方根的区别。
教学中应该给予学生充分思考、讨论的时间，让他们自己探索并总结出两个互为相反数的立方根之间的关系。
小结与作业
课堂小结1.立方根和开立方的定义.
2.正数、0、负数的立方根的特征.
3.立方根与平方根的异同.
布置作业课本第172页习题10.2第1、3、5、6题;
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
本节课的教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，在教学方法上突出体现了创设
情境-提出问题-建立模型-解决问题的思路，在实际教学中采用了学生自主学习的教学
方式.
1、在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣.
2、在例题中做了适当的处理，把课本上的一个习题作为导入新课的引例.这个实际问题中的数量关系的分析对于学生来说是不成问题的，但在解决问题的过程中引入了新问题，
“什么数的立方会等于31.84?”，这对学生来说是一个挑战，是一个学生只有“跳一跳”才能解决的问题，所以在此处铺设了一个台阶，再设置了一个学生容易解决的问题，将学生的注意力朝着开立方运算转化为立方运算的思路引导，让学生对立方运算与开立方运算之间的互逆关系有初步认识，为进一步探究新知做好准备.
3、本章前两节的内容“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识.教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握.通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方是互逆运算中寻找解题途径.
4、在“深入探究”环节中讨论数的立方根的特征，以填空的方式让学生计算正数,0,负数的立方根，寻找它们各自的特点，通过学生讨论交流等活动，归纳得出“正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数”的结论，这样就让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程.教学中注意为学生提供一定的探索和合作交流的空间，在探究活动的过程中发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式.
5、在“拓展新知”环节中，让学生探讨了一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题，让学生体会转化的思想.
课题：10.2立方根(2)
教学目标1、使学生进一步理解立方根的概念，2、并能熟练地进行求一个数的立方根的运算;
3、能用有理数估计一个无理数的大致范围，4、使学生形成估算的意识，5、培养学生的估算能力;
6、经历运用计算器探求数学规律的过程，7、发展合情推理能力。
教学难点用有理数估计一个无理的大致范围。
知识重点用有理数估计一个无理的大致范围。
教学过程(师生活动)设计理念
复习引新1、判断题：
4的平方根是2()
1的立方根是1()
-0.125的立方根是-0.5()
的立方根是()
-6是216的立方根()
2、求下列各式的值
;;进一步理解立方根的概念，及立方根与平方根的区别。
讨论问题：有多大呢?
(这里可以让学生回忆前面学习过程中讨论有多大时的方法)。
学生小组讨论，并交流学方法。
因为，
所以
因为，
所以
因为，
所以
……
如此循环下去，可以得到更精确的的近似值，它是一个无限不循环小数，=一3.68403149……事实上，很多有理数的立方根都是无限不循环小数.我们用有理数近似地表示它们.这里在提出问题后，让学生回忆：在前一节课讨论“有多大”的方法，目的是让学生从中类比解决新问题。
立方与开立方是互逆运算，以此可以些数的立方根。
让学生经历这个估计的过程，不仅估算出有多大，培养学生的估算能力，同时也理解是无限不循环小数这个事实。
自主学习1、利用计算器来求一个数的立方根，并完成课本第171页的练习2.
(学生利用计算器的说明书独立学习.对于一些暂时还没有学会的学生，可以采用同学之间互帮互学的方式解决.)
2、学生解决上节课未解决的一个问题，简单回忆：如果要生产这种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少?(结果保留两个有效数字)
解：略在教学中，鼓励学生自己探索计算器的用法。
通过计算器的使用，解决了上节课未能解决的一个问题。
探一探，说一说1、利用计算器计算，2、并将计算结果填在表中，3、你发现了什么吗?你能说说其中的道理吗?
…
…
2、用计算器计算(结果个有效数字)。并利用你发现的规律说出，，
的近似值。计算器的使用可以使学生从繁杂的运算中解放出来，将更的精力放在更有意义的活动，如探索规律的问题，引导学生注意观察被开方数与立方根的小数点的位置移动有无规律。
小结与作业
布置作业必做：课本第172页第4、8题;
选做：课本第173页第10、11题。
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
本节课是立方根教学的第二节，主要采用学生自主学习的方式进行.
在教学设计中，设计了一个“有多大?’’的问题，因为学生在学习平方根时已经接触了的大小的问题，这里在提出问题后让学生回忆讨论“有多大”时的方法，目的是让学生从中类比解决新问题，在教学中让学生经历这个估计的过程，不仅估算出有多大，培养学生的估算能力，同时也理解是无限不循环小数这个事实.
对于计算器的使用，在教学中采用学生自己阅读计算器的说明书、自己操作练习来掌握用计算器进行开立方运算的方法，并让学生互相交流，让学生亲身体会到利用计算器不仅能给运算带来很大的方便，也给探求数量间的关系与变化带来方便.在教学过程中，教师要关注学生能否通过阅读，掌握用计算器进行开立方运算的简单操作;能否利用计算器探究数量间的关系，从而寻找出数量的变化关系.
使用计算器进行复杂运算，可以使学生学习的重点更好地集中到理解数学的本质上来，而估算也是一种具有实际应用价值的运算能力，在本节课的课堂教学中综合运用笔算、计算器和估算等培养学生的运算能力.
课题：10.3实数(1)
教学目标1、了解无理数和实数的概念;会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力;
2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义;
3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。
教学难点理解实数的概念。
知识重点正确理解实数的概念。
教学过程(师生活动)设计理念
试一试学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类.
试一试
1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现?
3，，，，，
动手试一试，说说你的发现并与同学交流.
(结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式)
可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
2、追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗?
(课件展示)
阅读下列材料：
设x=0.=0.333…①
则10x=3.333…②
则②-①得9x-3，即x=
即0.=0.333…=
根据上面提供的方法，你能把0.，0.化成分数吗?且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数?
在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。
学生自己回忆有理数的分类，为引入实数的分类作好铺
垫.
让学生动手实践，自己去发现并学会与他人交流.
在学生解决了一个问题后，层层深入地提出了一个对学生
有更大挑战性的问题，激发学生学习探索的兴趣.
引入新知1、在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数.我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”.有理数和无理数统称为实数.
例1(1)你能尝试着找出三个无理数来吗?
(2)下列各数中，哪些是有理数?哪些是无理数?
解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数一定是无理数吗?”
2、实数的分类
(1)画一画
学生自己回忆并画出有理数的分类图.
(2)挑战自己
请学生尝试画出实数的分类图.
例2把下列各数填人相应的集合内：
整数集合{…｝
负分数集合{…｝
正数集合{…｝
负数集合{…｝
有理数集合{…｝
无理数集合{…｝给出无理数定义后，请学生自己找找无理数，让学生在寻找的过程中，体会无理数的基本特征.
应该让学生自己小结得出结论：判断一个数是有理数还是
无理数，应该从它们的定义去辩别，而不能从形式上去分辩.
学生自己尝试画出实数的分类图，体会依据分类标准的不
同会有不同的分法.
探一探我们知道，在有理数中只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如3和-3，和-等，实数的相反数的意义与有理数一样。
请学生回忆在有理数中绝对值的意义.例如，|-3|=3，|0|=0，||=等等.实数绝对值的意义和有理数的绝对值的意义相同.
试一试完成课本第176页思考题.
引导学生类比地归纳出下列结论：
数a的相反数是-a
一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
随着数从有理数扩充到实数，原来在有理数范围里讨论的相反数、绝对值等，自然地拓展到实数范围内。
练一练例1求下列各数的相反数和绝对值：
2.5，-，，0，，-3
例2一个数的绝对值是，求这个数。
例3求下列各式的实数x：
(1)|x|=|-|;
(2)求满足x≤4的整数x教学中应该给学生充分发表自己想法的时间，自己体会有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数。
小结与作业
布置作业必做：课本第178页习题10.3第1、2、3题;
选做：课本第179页习题10.3第7题
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”“学东西的最好途径是亲自去发现它”“学生在学习中寻求欢乐”.在本节课的教学设计中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生学习数学的积极性和学习兴趣，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发现并与同学交流结论，在交流中尝试得出结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.进一步地提出问题：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗?引入了无理数和实数的概念后要求学生对所学过的数按照一定的标准进行分类.分类思想是解决数学问题的常用的思想，在教学过程中，教师应该创造条件，让学生体会分类标准与分类结果之间的关系.本课提出的问题“你能尝试着找出三个无理数来吗?”具有较大的开放性，给学生提供了思维空间，能促使学生积极主动地参与到数学学习过程中，亲自体验知识的形成过程.
课题：10.3实数(2)
教学目标1、知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应;
2、学会比较两个实数的大小;
母了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算;在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算;
3、通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数学结合”的数学思想。
教学难点对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解
知识重点实数与数轴上的点一一对应关系
教学过程(师生活动)设计理念
试一试我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数?无理数可以用数轴上的点来表示吗?
1、课件演示课本第175页探究题;学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会.
2、你能在数轴上画出坐标是的点吗?画一画，说说你的方法.
教师启发学生得出结论：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
练习：学生自己完成课本第178页练习第1题.
在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的.即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示;数轴上的每一个点都表示一个实数.
类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义.
3、深入探讨：平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗?除了课件演示外再让学生动手实践操作的目的是让学生直现认识到可以用数轴上的点来表示无理数，而每一个无理数都可以用数抽上的一个点来表示，即无理数与数轴上的点之间的对应关系.
通过练习，让学生对于实数可以用数抽上的点表示，数抽上的一个点表示一个实数有了直现的认识，体会实数与数抽上的点之间的一一对应关系.将数与图形联系起来，体会数形结合的思想.
教师在此环节中要留给学生充足的时间，让学生自己归纳
和总结.
比一比1、问：利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小?在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立。
2、我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗?两个正实数的绝对值较大的值也较大;两个负实数的绝对值大的值反而小;正数大于零，负数小于零，正数大于负数。
例1比较下列各组数里两个数的大小
(1)，1.4;(2)，-;(3)-2，
分析：像例1(1)，即可以将，1.4的大小比较转化为，的大小比较;也可以先求出的近似值，再通过比较它们近似值(取近似值时，注意精确度要相同)的大小，从而比较它们的大小。让学生回忆有理数范围内比较大小的方法，体会在实数范围内这些两个数大小的方法依旧成立。
通过例题，使学生掌握比较两数大小的方法。
算一算问：在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算?
答：加、减、乘、除、乘方和开方运算.
接着问：有哪些规定吗?
除法运算中除数不为0,而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算.
问：有理数满足哪些运算律?
加法交换律：a十b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
分配律：a(b+c)=ab+ac
我们如何知道运算律在实数范围内是否适用?
例2计算下列各式的值：
(1)(+)-;(2)3+2
例3计算：
(1)十(精确到0.01)
(2)3+2(保留三个有效数字)
(在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算.)鼓励学生多举一些实际例子来验证.其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性.
例2与例3要求是不同的.例2在运算中遇到无理数但并
不需要求出结果的近似值，例3却不同，不仅在运算中遇到无理数且需要求出结果的近似值，在教学中应该提醒学生注意按照问题的要求解决问题.
练一练课本第178页练习第2、3题
小结与作业
布置作业必做：课本第179页习题10.3第4、5、6、7题;
选做：课本第179页习题10.3第9题
本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)
本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化，自己探索得到结论：实数与数轴上的点的一一对应关系，从而培养学生自主探索的学习方法，
在“比一比”教学环节中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较芳法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要的数学思想：转化思想.
【关键词】“教•学•练” 学案
2008年下学期，我校在凤岗镇党委、政府的领导下，在广东教育学院周峰教授的指导下，在教学中广泛使用“教•学•练”三合一教学模式。两年来，各科教学质量取得了长足的发展，教育教学效果取得了明显的进步。2008~2010两个学年度，我校均获得东莞市教育局的“教育教学效果、教育教学管理”双奖。我校从一个相对薄弱、相对落后的面上中学，发展成为获得“双奖”学校，很大程度上取决于“教•学•练”三合一教学模式的使用。
我们知道，提高教学效果，提高教学质量，在我们华侨中学这样的学校，数学这一科显得尤为重要。“教•学•练”三合一教学模式的使用，在我们学校还是仁者见仁，智者见智。然而，我个人认为，“教•学•练”的使用，对于我们数学这个学科，效果明显，作用突出。而的“教•学•练”的使用，最为关键的一环就是的“教•学•练”学案的编写。
下面就本人近两年使用“教•学•练”的点滴体会，谈谈“教•学•练”学案（以下简称为《学案》）的编写中存在的一些问题及其解决这些问题的方法。
1.《学案》编写中存在的问题
“教•学•练”三合一教学模式的推进，关键在于《学案》的编写。《学案》编写好了，事情就成功了一半。因此，《学案》的编写是非常重要、非常关键的一环。
《学案》的编写，如同于我们传统教学中的“写教案”，但它又不完全等同于写教案。我们学校的做法是：先由一个老师主备，再由同备课组一个老师初审，最后由同备课组的老师集体讨论定稿。这样做的优点是：即发挥了个人的主观能动性，又发挥了集体的智慧和力量。俗话说：三个臭皮匠，当个诸葛亮。
在实践中，由于各人对教材理解方面的偏异以及对"教•学•练"三合一教学模式理解的偏颇，在《学案》的编写中存在以下一些问题：
1.1 目的不明
有的教师由于经验不足，或由于对教材的理解不透，理解不到位，在《学案》的编写中目的不明。
例如，在《教材》（人教版•下同）中《多边形的内角和》的编写时，有的老师对把多边形划分为三角形强调过多，导致这节课主次不分，目的不明。学生弄不清这节课到底是掌握划多边形为三角形还是掌握多边形的内角和。
因此，《学案》的编写一定要有清晰的目的，明确的主题。
1.2 照本宣科
有的教师在《学案》的编写中，对教材缺乏自己独立的理解，教材上有什么，编什么，有多少，编多少，照本宣科，毫无新意。
例如，在《不等式的性质》中，关于“不等式的解法”，如果仅编写 例1：利用不等式的性质解不等式：
①x-7>26 ②3x
③23x>50 ④-4x>3
显然是很不够的。我们应该根据《教材》内容以及该内容对该能力点的要求，再补充一节课，专门讲授“不等式的解法”，以便学生能够较熟练地掌握不等式的解法。
1.3 教材搬家
在《学案》的编写中，我们发现，有的教师对于知识的发生、发展，或者公式、定理的来龙去脉，把教材中的内容、过程悉数搬到《学案》中，实行“教材搬家”。这样导致《学案》篇幅冗长，版面臃肿。
我认为，“教材搬家”没有必要。《学案》编写要尽量地做到“精练、简练”。
1.4 面面俱到，顾此失彼
我们还注意到，在《学案》的编写中，有的教师对学生这里不放心，那里也不放心。在一个《学案》中，东拉西扯，内容一大堆，希望做到面面俱到。
例如，在《线段的垂直平分线》中，插入《角的平分线》，在《用坐标表示轴对称》中，又编入点的坐标表示、点所在象限、各象限点的坐标的符号等等，导致《学案》卷面冗杂，主次不分，主题不明。
与面面俱到相反的就是顾此失彼。
在《学案》的编写中，我们有的教师出现顾此失彼的现象。例如，在讲《平方根》的时候，对“平方根”讲得很多，很到位。但是，对于“平方根”与“算术平方根”的联系与区别，却注意不够。教学中，要注意“平方根”与“算术平方根”的对比，在对比中深化学生对“平方根”和“算术平方根”的理解，使他们掌握“平方根”与“算术平方根”的联系与区别。《教材》 例5：求下列各式的值：
①144 ②-0.81 ③±121196
就是这样一个很好的例子。可惜，我们在编写《平方根》的时候，容易丢失这样的好例子。
因此，在《学案》的编写中，我们既不要面面俱到，也不要顾此失彼。要做到主次鲜明，主题分明。
1.5 拔苗助长
在《学案》的编写中，我们有的教师过高地估计了学生的能力，内容往往编得过深、过高、过广。
例如，在《函数的图象》中，对于《教材》 中，判断“一条曲线”是不是“某个函数的图象”，《教材》是通过如下的两个图象来展开的。这样的问题，
对于初学函数的初二学生而言，实在是“太难”。然而，我们有的教师却乐此不疲，讲得太多！
又如，函数中“自变量的取值范围”这个知识点，《教材》是通过 来体现的。这里的“难度”应该控制在“一步到位”。但是，我们有的教师编写了这样的例子：求下列函数中自变量的取值范围：
①y=x+1x-1 ②y=x-1+1-x
这样的例子对于初学函数的初二学生来说，拔得太高、太难。
我们认为，在《学案》的编写中，对某些“知识点”，作适当的“挖掘”，对提高学生的能力，发展学生的智力是有益处的。但是，过深、过高、过广，拔苗助长，则是有害的。我们不排除个别“天才”学生能够接受，但对大多数学生而言，是一个很大的打击和伤害。
对于“知识点”的挖掘，其深度――我的观点是“使学生跳起来能够摘到苹果”即可，过高、过难的要求，甚至“爬梯子还摘不到苹果”，只会打击他们的信心，伤害他们的积极性。
因此，在《学案》的编写中，切忌拔苗助长。要切合学生的实际，符合他们的年龄特征，符合他们的认知规律。
以上所谈，就是我们在实践中，编写《学案》中常见的所存在的问题。
2.《学案》编写中要做好的几项工作
下面再来谈谈在《学案》的编写中，要解决上述问题，需要认真做好以下几项工作。
2.1 研究学生，研究教材
我们通常说，在教学过程中，要“因材施教”。这个“材”，我的理解：一是学生；二是教材。
我们施教的对象是学生，学生是教学过程中的主体。你的学生是什么样的，他的基础知识怎么样，他们的学习能力如何，对这些知识他们会有什么样的反应，可能会犯什么样的错误，教师都要有足够的估计；甚至这些学生背后的家庭背景，作为老师，你都要有一定的了解。这样，你的教学就会有的放矢，针对性强。
对于教材，我们通常说，“以《纲》为纲，以《本》为本”。这个《纲》就是《教学大纲》，这个《本》就是《教材》。
《教材》对于我们来说，它只是一个“纲领性文件”。它不可能把什么知识都叙说得清清楚楚，明明白白。《教材》的编者，他会通过一些具体的公式、定理、例题、习题等，传达他的意愿，表达他的要求。如果什么都表达得清清楚楚，明明白白，那么教材就会篇幅冗长，不精练。
例如，在《实数》这一章中，关于“a2=a”和“(a)2=a(a≥0)”这两个公式，教材就是通过p76T11来体现的。
题：（1）求22，(-3)2，52，(-6)2，72，02，的值，对于任意数a，a2等于多少？
（2）求(4)2,(9)2,(25)2,(36)2,(49)2,(0)2,的值，对于任意非负数a，(a)2 等于多少？
象这样，教材正文里没有，在教材的练习题或习题中出现“知识点”的例子还有很多。因此，我们教师在编写《学案》的时候，要很好地，认真仔细地研究教材，挖掘教材中“隐含”的知识点和能力点。
2.2 中心明确，重点突出
我们在《学案》的编写中，要注意中心明确，重点突出。所编写的内容要紧紧围绕主题展开，不要动东拉西扯，象抓“中药”一样。
例如，编写《完全平方公式》，那么你编写的例题、练习题以及习题都要紧扣公式： （a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2来开展，不要脱离主题，东一榔头西一锤，搞得主次不分，目标不明。
2.3 设计梯度，突破难点
任何知识的学习，对学生来说都会有一些难点。如何突破难点，使学生学起来得心应手，是教师课堂教学艺术，教学手段的技艺体现。
例如，在教学《完全平方公式》，（a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
时，如果按教材P154例3的安排，一开始就要学生计算：① (4m+n)2，②(y-12)2
学生会感到无所适从。因此，讲完《完全平方公式》以后，我安排了如下的四个用完全平方公式计算：
①(x+1)2 ② (x+3)2 ③(a-2)2 ④(a-1)2
通过以上计算，学生就会逐步明白《完全平方公式》到底是怎么一回事，并能够初步记住公式。然后我再要求学生计算 例3，还按"梯级"补充一些计算题（见附件《完全平方公式》学案），这样学生学起来就不难，公式应用起来也能得心应手。
2.4 精编习题，加强巩固
任何知识的掌握，学生都有一个“消化、巩固”的过程。而“消化、巩固”成效的取得，有赖于教师精编习题。
对于习题的编写，一要紧扣主题，不要东拉西扯，更不要与主题内容脱节；二要“精”。我们的学生每天要学六、七门功课，每科都有巩固练习，如果我们的习题过多过滥，势必就会影响其它科的学习，更为严重的是可能使学生对数学的学习产生抵触情绪，反而有碍于数学成绩的提高。
例如，在《完全平方公式》的学案中，我充分估计了学生可能出错的地方，并根据该公式对学生能力的要求，精编了一些巩固练习题（见附件）
总之，《学案》的编写和使用，在我们学校，还是一件新生事物，对我来说，更是一件有待学习，有待改进的新生事物。
以上所谈，仅是我个人近两年使用“教•学•练”三合一教学模式的一点心得和体会，希望通过它得到各位同仁的帮助和指导，起到抛砖引玉的作用。
附：《完全平方公式》学案一例
课题： 完全平方公式
主备：××× 初审：××× 终审：初二数学备课组
目的要求：使学生掌握完全平方公式，能够较熟练的运用完全平方公式解决有关的计算问题.
重点：完全平方公式及其应用
难点：公式的变形与应用
教学过程：一、预习导学(阅读P153～P154，完成下列问题)
1、 运用整式的乘法计算：
①（a+b)2=(a+b)•(a+b) ② (a-b)2=(a-b).(a-b)
= =
= =
2、总结上述两个公式：
(a+b)2=
(a-b)2=
即 ① 两数和的平方，等于它们的 ，加上它们的；
② 两数差的平方，等于它们的，减去它们的；
二、教学互动
例1、运用完全平方公式计算：
①(x+1)2=( )+2••+( )2
=
②（X+3）2=（ ）2+2••+（ ）2
=
③（a-2)2=( )2－2••+( )2
=
④(a-1)2=( )2－2••+( )2
=
例2、运用完全平方公式计算：
① (4m+n)2 ② (y-12)2
③(-2a+3b)2 ④(-a-2b)2
例3、运用完全平方公式计算：
①1022 ②992
例4、（1）对任意实数a，b下列等式成立吗？
①(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 ②(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）若(x+y)2=7，(x-y)2=5求值：x2+y2和xy .
三、 达标检测
1、对于任意实数a，b,下列等式恒成立的是（ ）
（A）(a+b)2=a2+b2 （B）(a-b)2=a2-b2
（C）(-a-b)2=a+2ab+b2（D）(-a+2b)2=-a2+4ab+4b2
2、下列计算正确的是（ ）
(A)(x-12=x2-14 （B）(a-b)2=a2-b2
（C） (x+12)2=a2+a+12 （D） (x-1)2=1-2x+x2
3、运用完全平方公式计算：
①(x+6)2 ②(y-5)2
③(-2x+5)2 ④(2x-3y)2
四、 课后巩固
1、 运用完全平方公式计算：
①(a+2)2 ② (a-3)2 ③(2a+b)2
④ (-2m-1)2 ⑤(32a-23b)2 ⑥(-a+2b)2
⑦972 ⑧1012
2、若(a+b)2=3，(a-b)2=5,求值：①a2+b2 ② a
五 拓展思考： 的图示中，你如何理解公式： 和 的意义？
一、素质教育目标
（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．
（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．
（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．
二、教学重点、难点
1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．
2．教学难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．
三、教学步骤
（一）明确目标
在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．
（二）整体感知
通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？
（2）平方根的概念及开平方运算？
2．引例：解方程x2-4=0．
解：移项，得x2＝4．
两边开平方，得x＝±2．
x1＝2，x2＝-2．
分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．
练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．
3．例1解方程9x2-16＝0．
解：移项，得：9x2=16，
此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题
负根．
练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．
例2解方程（x＋3）2＝2．
分析：把x＋3看成一个整体y．
例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，
两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．
练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．
例3解方程（2-x）2-81＝0．
解法（一）
移项，得：（2-x）2＝81．
两边开平方，得：2-x=±9
2-x＝9或2-x＝-9．
x1=-7，x2＝11．
解法（二）
（2-x）2＝（x-2）2，
原方程可变形，得（x-2）2=81．
两边开平方，得x-2＝±9．
x-2＝9或x-2＝-9．
x1＝11，x2＝-7．
比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．
练习：解下列方程：
（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；
在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．
那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．
（四）总结、扩展
引导学生进行本节课的小节．
1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．
2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．
3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．
四、布置作业
1．教材P．15中A1、2、
2、P10练习1、2；
P．16中B1、（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1用公式解一元二次方程（二）
引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0
解：…………
……例2解方程（x＋3）2＝2
此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法
形如（ax＋b）2＝c（a，b，
c为常数，a≠0，c≥0）可用直接开平方法
六、部分习题参考答案
教材P．15A1
以上（5）改为（3）（6）改为（4），去掉（7）（8）
教材P．15A2
（一）设计教案、学案、课件，录制教学视频
根据授课进度，教材内容和学生情况，提前一周全体备课组组员对教学内容进行分析整合，确定学习目标，设计教学流程，分析学生可能在哪些地方出现问题，哪些地方需要强化，哪些地方学要重点练习来设计教案、学案和课件。根据重点、难点、易错点，录制精讲视频上传到“优教云”服务平台。
（二）学生自主学习
给学生布置预习任务，让学生带着问题进行预习，学生可以预习教材，也可以利用优教云平台学习教师做好的教学视频或者课件。然后，通过优教云智慧平台，完成课前预习自测，优教云平台评分系统立即对答题情况进行评判反馈。
（三）制定个别辅导计划
教师通过优教云平台的评分功能及时了解学生的掌握情况，及时调整课堂教学进度、难度，制定个别辅导计划，使课堂教学重点落到实处，让每一个学生都得到充分的发展。
二、课中五环节
（一）合作探究
在小组合作探究学习中，常常需要教师在全班布置探究任务讲清规则，学生小组长组织讨论，分配任务，小组集思广益，代表发言，造成探究时间长，学生个性不能体现。优教云创造了一对一的环境，实现了师生、生生之间的无缝隙连接，使师生互动，生生互动，人机互动成为现实，增加了团队之间的交互频率，提高了合作学习的质效，学生由被动的客体转变为积极的主体，学习主动性大大提高，学生真正成为学习的主人。
（二）释疑拓展
引导组织学生读议讨论，把课前自学中遇到的疑难问题说出来，学生互相讨论解答，答不出来的或答不完整的，再由教师讲解补充，师生一起归纳总结出正确完整的知识。整个课堂释疑过程，多数由学生“画龙”，教师“点睛”。这一教学步骤的持续深化，可逐步培养起学生自己发现问题、提出问题的自学习惯和科学的分析问题、解决问题的思维方法，学生就为课堂教学的“演员”，教师则变成课堂教学中的“导演”，体现出“以学生为主体，以教师为主导”的教学原则。
（三）巩固提升
教师通过优教云平台的同步练习功能下发作业、学生用平板电脑提交作业，系统自动批改选择题、填空题、判断题，学生答案的正误、交作业的数量和质量能够及时反馈。教师可以根据反馈对掌握不熟的知识点进行及时有效的讲解和处理。这种功能对学生的作答反馈十分快捷方便，教师可以根据反馈能够及时地调整自己授课的针对性，这是优教云教学最为突出的优点。学生提交作业的方式多种多样，可以在平板电脑上用输入法直接输入，可以将答案写在纸上，然后拍照片上传，可以发录像或者声音文件，收发作业非常迅速，整节课效果和节奏都比较高。
（四）自主纠错
苏霍姆林斯基曾经说过：“上课并不像把预先量好、剪裁好的衣服板样摆到布上去，问题的全部在于，我们的工作对象不是布，而是有血有肉的、有着敏感而娇弱心灵和精神的儿童。”教师通过云端把学生的作答下发到平板，对于不同的认识，组织学生讨论，甚至辩论。先听听学生的“错理”，让学生在叙述过程中意识到自己的错误。例如，在平面几何中，讲解与三角形有关的知识时，有些学生坚持认为“边边角”能证明两个三角形全等，而几个学生用几何画板作出符合条件的多种三角形，然后几个不同色彩的三角形在鼠标的控制下，通过旋转、平移、翻折等一系列的模拟过程，形象生动地描述图形全等的内涵，找到了错因，也便于学生观察理解。
（五）课堂小结
课堂小结的作用十分明显，能够帮助学生梳理本节的知识点，突出知识的重点，突破知识难点。学生通过互动探究功能理出新旧知识之间的联系，自主总结出本节课的主要知识。例如，在“平方根”一节中，学生自主总结出如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根。并且自己出题已知2a-1与a-5是m的平方根，求m的值。通过这道题，说明学生不仅掌握了本节知识，而且在此基础上有了进一步拓展。在数学教学中采用云端教学模式，由教师的先教到学生的后学转化为由学生的先学到教师的后教，促进学生主动学习，增加了学习的兴趣，让数学学习不再是难题。在数学教学中采用云端教学模式，录制教学视频，教师对学生的指导，课堂活动的组织，都对教学质量产生重要的影响。因此，云端技术和数学教学的整合还需要不断地探索和实践。
关键词：初中数学；高效课堂；教学实践
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0048
近年来对学生减负政策的实施，除了课间学生休息之外，那么，学生在校只有上课时间与任课教师接触。面对学生的有效时间，又加上学生年龄低龄化、学生学习自主能力差，而且与小学数学相比较，初中数学概念比较抽象、知识系统性强，学生学习起来难度大等问题。那么，怎样提高数学课堂教学效率，培养学生的创新精神和实践能力呢？这个问题成了初中数学教师面临的难题。
一、传统初中数学教育所面临的困境
著名物理学家钱学森先生那句振聋发聩的疑问――“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”面对钱学森之问，面对传统初中数学教学活动中学生的学习被动、学生发展问题得不到解决，不得不让处在一线教学活动岗位的我们反思：传统的数学教学到底怎么了？
在传统的数学教学活动中，教学模式单一化、缺乏灵活性和针对性。在课堂教学中，教师讲解学生听，教师在黑板上大量地板书，学生做笔记。此外，在课堂教学中，教师很少给学生自主探究的时间，学生只能被动地接受，学生的思维失去了自由发展的空间，而且教师不鼓励也不允许学生有其他不遵循教学活动的行为。传统的数学教育虽然效率高但是教学效果非常差。义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学。然而，这种高强度的讲解和反复的训练，导致许多初中学生对数学产生了畏惧。显然，这种教学活动模式已经不适应义务教育阶段教育。可以说，在这种传统的数学教学活动中，教师不重视学生对问题的提出，使得学生缺乏问题意识，创新能力和自主学习能力也严重下降。这种功利化、模式化的教学活动方式与我国现代化发展不能同步。
二、高效课堂的教学实践
老子曾经说过：“授人鱼不如授人渔”。传统的初中数学教育虽然能使学生基础知识和基本技能扎实，但不利于培养学生的创新精神和实践能力，这种教育只能授学生鱼。怎样授学生渔？高效课堂的教学能授学生渔！具体怎样在课堂上实践呢？笔者也在改革中摸索前进。
1. 课前准备
由于课堂时间只有四十五分钟，在这有限的时间里，课前准备是必须的。由于初中教育属于义务教育阶段，为了减负，教师不能给学生布置太多的作业，同时教师也不能对学生课外要求的太多。因此，为了达到高效，只有教师课前精心准备了。
备课的三要素，即备教材、备学生、备教法等三个方面。第一，备教材。教师在课前要充分吃透教材，精心设计好教案。此外，教师也要阅读大量的相关学科教学书籍并整理。可以说，任课教师对教材教法及其相关知识应该了如指掌，方能优化自己的课堂教学。第二，备学生。教师在课前要经常利用课间下班，到班级中充分了解学生的现状。比如，教师精心安排学生课前如何准备，准备的如何以及学生课外自主合作探究情况等信息。第三，备教法。教师要深入研读教材，整体把握教材布局，并根据各个章节的特点，弄清哪些章节适合学生去自主合作探究，哪些章节教师必须适当地指点，只有这样才能有的放矢。可以说，高效的课堂教学必须课前准备。
2. 教学过程
高效课堂教学过程是教师出示这堂课的学习目标和要求，学生根据要求进行自学，然后与小组内成员进行合作探究，在这个过程中，教师巡视并指导各个小组，通过小组讨论后由小组代表展示结果，最后教师总结。我们知道教学过程是一个促进学生身心发展的过程，也是一种特殊的认识过程。例如，沪科版八年级上册数学第十一章平面直角坐标系。这一章的教学目标是通过本章的教学，使学生认识平面直角坐标系，理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系，并能够写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标，已知点的坐标能在平面直角坐标系中描出点；在方格纸中能建立适当的平面直角坐标系，描出图形的位置，掌握图形的平移与坐标变换之间的关系。这一章很适合学生自主探究，教师可以采用高效课堂教学模式，教师引导小组之间进行讨论交流。通过学生自主探究，学生能够很好地了解怎样建立平面直角坐标系、点在坐标中的表示以及平移时坐标的变化情况，从而培养了学生自主探究能力、学生之间的合作能力、学生之间梳理知识能力以及学生的创新精神和实践能力。如果这章采用传统的数学教学模式，教师通过反复的讲解和训练学生做大量习题。虽然学生做题能力提高了，但是学生的探究、自主与合作学习无法保证，从而导致学生创新精神和实践能力完全丧失。
在这个特殊的过程中，教师可以把传统的数学教学过程中的优点与高效课堂教学过程的优点相互结合，去短补长。因此，在教学过程中，教师要根据不同的教学内容与任务确定不同类型课的教学过程，从而优化课堂教学。
例如，沪科版七年级下册第六章实数中的第一小节平方根、立方根。这节课的教学目标是了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示且会求一个数的算术平方根、平方根和立方根，并了解算术平方根的性质。教学重点是算术平方根、平方根和立方根的概念、性质，会用根号表示。教学难点是平方根和算术平方根的区别，立方根与平方根的区别。这节课数学概念和性质比较强，学生从没有接触过太多相关知识，由于课时和教学任务的要求，加上学生去自主探究平方根和立方根困难比较大。因此，教师在设计教学过程时就可以把传统的数学教学过程中的优点与高效课堂教学过程的优点相互结合，去短补长。这节课教师在讲解新知识时采用传统的数学教学过程；在巩固新知识时，教师采用高效课堂的小组合作，让小组代表展示探究的结果。这样，学生既能扎实地把平方根和立方根的概念和性质掌握了，又能通过小组探究与合作去实践。这样既巩固了学生的基础知识，又培养了学生合作探究的能力。
3. 建立班级数学园
初中数学新课标明确指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。面对实际初中学校资源匮乏的现状，为了使数学水平能力强且爱好数学的学生在能力上得到更好的发展，教师可以在班级建立数学园，并在数学园贴上由教师精心设计的习题。在设计习题时，教师尽力使这些习题不重复、不机械，且使习题具有针对性、层次性、选择性、实践性和开放性。同时，教师积极鼓励学生凭着自己的能力去解决问题。如果学生解决不了的，可以由小组合作解决或与教师讨论。通过建立班级数学园，可以营造自主学习、合作探究的气氛，既能培养学生的主动思维能力又能培养学生的小组合作能力，还丰富了农村学生的课外学习生活。
4. 课后辅导
教师要经常利用课间时间到班级中，多与各个学习小组面对面的交流。只有这样，教师才能及时地了解学生学习效果如何，及时地指导学生课后学习。
三、结束语
高效课堂的理念是坚持以学生为主体，以训练为主线，以教师为主导的教学理念，并鼓励学生在课堂上积极参与、精彩展示，使学生真正得到发展，从而全面大幅度提升教学质量。为了适应21世纪的科技时代，为了落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》，广大一线数学教师应积极实践高效课堂的先进教学理念。只有这样，才能更好地培养学生的创新精神和实践能力，从而为国家培养大量的有用人才。
第十一章全等三角形 本章主要学习全等三角形的性质与判定方法，学习应用全等三角形的性质与判定解决实际问题的思维方式。教学重点：全等三角形性质与判定方法及其应用；掌握综合法证明的格式。教学难点：领会证明的分析思路、学会运用综合法证明的格式。教学关键提示：突出全等三角形的判定。
第十二章轴对称 本章主要学习轴对称及其基本性质，同时利用轴对称变换，探究等腰三角形和正三角形的性质。教学重点：轴对称的性质与应用，等腰三角形、正三角形的性质与判定。教学难点：轴对称性质的应用。教学关键提示：突出分析问题的思维方式。
第十三章实数 本章通过对平方根、立方根的探究引出无限不循环小数，进而导出无理数的概念，从而把有理数扩展到实数。教学重点：平方根、立方根、无理数和实数的有关概念与性质。教学难点：平方根及其性质；有理数、无理数的区别。教学关键提示：从生活实际入手，让学生经历无理数的发现过程，从而理解并掌握实数的有关概念与性质。
第十四章一次函数本章主要学习函数及其三种表达方式，学习正比例函数、一次函数的概念、图象、性质和应用，并从函数的观点出发再次认识一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组。教学重点：理解正比例函数、一次函数的概念、图象和性质。教学难点：培养学生初步形成数形结合的思维模式。教学关键提示：应用变化与对应的思想分析函数问题，建立运用函数的数学模型。
第十五章整式的乘除与因式分解 本章主要学习整式的乘除运算和乘法公式，学习对多项式进行因式分解。教学重点：整式的乘除运算以及因式分解。教学难点：对多项式进行因式分解及其思路。教学关键提示：引导学生运用类比的思想理解因式分解，并理解因式分解与整式乘法的互逆性。
二、学生情况分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。有少数同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。上学年学生期末考试的成绩平均分为116分，不及格的学生仅有7人。总体来看，成绩还算不错。七年级尚未出现两极分化，绝大多数学生都在认真学习。本学期还要在学生学习习惯的养成上，在学生学习主动性上下大功夫。
三、教学目标
1、知识与技能目标 学生通过探究实际问题，认识全等三角形、轴对称、实数、一次函数、整式乘除和因式分解，掌握有关规律、概念、性质和定理，并能进行简单的应用。进一步提高必要的运算技能和作图技能，提高应用数学语言的应用能力，通过一次函数的学习初步建立数形结合的思维模式。
2、过程与方法目标 掌握提取实际问题中的数学信息的能力，并用有关的代数和几何知识表达数量之间的相互关系；通过探究全等三角形的判定、轴对称性质进一步培养学生的识图能力；通过探究一次函数图象与性质之间的关系，初步建立数形结合的数学模式；通过对整式乘除和因式分解的探究，培养学生发现规律和总结规律的能力，建立数学类比思想。
3、情感与态度目标 通过对数学知识的探究，进一步认识数学与生活的密切联系，明确学习数学的意义，并用数学知识去解决实际问题，获得成功的体验，树立学好数学的信心。体会到数学是解决实际问题的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展的重要作用。认识数学学习是一个充满观察、实践、探究、归纳、类比、推理和创造性的过程。养成独立思考和合作交流相结合的良好思维品质。了解我国数学家的杰出贡献，增强民族的自豪感，增强爱国主义。
四、教学设想
1、作好课前准备。认真钻研教材教法，仔细揣摩教学内容与新课程教学目标，充分考虑教材内容与学生的实际情况，精心设计探究示例，为不同层次的学生设计练习和作业，作好教具准备工作，写好教案。
2、营造课堂气氛。利用现代化教学设施和准备好教具，创设良好的教学情境，营造温馨、和谐的课堂教学气氛，调动学生学习的积极性和求知欲望，为学生掌握课堂知识打下坚实的基础。
3、搞好阅卷分析。在条件许可的情况下，尽可能采用当面批改的方式对学生作业进行批阅，指出学生作业中存在的问题，并进行分析、讲解，帮助学生解决存在的知识性错误。
4、写好课后小结。课后及时对当堂课的教学情况、学生听课情况进行小结，总结成功的经验，找出失败的原因，并作出分析和改进措施，对于严重的问题重新进行定位，制定并实施补救方案。
5、加强课后辅导。优等生要扩展其知识面，提高训练的难度；中等生要夯实基础，发展思维，提高分析问题和解决问题的能力，后进生要激发其学习欲望，针对其基础和学习能力采取针对性的补救措施。
6、成立学习小组。根据班内实际情况进行优等生、中等生与后进生搭配，将全班学生分成多个学习小组，以优辅良，以优促后，实现共同提高的目标。
7、组织单元测试。根据教学进度对每单元教学内容进行测试，做好试卷分析，查找问题。大面积存在的问题在进行试卷讲解时要重点进行分析讲解，力求透彻。
四、提高教学质量的措施
1、认真学习钻研新课标，掌握教材；课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。
2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，认真上好每一堂课，争取充分掌握学生动态，努力提高教学效果。
3、抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫；落实每一堂课后辅助，查漏补缺。
4、不断改进教学方法，提高自身业务素养。积极与其它老师沟通，加强教研教改，提高教学水平。
5、教学中注重自主学习、合作学习、探究学习。
6．经常听取学生良好的合理化建议。
7．以“两头”带“中间”战略思想不变。深化两极生的训导。
六、培优辅差计划
优生辅导计划：加大难度，提高灵活运用知识的能力，培养合作学习、探究学习的能力。班级取前10人，每周开展活动一次。
差生辅导计划：狠抓基础，立足课本，提高信心，激发兴趣。班级取最后10名，每周辅导一次（或二次，视章节难度）。
七、教学进度
周次
起讫日期
教学内容
教学辅助活动
备注
预备周
8.25—8.31
制定计划
1
9.1—9.4
11.1全等三角形（1）
2
9.7—9.11
3
9.14—9.18
数学活动、小结（2）
单元测试
4
12.1轴对称（3）
12.2作轴对称图形（2）
5
9.28—10.30
12.2作轴对称图形（1）
12.3等腰三角形（4）
6
10.9—10.16
12.3等腰三角形（1）
数学活动、小结（2）
单元测试
7
13.1平方根（3）
13.2立方根（2）
8
10.26—10.30
【关键词】目标教学； 教学质量； 能力培养
我从事中学数学教学已多年，多年来的教学工作，既有成功的经验，也有失败的教训。成败的关键之一，就是教学的目的要求是否明确，是否体现中学数学教学的总目标，是否以这一总目标对整个教学过程实施控制。为此，我不断改进教学方法，改变传统的教学观念，深入钻研《教学大纲》和教材，使得在内容上，既不盲目拓宽加深，又不随意降低要求。在方法上，既要充分发挥教师的主导作用，又要利于调动学生的主体作用，充分发挥他们的积极性和主动性，通过师生共同努力，达到《大纲》规定的目标。这是提高教学质量的根本保证。
结合常规教学，经过尝试与实践，近几年来，我采用的教学的基本程序是：“制定教学目标 达标教学（包括写教案、制作课件、上课、布置作业等） 目标检测 信息反馈 回授矫正”，并取得良好效果，现作如下总结，供大家探讨。
1 具体做法
1.1 制定教学目标。从教学大纲、教材出发，对教学中的一个个知识点提出要求，对知识的学习层次进行细分，首先确定章目标、单元目标，然后制定出每节课的教学目标。
1.2 围绕“目标”进行备课。备课时，不仅备教材，还要备学生，了解学生掌握的知识和思想实际及心理状况，课堂上做到易懂知识略讲，重点难点知识详讲。同时准备或者设计好学生可能提出的疑问和易错问题，利于摆正教与学的关系。
1.3 在课堂教学中，注意能力的培养。因为课堂教学的质量，直接影响教学效果。所以，在教学中，我尽量把问题讲得深入浅出、富有趣味；尽量使课堂气氛轻松、活泼，克服学生畏难情绪；尽量给学生创造答题的机会及想像空间，改变“满堂灌”的传统教学模式。以“目标”为中心，采用适当的教学方法进行课堂教学。为了激发学生的学习兴趣，提高思维能力，我常采用设问式及逆向思维训练法进行教学。如对于基本概念的教学，可根据学生的实际情况，有的放矢地编选一些题目或提出一些问题，以纠正学生的错误认识，正确地理解概念。
如在讲一元二次方程的有关概念时，我通过变换其二次项系数、一次项系数和常教项的形式，特别是针对学生不重视1和0的现象，列举如x2-2=0， -x2+6=0，5x2-x=0，ax2+bx+c=0（a≠0） 等题，提问学生，这些一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是什么？这样，通过变式提问，既能使学生透切理解概念，又能培养学生的学习兴趣，培养思维能力。
注意加强逆向思维训练，提高思维灵活性。①如学习平方根概念时，在学生弄清9的平方根是 ±3后，可提问一个数的平方根是±3，这个数是什么？同样，学习互为相反数，互为倒数等概念时，也可以这样提问。②从公式法则的逆运用训练逆向思维。如初一学习了积的乘方法则（ab）n=anbn后，我编制了一组逆向思维的练习题：
（1）（1/4）1000×41000；（2）（-2）1999×（0.5）1999，（3）2n×5n×0.1n。由于这些题富有灵活性、技巧性和启发性，能引导学生灵活地逆向应用所学法则，会使解题出奇制胜。使学生养成逆向思维习惯，能提高解题能力，同时提高了对公式、法则的正确运用率，收到了事半功倍的教学效果，目标自然也就达到了。
1.4 通过练习，检测目标。一节课的内容上完以后，学生所学知识是否达到教学目标的要求，这就要通过练习题对学生进行检测，练习题要围绕教学目标，结合学生实际情况，由浅入深，灵活多样，富有启迪思维，开拓思路，概念性强，有代表性的题目。若是课堂练习，让学生在规定的时间内完成，或让几个学生在黑板上板演，教师逐回观察，以便发现问题，完成后可先让学生互相检查订正，然后老师结合上黑板解答的同学的练习纠正错误。
课后布置的练习，我在备课时就精心编制，采取A组、B组两个档次进行，A组题为基础题，要求每个学生都做，B组题为综合性较强的题，要求有能力的学生做，这样可以使不同层次的学生“吃”得好、“吃”得饱，同时又减轻学生负担，提高学习效率。
及时通过课堂小测验，单元测试对教学目标进行检测。学生通过测试，了解自己学习的情况及存在的问题；教师通过测试情况，及时查缺补漏，调节教学进度，改进教学方法。这样，既有利于教师的教，也有利于学生的学。
1.5 信息反馈，回授矫正是教学的重要环节。通过练习、测试获得的信息反馈，进行回授，及时补缺补漏。对个别学生出现的错误，进行个别辅导，矫正错误。对普遍存在的问题，在课堂上评讲矫正。从而使每一个学生都能突破难点，较好地巩固所学知识，达到教学目标的要求。
2 效果与体会
一、素质教育目标
（一）知识教学点：掌握一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．
（二）能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．2．培养学生快速而准确的计算能力．
（三）德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．2．通过求根公式的推导，渗透分类的思想．
二、教学重点、难点
1．教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程．
2．教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解．
3．关键：1．推导方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的异同．2．在求根
的简单延续．
三、教学步骤
（一）明确目标
通过作业及练习深刻地体会到由配方法求方程的解有时计算起来很麻烦，每求一个一元二次方程的解，都要实施配方的步骤，进行较复杂的计算，这必然给方程的解的正确求出带来困难．能不能寻求一个简单的公式，快速而准确地求出方程的解是亟待解决的问题，公式法的产生极好地解决了这个问题．
（二）整体感知
由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使学生能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化．
求根公式的推导过程，蕴含着基本理论的应用，例如：等式的基本性质，配方的含义．完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质，同时也蕴含着一种分类的思想．
通过公式的推导，深刻理解基本理论和方法，培养学生进行数学推理的严密性和严谨性．
（三）重点、难点的学习和目标完成过程
1．复习提问：用配方法解下列方程．
（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．
通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．
2．用配方法解关于x的方程，x2＋2px＋q＝0．
解：移项，得x2＋2px＝-q
配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2
即（x+p）2＝p2-q．
教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．
3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．
解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，
a≠0，4a2＞0当b2－4ac≥0时．
①②两步是学生易忽略的步骤，这两步实质上是为运用等式的基本性质和开方运算准备前提条件．①②步可培养学生有理有据的严谨的数学推理习惯，使学生逐步养成有条件，有根据才能有结论的推理习惯．
从上面的结论可以发现：
（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．
（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x＝（b2－4ac≥0）中，可求得方程的两个根．
的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．
4．例1解方程x2－3x＋2＝0
解：a＝1，b＝-3，c＝2．
又b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，
x1=2，x2=1．
在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算，易出错．并引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．
练习：P．16中2（1）—（7），通过练习，熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．
例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝
由此例可以总结出一般一元二次方程求解利用公式法的步骤：1．化方程为一般形式．2．确定a、b、c的值．3．算出b2－4ac的值．4．代入求根公式求解．
练习：P．16中2（8）．
（四）总结、扩展
引导学生从以下几个方面总结：
≥0）．
（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．
2．（1）在推导求根公式时，注意推导过程的严密性．诸如
a≠0，4a2＞0．当b2－4ac≥0时，……
（2）在推导求根公式时，注意弄清楚推导过程所运用的基本理论，如：等式的基本性质，配方的意义，完全平方公式，平方根的概念及二次根式的性质．
（3）求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解．渗透一种分类的思想．
（4）推导ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式与解ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（用配方法）的异同．前者只求在b2－4ac≠0的情况下的解即可．后者还要研究在b2-4ac＜0的情况．
四、布置作业
教材P．14练习1
教材P．15习题12、1：4．
参考题：用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）（学有余力的学生做）．
五、板书设计
12．1一元二次方程的解法（四）
1．求根公式：例：用配方法推导出一元例1……
二次方程ax2+bx+c=0……
(a≠0)的根．练习……
2．公式法及其步骤解：解：…………
（1）……
（2）……
（3）
（4）
六、作业参考答案
教材P．15中4．略
一、素质教育目标
（一）知识教学点：
1．了解根的判别式的概念．
2．能用判别式判别根的情况．
（二）能力训练点：
1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．
2．进一步考察学生思维的全面性．
（三）德育渗透点：
1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．
2．进一步渗透转化和分类的思想方法．
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：会用判别式判定根的情况．
2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．
三、教学步骤
（一）明确目标
在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．
（二）整体感知
在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．
在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．
（三）重点、难点的学习及目标完成过程
1．复习提问
（1）平方根的性质是什么？
（2）解下列方程：
①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．
问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．
2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？
答：b2-4ac．
3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．
反之亦然．
注意以下几个问题：
（1）a≠0，4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．
（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．
4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0．
解：
（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
原方程没有实数根．
学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．
强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．
练习．不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；
学生板演、笔答、评价．
（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．
又不论k取何实数，≥0，
原方程有两个实数根．
教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．
练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．
（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1
＝4m2-8m2-4
＝-4m2-4．
不论m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．
方程无实数解．
由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．
（四）总结、扩展
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当＞0时，有两个不相等的实数根；
当＝0时，有两个相等的实数根；
当＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
四、布置作业
教材P．27中A1、2
五、板书设计
12．3一元二次方程根的判别式（一）
一、定义：……三、例……
…………
二、一元二次方程的根的情况……练习：……
（1）…………
（2）……四、例……
关键词：第一轮复习； 作业设计； 原则； 方法
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2016）02-029-003
一、问题的提出
第一轮复习非常重要，它是整个九年级复习的基础和关键，起着承上启下的作用。在这一阶段主要抓好对基本概念准确记忆和实质性的理解，抓基本方法、基本技能的熟练应用，抓公式和定理的正用、逆用、变用、巧用，抓基本题型的训练。教师会根据作业情况对自己的教学方式和教学内容作及时的调整和反思，归纳和总结典型错误，并在以后的教学中加以改进，所以我们必须精心设计有效的作业，提高效率。通过问卷调查和目前教学现状表明，由于数学作业设计质量不佳的原因会普遍引起以下几个问题：
（一）课堂教学中习题质量不高，导致学生基础知识掌握不扎实
在第一轮复习过程中，教师没有很好选取课堂习题，片面的追求复习进度来完成了对知识内容的复习。这样似乎节省了很多时间，但实际上学生在复习过程中，对于很多知识尤其是七年级和八年级的知识已经不熟悉甚至遗忘，这样的复习会导致学生第一轮复习过后对基础知识的掌握仍然不扎实，从而影响第二轮的复习。
（二）教师布置作业比较随意，导致学生降低对学习数学的兴趣
新课改实施以来，大部分教师以新课改理念为指导，不断地优化自己的教学行为，学生的学习逐渐成为一个快乐的过程。但有不少教师在设计和布置作业时没有明确的目标和清晰的意图，缺乏必要的思考，如教师通过各种方式让学生购买教辅资料，如当堂检测，孟建平数学，优化与提高，中考模拟等等，利用这些资料让学生强化性做题，不仅浪费学生的时间，不能很好的促进学生的发展，还会降低甚至失去对数学学习的兴趣。
（三）作业的设计缺乏实践性和创造性，导致学生缺少解决实际问题的方法
数学源于生活，也应用于生活。教师要善于联系生活实际进行作业设计，充分展现数学的应用价值，让学生在生活中体会“处处有数学”。应考虑让学生用所学的数学知识解决实际生活中的问题，锻炼学生的创新思维。在实际复习过程中教师由于多方面的原因，作业中很多掺杂了些繁、难、偏、旧、机械的、滞后的题目，缺乏联系生活实际，教师和学生可能很辛苦，但是复习效果较差。
二、数学复习课作业设计的原则
（一）作业设计要体现基础性
每年的中考题安排了较大比例的试题来考查“双基”，所以复习中要紧扣教材，夯实基础。要在这部分试题上保证得分，就必须结合教材，对整个初中阶段需要掌握的内容心中要有清晰的脉络；其次，复习应配备适量的练习，习题的难度要加以控制，以中等题和简单题为主。
案例一：在复习到平方根和算术平方根概念之后，设计了这样一组题：
1. 2的平方根是（ ）
A.4 B.C. D.±（12年江苏）
2. 4的算术平方根是
A.±2 B. 2 C.-2 D.（15年浙江湖州）
3. 化简：=（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4（12年甘肃）
4. 化简=_________。（13年安徽）
通过精选近几年中考题中涉及相关章节知识点的中等题和简单题，让学生有针对性地进行适量训练，既巩固了当天复习的内容，也能使学生进一步了解中考命题特点，激发兴趣，增强数学学习的信心。
（二）作业设计要体现趣味性、实践性
教育和发展心理学巨匠皮亚杰说：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”兴趣是最好的老师。但长期以来，由于教学任务比较重或受习惯性思维影响，教师在设计作业时没有多加思考，缺乏明确的目标和清晰的意图，使很多的学生降低了学习的兴趣，同时也失去了学习数学的灵气和创造的激情。要想改变这种状况，在作业设计中，必须要适当增强作业的趣味性、实践性。这样才能让学生在作业中集中注意力，并保持饱满的热情，从而提高作业的质量，使其形成良好的兴趣和爱好。
案例二：当学生复习有理数的加、减、乘、除混合运算后，设计了如下题目：有一种“二十四点”的游戏，其规则是这样的：任意四个1～13间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用1次）进行加、减、乘、除运算，使其结果等于24。如对1、2、3、4所作运算：（1+2+3）×4=24。
（1）现有四个有理数3、4、-6、10运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24。
（2）现有四个数3、-5、7、-13仍运用上述规则，写出一种运算式，使其结果等于24。
算24，这是生活中的扑克游戏，学生在这类似游戏的快乐作业中，加强了“双基”，增强了阅读能力和按规律研究的意识，也提高了对数学学习的兴趣。
（三）作业设计要体现层次性
对于第一轮复习必须坚持作业设计体现基础性，但不同的学生肯定是有差异的，那么在关注中等及以下同学发展的同时，我们还应该重点关注那些数学尖子生，让尖子生仍能积极思考，激发其兴趣，所以笔者认为在作业布置时必须有层次性。
案例三：笔者把作业分为三个层次。A组――基本题。重在“双基”训练，适合“学困生”；B组――变式题。培养学生的迁移能力，适合“中等生”；C组――创新题。培养学生创造性解决问题的能力，适合少数“尖子生”。下面举例说明：
第一层： A组 基础性题目
1.已知：在RtABC中，∠C=90°， AC=4 AB=5，求cosA的值。
2.已知：在ABC中，∠C=90° E是AC边任一点，且EDAB，垂足为D，交AB于D。求证：ADE∽ACB。
第二层：B组 提高题
1. 已知：在RtABC中，∠C=90°，如果sinA是方程2x2+3x-2=0的根，求cosB的值。
2.已知：在ABC中，∠C=90° AC=8 BC=6，点D、E分别在AB、AC边上，且DE垂直平分AB，求DE的长。
第三层：C组 开放性或探究性题
1.在某海域中有一海岛A，它的四周20海里范围内为暗礁区。一艘轮船由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60°，航行24海里到C处见岛A在北偏西30°，货轮继续向西航行，有无触礁危险？
这样，不同层次的学生能比较轻松地完成他们的相应作业，使他们的数学基础都能在原有的基础上得到较大的提高。同时，我还适时鼓励大家向更高层次的作业挑战，培养他们战胜困难的勇气。教师要树立“只有差异，没有差生”的观念，让不同水平、不同层次的学生能体验到成功，尤其是创新成功。
三、数学复习课作业设计的形式与方法
（一）知识性作业的设计
1.按知识结构设计作业层次。一般可以有三类，A级为基本练习：重在基础知识和基本技能的操练，浅显易懂，紧扣当天所学的内容；B级为提高练习：重在对知识的理解和运用，难易尺度是学生“跳一跳，够得着”；C级即创新练习：重在对概念的深刻理解和灵活运用，这种题目有一定的难度。
案例四：如在复习一次函数的概念后，可以设计这样一份作业：
一、填空题
（A）（1）已知函数y=（m+1）x+2m-4当m_______时，它是一次函数；当m______时，它是正比例函数。
（B）（2）若一次函数y=2m（x+1）-4表示正比例函数，则m=_____。
（B）（3）已知函数y=（m-3）x +m+1是关于x的一次函数，则
m=___。
二、解答题
（B）（4）已知函数y=（k2-4）x-k
①当k为何值时，这个函数为正比例函数？并求解析式；
②当k在什么范围内取值时，这个函数是一次函数？
三、探究题
（C）（5）观察表中，y与x是否成一次函数关系？如果是，求该一次函数的解析式，如果不是，改动尽量少的数字，使其成为一次函数，并写出解析式。
（C）（6）已知2y-2m与3x+4n成正比例，证明：y是x的一次函数。
这样，通过基本的、提高的、创新的不同层级的题组作业，不同程度的学生能够对一次函数以及正比例函数的概念得到最大程度的理解和掌握，并在实际问题中灵活运用。
2.同一类问题设计有梯度
对有一些题由易到难的设置问题，使学生踏着阶梯一步一步探索，让每一位学生都能获得不同程度的成功尝试，激发学生的潜能。从教学效果的角度看，设问的多梯度性可以帮助学生发掘问题的各个方面，达到深层次认识问题的本质，有利于培养学生的纵向思维。
案例五：在复习等腰三角形时，设计如下作业：
（1）如果等腰三角形的一个底角为70度，那么它的顶角是多少度？
（2）如果等腰三角形的一个为顶角70度，那么它的底角各是多少度？
（3）如果等腰三角形的一个内角为70度，那么它的其余的角各是多少度？
（4）如果等腰三角形的一个内角为100度，那么它的其余的角各是多少度？
（5）如果等腰三角形的一个内角为n度，那么它的其余的角各是多少度？
这样，通过以上由易到难的题组作业，学生按照有顺序的、可预测的方向进行纵向思考，在逐步体验数学成功的喜悦的同时，加深了对问题的本质理解。
3.根据易错题设计矫正型作业
通过精心设计典型的作业易错题，及时渗透所学的数学思想方法，能使学生掌握知识的学习任务所需的时间大为减少，学习的达成度就越高。笔者曾经在2010年编写了校本课程二次函数矫正型作业设计，以下是部分内容：
案例六：基于性质的《二次函数》矫正型作业
例1：已知函数y=3x2-4x+1，当0≤x≤4时，求y的变化范围。
【错解】当x=0时，y=1；当x=4时y=33
当0≤x≤4时，y的变化范围是1≤y≤33
【剖析】错解是由于对求二次函数值的范围缺乏实质性的认识而造成的，事实上，抛物线在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，抛物线在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，于是x=-=时，函数取到最小值-。
【正解】当x=-=时，函数最小值-，所以y的取值范围是-≤y≤33
【矫正练习】
1.若A（-，y1），B（-，y2），C（，y3）为二次函数y=x2+4x-m的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____。
2.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间满足函数关系式y=-0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y越大，表示接受能力越强。那么，学生在0≤x≤30这段时间内，接受能力y的取值范围是_____。
3.y=-x2+8x-12，在当x≤4时，y有最大值_____。
4.如图，在一面靠墙用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？若墙的最大可用长度为3米，则求窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
通过易错题的练习，可以提高学生的审题、解题能力和题后反思能力，以起到事半功倍的效果，从而进一步提高数学学习效率。
（二）生活型作业的设计
数学源于生活，又必须回归于生活。联系生活实际进行作业设计，让学生体会到从自己身边的情景中可以看到数学问题，还可以运用数学解决实际问题。学生觉得学习数学有较高的实用价值，这样会使他们对学习数学更有兴趣。
案例七：复习“函数的表示法”时，可这样布置：
如图1所示是小刚骑自行车回家的路程与时间的关系，请你想象小刚回家路上的情景吗？请根据图表来构思一个简单的故事，描述小刚在这段时间内的活动情况。
把数学同生活情境联系起来，不同生活经历的学生会得出不同的描述，激发学生兴趣的同时，又使创新意识得到了培养。同时，学生的参与意识，收集处理信息的能力，提出问题、解决问题的能力也都得到了不同程度的提高。
（三）学案式校本作业的设计
很多学校都开发了适合本校学生学习的校本作业，以达到提高教学质量之功效，然而校本作业也存在较多的问题，需要与时俱进。以学案式校本作业来取代目前的作业形式，更有利于减轻学生负担，提高学习效率。以下是笔者在2015年12月从八上课本探究活动改编的专题课学案（有配套的教案）：
案例八：三角形分成两个等腰三角形的条件（学案）
1.课前作业
4.问题拓展，自主学习
同学们能再提出类似的进一步的问题么？
5.作业
（1）如果一个等腰三角形可以分成两个等腰三角形，试确定等腰三角形的三个内角。
（2）三角形可以分成三个等腰三角形的条件是什么？（挑战极限）
学生以“学案式校本作业”为载体先行去探究学习的相关内容，尝试去发现问题、思考问题、解决问题，形成一种属于自己的学习能力，真正学会学习。学生先行自主学习，知道了教师的授课意图，有备而来，克服了过去学习时的被动与盲目，找到了主动学习的支点，在合作学习、探究学习的有力依托下，确立了学生在课堂上的主体地位，培养了学生的分析问题、解决问题的能力。
九年级第一轮复习非常重要，好的作业设计将为提高第一轮复习的质量和效果提供重要的指导和帮助，还为第二轮、第三轮复习打下一个好基础。本文就九年级第一轮复习作业设计的原则、形式及方法等方面作了探究，取得了良好的复习效果。
参考文献：
[1]《数学课程标准》，北京师范大学出版社，2012.1
[2]严育洪著.《新课程评价操作与案例》，首都师范大学出版社，2006.4
[3]傅建明著.《教师专业发展的途径与方法》华东师范大学出版社，2007.5