二\导数 第10期

一星题:立足概念,夯实基础

二星题:立足重点,查漏补缺

三星题:立足难点,提升能力

一星题

1. 设函数f(x)在x=x0处可导,则=

(A) f′(x0) (B) -f′(x0) (C) f(x0) (D) -f(x0)

2. 设f′(x)是函数f(x)的导函数,若将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一直角坐标系中,则以下图形中不可能出现的是

(A) (B) (C)(D)

3. 可导函数y=f(x2+1) 的导数为.

4. 已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图1所示,则函数f(x)在(a,b)内的极小值点共有

(A) 1个 (B) 2个

(C) 3个 (D) 4个

5. 已知函数f(x)=xlnx.

(1) 求f(x)的最小值;

(2) 若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.

二星题

6. 设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)

(A) 在区间,1,(1,e)内均有零点

(B) 在区间,1,(1,e)内均无零点

(C) 在区间,1内有零点,在区间(1,e)内无零点

(D) 在区间,1内无零点,在区间(1,e)内有零点

7. 已知f(x)=kx3-x2+kx-16在R上单调递增,则k的取值范围是

(A) k>1 (B) k≥1 (C) k>1 (D) k≥1

8. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=.

9. 曲线y=2x2+3在点P(1,5)处的切线方程为;过点P(1,5)的切线方程为;过点Q(2,9)的切线方程为.

10. 设函数f(x)在R上的导函数为f′(x),且2f(x)+xf′(x)>x2,则以下不等式在R上恒成立的是

(A) f(x)≥0 (B)f(x)≤0 (C)f(x)>x (D)f(x)

11. 求证:不等式x-

12. 今年我国地质灾害频发,为更好地帮助灾区人民解决基本生活困难,现需要设计一种新型的帐篷.已知该帐篷下部是高为1m的正六棱柱,上部是侧棱长为3m的正六棱锥,如图2所示.要使得帐篷的体积最大,则帐篷的高(顶点O到底面中心O1的距离)应为多少?

三星题

13. 利用导数求和:-2+3-…-(-1)nn=.

14. 已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值,且0

(1) 求证: a>0;

(2) 若z=a+2b,求z的取值范围.

15. 已知函数f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.设函数p(x)=f(x)+g(x),若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.

【参考答案】

1. B2. D3. 2x f′(x2+1)4. A

5. (1) -

(2) 解: 由题意可知, f(x)≥ax-1在[1,+∞)上恒成立,即不等式a≤lnx+对于x∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=lnx+,则g′(x)=-=•1-. 当x>1时, g′(x)=1->0, g(x)是(1,+∞)上的增函数, g(x)min=g(1)=1,故a的取值范围为(-∞,1].

6. D7. B8. 18

9. y=4x+1;y=4x+1;y=4x+1或y=12x-15

10. 解: 设g(x)=x2f(x),则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]. 2f(x)+xf′(x)>x2≥0, 2f(x)+xf′(x)>0, 当x>0时,g′(x)>0;当x

11. (略)

12. 解: 设OO1长为x(m),由题意可知x∈(1,4). 易求得正六棱锥的底面边长为=,于是底面面积为6••()2=(8+2x-x2),帐篷体积V(x)=(8+2x-x2)•(x-1)+1=•(16+12x-x3). 对V(x)求导得V′(x)=•(12-3x2),令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去)或x=2.

当1

13. 解: (1-x)n=1-x+x2-x3+…-(-1)nxn,该式两边对x求导,得-n(1-x)n-1=-+2x-3x2+…+(-1)nnxn-1. 令x=1,则有-2+3-…-

(-1)nn=0.

14. (1) 证明:由题意可知,f′(x)=ax2-2bx+2-b,x1,x2是f′(x)=0的两个根, f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 函数f(x)在x=x1处取得极大值,且x1

(2) 解:由题意可知,f′(0)>0,f′(1)0;即2-b>0,a-2b+2-b0.化简可得2-b>0,a-3b+20;此不等式组表示的区域如图3阴影部分所示,平面aOb上的三条直线分别为:2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0. 易求得各点的坐标分别为:A,,B(2,2),C(4,2). z=a+2b,由线性规划可得z的取值范围为,8.

15. 解: 由题意可知,p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1,p′(x)=3x3+2(k-1)x+(k+5). p(x)在区间(0,3)上不单调, p′(x)=0在(0,3)上有实数解. 令p′(x)=0,得k=-=-(2x+1)+-.

令t=2x+1,则t∈(1,7),记h(t)=t+,易知h(t)∈[6,10), 即(2x+1)+∈[6,10), k∈(-5,-2].

当k=-2时,p′(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,即当k=-2时p′(x)≥0,p(x)单调递增,故应舍去, k∈(-5,-2).

题目选自《中学生天地》(高中学习)编辑部与平湖市当湖高级中学王健老师合作开发的“教学伴侣――word数学习题库”