矩阵在数学建模中的应用范文

矩阵在数学建模中的应用篇1

[摘 要]从整个供应链角度来看,完整的物流系统应包括正向物流和逆向物流,逆向物流作为物流学领域中的一个新的分支,其重要性越来越被认识。企业在构筑逆向物流系统时面临着如何选择逆向物流模式的问题,新专家方法利用专家法和层次分析法相结合的方法,采用战略绩效管理中的评价工具平衡记分卡中的四个方面作为评价指标,对逆向物流的四种模式进行了分析与比较,并对某医药企业逆向物流模式进行了量化分析与模式选择。

[关键词]专家方法 逆向物流 层次分析法 模式选择

一、模型的建立

目标是:A合理选择企业逆向物流运作模式

准则层的因素包括:B1,B2,……,Bn

企业可供选择的方案有:P1,P2,……,Pl

假设有m名专家对各因素给出判断矩阵,且各专家的权重相同,企业对各专家意见的态度一致,无偏爱。

建立模型如下:

二、计算步骤

第一步:确定影响企业选择逆向物流模式的因素。

第二步:给出判断矩阵,(k=l,2,… ,m)。专家群体针对上述影响企业选择逆向物流模式的因素给出各自的判断矩阵。设表示第k个专家确定第i因素在这n个因素中的重要性,而则表示第 i 因素相对于第 j 因素的重要性,我们用表示,则可得如下矩阵:

矩阵中的元素应尽量满足如下两个条件:

(互反性)(一致性)

其中,的大小按照saaty标度表给出。

第三步:计算专家意见的相似系数。

为了判断专家意见是否符合多数原则,需要计算专家意见的相似系数。

将每一判断矩阵的各行分别首尾相连,并按顺序排成一行,则 个专家的判断矩阵可以得到一个行列的新的矩阵。

将矩阵中的每一个元素除以该矩阵的最大元素,则矩阵转变为矩阵。

计算矩阵中各行之间的相似系数,并由此组成相似系数矩阵。

将此矩阵的每行相加,则可得到一个新的相似系数:

其中,为专家人数。表示第i个专家的判断矩阵与其他专家群体的判断矩阵的相似程度。

第四步:剔除偏离程度大的判断矩阵。

如果少数专家的判断矩阵与其他专家群体的判断矩阵的相似程度很低,即很小,则应予以剔除,以使结果符合多数原则。也就是说在下面的公式中,当大于某一阀值时,这个意见应该被排除掉。公式如下:

其中,为相似系数的最大值。为第i个专家的相似系数与最大相似系数的偏离程度。当大于某个值时,该专家的权重意见将被排除。这个值是在具体模式评价中总结出的经验值。

第五步:确定判断矩阵的特征向量。

运用幂法计算判断矩阵的最大特征根及其相应的特征向量,并检验判断矩阵是否满足一致性指标。具体步骤如下:

(1) 计算最大特征根及其对应的特征向量

对于最大特征根及其对应特征向量的计算一般采用幂法,该方法的步骤如下:

① 任取初始正向量,,计算,;

② 迭代计算,,;

③ 当 (表示任意给定的正数)或时转④ ,否则令,转②;

④ 将归一化,即,,。和v即是所求的特征根和相应的特征向量。

(2) 进行一致性检验

为了检验判断矩阵的一致性,需计算它的一致性指标。当判断矩阵具有完全的一致性时,,。当越大时,矩阵的一致性就越差。

由于的值与判断矩阵的维数有关,我们采用相对一致性指标,。其中,为平均随机一致性指标。其取值如表1。

当时,判断矩阵基本满足一致性,而当时,则需要调整判断矩阵。

(3) 调整判断矩阵

若判断矩阵不能够通过一致性检验,则表明该矩阵本身自相矛盾。可以让专家重新给出判断矩阵,直到满足一致性为止。

第六步:确定最终的共同因素的权重。

运用相似系数对特征向量加权,使准则层各因素的权重更加合理,更全面地反映专家群体的意见。

(1) 计算剩余判断矩阵的相似矩阵,相应的相似系数以及 。

(2) 将剩余专家的判断矩阵的特征向量写成一个矩阵。

(3) 确定最终的共同因素的权重。,将归一化可得到。

第七步:计算,即专家群体对于第i种因素具体方案j的权重。

方法和前述的第二步到第六步一致。只是在第二步中,专家要给出对于第i个因素而言,各个方案的判断矩阵。如果有m个专家,n个因素,一个方案,在第二步中,专家一共要给出mn个判断矩阵。

第八步:总排序,计算,表示第j个方案在所有备选方案中的权重。。企业负责人可根据各方案的总排序做出决定。

三、新专家方法的应用举例

1.逆向物流的四种运作模式

逆向物流的常见的四种运作模式包括自营模式、第三方逆向物流、战略联盟型逆向物流模式、综合方案提供商(ISP)模式[4][5]。

2.选择影响企业选择逆向物流模式的主要因素

在这里我们选择平衡记分卡的四个指标作为企业选择逆向物流模式的主要因素。平衡记分卡是战略绩效管理的评价工具[6],反映财务和非财务指标、长期和短期目标、外部和内部、结果和过程、管理和经营业绩的平衡。组织要从财务、顾客、学习与成长、内部运作过程四个方面审视业绩,在跟踪财务结果的同时,监控企业无形资产的获取能力。企业逆向物流也是一个系统的运作过程,关系到企业成本、服务、形象等诸多方面,也需要对其进行战略绩效评估。

3.实例研究:某企业的逆向物流模式决策

某医药企业要开展网上售药业务,针对上述评价指标体系来选择逆向物流模式。其向四名专家征求了意见。

(1)四名专家对各因素给出的判断矩阵

①专家对评价指标给出的判断矩阵

②专家针对评价指标B1对方案的判断矩阵

③专家针对评价指标B2对方案的判断矩阵

④专家针对评价指标B3对方案的判断矩阵

⑤专家针对评价指标B4对方案的判断矩阵

(2)利用模型进行计算

①对第一组判断矩阵的计算

剔除前的判断矩阵的相似系数和偏离系数为:

剔除与最大相似系数相比偏离程度最大的专家3的判断矩阵。根据步骤五,可计算出剩余判断矩阵所对应的最大特征根、相应的特征向量和相对一致性指标,如表3所示。

从表3中可以看出所有的CR

可得,

将归一化得。

②同理,分别对第二、三、四、五组判断矩阵进行计算得

③总排序

利用公式计算,

。

从总排序上看,第四种模式的权重最大,所以该医药企业应选择第四种逆向物流模式,即综合方案提供商(ISP)模式。

参考文献:

[1] 熊焰:基于电子商务的逆向物流优化模型及其应用策略[J]. 上海应用技术学院学报,2005,(9):179-182

[2] 林齐宁:决策分析[M]. 北京:北京邮电大学出版社,2005.:102-115

[3] 张鹏 曾永泉 岳超源:信用风险度量的新专家方法[J]. 科技进步与对策,2006,(7):52-54

[4] 付晓帆 杨海荣 胡春:电子商务B2C市场逆向物流的模式选择与管理[J]. 北京邮电大学学报,2006,(10):14-18

[5] 娄慧轩:浅析基于虚拟企业的电子商务物流配送模式[J]. 黑龙江对外经贸,2006,(2):55-56

矩阵在数学建模中的应用篇2

关键词： 电磁建模； 精确求解； 复杂物体； 多层简易矩阵稀疏算法； 自适应交叉算法

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2016）07?0161?06

Abstract： To improve the efficiency of exactly solving the electromagnetic modeling of large?size three?dimensional complex object， the improved multilayer simple sparse matrix （MLSSM） algorithm based on adaptive crossover algorithm （ACA） is adop?ted. The experimental verification of theory analysis and realization process shows that： the computing efficiency of using improved ACA algorithm is significantly increased than that of moment method； the memory requirement is reduced by a half by means of the improved MLSSM， which can significantly improve the speed of matrix construction process； the computing complexity is reduced by means of the improved MLSSM， and the speed of iterative solution process is significantly improved. The comparison results show that the improved MLSSM algorithm has the advantages in the aspects of reducing the computing complexity and analyzing the large complex object in half space. The study has certain theoretical and applied significances for the optimization of the complex object electromagnetic modeling.

Keywords： electromagnetic modeling； exact solution； complex object； multilayer simple sparse matrix algorithm； adaptive crossover algorithm

0 引 言

随着科技不断的飞速发展，对三维电较大对象的电磁建模，同时还做数值分析方面的深层研究，借助于计算机软件以及硬件功能都得到了很大的提升，这让从前没办法对某些对象做研究分析，而在现在能够得以实现[1?3]。在现实社会中对于很大尺寸对象的研究分析预期借助计算机的功能水平大大高于实际发展的水平，所以如何提升数值运算的能力，是学者研究电磁学的关键因素。在三维电大尺寸对象的理论分析里，一般经常用到的方法有微分、高频等方法[4?5]。比如有限元法属于微分法，物理光学法、几何绕射理论属于高频方法。采用有限元方法虽能形成不太密集的矩阵，但其对欲求的对象做体剖分[6?7]。在分析对象的电尺寸非常大时，网格在离散时产生的未知量数目很多且无法预知，所以造成的运算量非常大。在高频条件下的假设，高频方法在面向较为复杂的对象时没办法得到精确的数据，所以无法应用[8]。而采用矩量法能够得到精确的数据，任意几何形状以及复杂的物体都能适用，也不用增加吸收边界条件，在做网格离散的时候，只用在被分析对象的表面上实施就可以，这样一来，该算法的未知数就大大减少。传统的矩量法得到的是稠密矩阵，在进行运算时会花费较多的时间以及空间，而当代的计算机要实现大尺寸对象运算非常困难[9?10]。本文基于上述背景，改进多层简易矩阵稀疏算法实现网格离散复杂目标的优化设计，这一研究对于复杂物体的电磁建模的优化有一定的理论和应用意义。

1 MLSSM算法改进设计

一开始的多层简易矩阵稀疏方法（MLSSM）是以直接的方法做求解的。该方法基于稀疏阻抗矩阵，而如今已成为迭代求解的方法，能够在低秩类方法上构建起来。另外，还可以把阻抗矩阵用另外几个更稀疏的矩阵以乘积的方式表达，其实就是低秩方法的再压缩。以常见的低秩类方法产生的阻抗矩阵里，层和层无逻辑上的关系，每一层都相互独立，并且在压缩以后矩阵的秩只可以在某种角度上减小以及对中间范围的电尺寸对象特征的分析。多层简易矩阵稀疏的任意一层阻抗矩阵都是环环相扣的，产生的是嵌套结构，所以只能再减小内存的需要以及提升矩阵矢量乘的处理。

1.1 自适应交叉算法（ACA）

同时把其代到式（4）能求得指定的频带内任何范围的频率点的未知向量解[x（k）]。在进行求解时仅作一次矩阵求逆运算，就能够得到全部频带内的频率响应。该优点就是ACA算法能够使得运算效率提升。

1.2 应用ACA优点改进多层简易矩阵稀疏方法

依照树形结构，可以把阻抗矩阵分成近场[ZN]和远场[ZF，]和其他快速算法不一样的是，多层简易矩阵稀疏方法把阻抗矩阵分成3部分。在其中任意一层的全部非空组，其阻抗元素有近场、本层远场以及父层远场3部分。在这里以一个四层八叉树形成的阻抗矩阵为例。四层树形结构的最细层的阻抗矩阵分解见图1。

图1右边第一个子图是描述近场组作用产生的矩阵。第二个子图是本层远场组对应的阻抗矩阵。第三个子图是父层远场组相互作用产生的矩阵。对于强相互作用的矩阵无需任何操作，采用矩量法做填充。弱相互作用部分采用ACA算法，MLSSM通过低秩类方法做填充。通常情况下，MLSSM可形成下面的递归表达式：

式中：[ZL]是在第[L+1]层远场部分阻抗矩阵的稀疏描述方式，其任意一层的阻抗矩阵都有其对应的本层以及父层远场；[ULZL-1VHL]是父层远场部分；[ZL]是本层远场部分，表示的是几个稀疏矩阵相乘。当创建一层数为[L]的树形结构时，最细层[ZL]描述的是近场组的阻抗矩阵，而在最粗层是没父层远场，因此，MLSSM由第[L]层递归到第2层。此时的矩阵元素全部是在复数域范围里，[UL]称作行基矩阵，[VL]称作列基矩阵，[UL，VL]都是以对角方式的酉矩阵。和传统的MLSSM对照，经改进后的MLSSM只用保存[UL]以及[12]的[ZL-1，]这样就减少了冗余的数据。按照这个方式，可以构造出和前面阻抗矩阵类似的表达式。

1.3 算法改进设计详细说明

按照改良的MLSSM本质思路，它的阻抗矩阵的表达式和MLSSM不一样，这里叙述其构造方法以及步骤。

耦合矩阵也涵盖了对应的本层远场和父层远场。本层远场可形成最细层的耦合矩阵，父层远场是下一层要操作的，在经处理后可形成嵌套形式。

改进的MLSSM构造的步骤（如图2所示）有下面三步：

（1） 在树形结构的底层，通过采用ACA算法，可把全部远场的阻抗矩阵做填充处理，得到子块的[Uij]以及[VHij，]其全部是低秩矩阵，近场的阻抗矩阵可采用矩量法求得。

（2） 把前面的[Uij]按照非空组做组合，同时进行SVD分解后乘以[VHij，]采用式（12）的方法最后得到最细层的行基、列基矩阵以及耦合矩阵。

（3） 耦合矩阵分为两个组成部分，把本层远场部分进行存储，父层远场部分做UV分解处理，最终得到如同第一个步骤的两个低秩矩阵相乘的表达式，即是次细层每个非空组的矩阵，反复进行前面叙述的步骤，一直到最粗层终止。

2 算法改进的实验验证

2.1 ACA算法优势验证

由上面叙述的最终数据结果可知如下结论：

（1） 泰勒级数展开和帕德逼近都在一定范围内的频带和矩量法解一致，而帕德逼近比泰勒展开近似频带更宽，和理论分析一样，预期效果也基本一致。

（2） 采用ACA算法可以较好的逼近双负媒质的MOM逐点运算解。表1说明了ACA算法能更好的得到双负媒质的宽频RCS频率响应，其效率比矩量法逐点的方式进行运算提升了很多。

2.2 压缩效果的对比验证

要证明经改进的MLSSM比传统的MLSSM对ACA压缩的效果更加明显，本文给出了几个数据进行验证。这几个数例在测试过程中，都在同一计算机设备配置下进行。最初，为保证实验流程的准确，还对一个半径为2.4 m的金属球进行了测试，预设的平面波入射频率是300 MHz，其波长[λ=1 m，]入射角[θi=0°，][?i=0°。]依据[0.1λ]的标准采取RWG基函数的方式将其表面做网格离散处理，之后未知量有23 952个。构建一个三层的树形结构，设置[0.3λ]为其最细层的电尺寸。再进行阻抗矩阵填充，ACA的截断公差是[1×10-3，]而MLSSM、改进的MLSSM的奇异值分解截断参数都一样，也是[1×10-3。]最后生成的方程组通过以GMRES方式进行迭代求解，设定收敛精度为[1×10-3。]此时，这两种方式都各自计算金属球的双站RCS，同时把这种结构以及Mie级数做对比，能够发现数据结果是吻合的，由此证明本文的运算结果是对的，如图5所示。表2将MLSSM与改进的MLSSM需占据的内存以及在进行迭代时耗费的时间做对照，能够知晓改进的MLSSM所需空间减少了一半，并且矩阵的构造提高了效率。

接着，分析如图6所示的自由空间导弹模型的散射特性。其电尺寸是[16λ，]平面波入射频率[f]为800 MHz，其波长为[λ=0.375 m，]入射角[θi=0°，?i=0°，]依据[0.1λ]的标准采取RWG基函数的方式将其表面做网格离散处理，之后未知量有56 859个。再进行阻抗矩阵填充，ACA的截断公差是[1×10-3，]而MLSSM、改进的MLSSM的奇异值分解截断参数都一样，也是[1×10-3。]构建一个四层的树形结构对此模型做分组，最后生成的方程组通过以GMRES方式进行迭代求解，设定收敛精度为[1×10-3。]此时，这两种方式都各自计算此模型双站RCS，见图7，发现数据结果是吻合的。表3将MLSSM与改进的MLSSM在需占据的内存、构造时间以及在进行迭代时耗费的时间做对照，能够知晓改进的MLSSM的运算降低了难度，并且在矩阵的构造以及迭代运算上都提高了效率。

如果需要计算的对象在有耗半空间的上方，因为并矢格林函数具有较为复杂的形式，其计算采用快速多极子难度较大；加上快速多极子受到分组的限制，通常情况下，它有以下三个环节，即聚合、转移以及配置；如果分组过大，即便转移过程可正常进行，但在一定程度上会降低聚合与配置过程的效率；如果分组过小，情况刚好相反，其转移过程与计算相对会变得更加复杂，而聚合与配置过程则没有多大影响。因此，分组大小要恰当，这样快速多极子才发挥其最大的效率，通常最细层的电尺寸不能超过[0.2～0.4λ]这个范围。经过改进的MLSSM方法是基于ACA而建立的，属于纯代数方法，这点与ACA相同，并不只局限于格林函数的形式，它就是对矩阵的数学压缩，没有快速多极子聚合转移配置的过程，所以也不受限于分组。由以上两个优点可知，经过改进的MLSSM非常适用于对有耗半空间上目标的分析。

3 结 语

本文对矩量法中的快速迭代法进行了概括，着重对MLSSM的阻抗矩阵形式进行了分析，同时采取了一种新的方法作出了相应的改进，经过改进的MLSSM是对低秩类方法的进一步压缩，新的MLSSM计算相对要简单很多，其嵌套结构使矩阵矢量乘操作速度加快，数值算例分析对其正确性、有效性以及实用性进行了验证，与其他算法相比，它在很大程度上可以减少同一模型的计算量，而且还是代数类方法，就算没有使用格林函数的形式，也可不受分组的限制，在分析环境较为复杂的电磁问题中比较适用。

参考文献

[1] 王鼎，吴瑛.一种利用互耦矩阵稀疏性的阵列误差有源校正改进算法[J].信号处理，2009（9）：1414?1420.

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[3] ZHANG Z C， HONG H S， WAI O W， et al. Parallel hydrodynamic finite element model with an N?Best refining partition scheme [J]. Chinese journal of oceanology and limnology， 2010， 28（6）： 1340?1349.

[4] 崔树标，张云，周华民，等.边界元矩阵稀疏化算法及其应用[J].上海交通大学学报，2008（10）：1618?1621.

[5] 彭志威，王波，保铮，等.矩阵稀疏化中的最优子波滤波器组设计[J].西安电子科技大学学报，1999（1）：35?40.

[6] ZHONG Weitao， SHAO Zhijiang， ZHANG Yuyue， et al. Applying analytical derivative and sparse matrix techniques to large?scale process optimization problems [J]. Chinese journal of chemical engineering， 2000， 8（3）： 212?217.

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[8] REN Jianmin， ZHANG Yimen. A sparse matrix technique for simulating semiconductor devices and its algorithms [J]. Journal of electronics （China）， 1990， 7（1）： 77?82.

[9] ZHENG Xiaolang， YANG Yiwei. A sparse matrix model?based optical proximity correction algorithm with model?based mapping between segments and control sites [J]. Journal of Zhejiang University science C， 2011， 12（7）： 436?442.

矩阵在数学建模中的应用篇3

关键词：线性代数 矩阵 图像处理

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2017）01（a）-0211-02

线性代数基本概念众多、应用领域广泛，其中线性代数在图片处理过程中的应用较广。当下，图像的处理都基本是靠计算机来完成的。在计算机中，图像是有许多看似连续的像素构成的。由于像素间的距离非常近以至于眼睛都不能分辨出来。在数学上图像的每个像素就是线性代数中矩阵的每个元素，因此图像是可以用矩阵来表示的。只是图像的种类不同，矩阵的维数会有变化：灰度格式的图像（我们平常成为黑白图片）可用一个元素值介于0～255之间的二维矩阵来表示，元素值得大小对应着像素点的亮度（0对应黑色，255对应白色）；彩色图像（即RGB图像）可用一个三维矩阵表示，我们平常所说的红（R），绿（G），蓝（B）分量分别用一个矩阵表示，3个矩阵组合起来构成的这个三维矩阵。可以说，图像就等于矩阵，所以将线性代数中有关矩阵理论的成果应用于图像处理是非常可行的[1]。

1 线性代数教学中遇到的问题

数学类课程对众多学生而言都是枯燥乏味的。那么是什么原因导致了这种情况的发生呢？不可否认教师及学生们都有一定的责任。从教师角度而言，受生活压力及周围环境的影响，不投入大量的时间对所教学内容进行深入的思考与联想。从而无法给出生动而贴近实际的例子，只是单方面传授基本概念、性质、理论及简单教学案例。这将大大缩减课程的吸引力。另一方面从学生角度而言，随着手机时代的来临，很多同学都将过多的时间投入到了诸如聊天、打游戏、参加活动等而大大缩小了认真思考、连续思考的时间，这也必然会导致学生们对课程内容理解程度及深度的迅速下降。其典型表现包括缺乏领军人才、就业后无法短时间内能够为企业带来经济社会效益、就业方向与大学专业不一致、“只听其课而不知其意，只见其形而不知其原”等事件经常出现。

2 线性代数常见内容及其图片处理中的应用

2.1 图像的变暗或变亮――矩阵的数乘

当用户利用相机或者手机拍下不太理想的照片时会利用很多手段来修复照片，这些修复的手段都暗藏了矩阵的知识。例如，在背光的条件下拍摄照片由于曝光不足可能会得到拍摄主体模糊不清的效果。这时，只要我们按照一定的比例进行原始照片的数乘运算就能把照片的亮度调大并使拍摄主体显现出来。当然，亮度调大后的图像有些细节会有损失。因此，每个像素所乘的比例需要用到相应的算法来寻找，这样才能保证亮度调大后的照片不失真[2]。

2.2 图像旋转――矩阵的转置、矩阵的线性变换

在图像处理过程中，图像的旋转是一种常用图像处理技术，并且其应用领域十分广泛，例如，军事、航空医学等方面。在倾斜校正、多幅图像比较、模式识别以及进行图像的剪裁和拼接时，都需要对图像进行旋转处理。图像旋转简单来说就是图像在平面内绕一个顶点旋转某个角度。这个过程可以理解为图像矩阵的转置或者线性变换，同时也需要一定的处理方式来保证旋转后的边界效果[3]。

2.3 图像复原――矩阵的逆

数字图像的复原是图像处理的重要组成部分，它是根据图像退化模糊的原因来还原图像的本来面目。在复原的过程中，首先需要分析图像退化模糊的原因，然后建立模型逆向估计原始图像[4]。这个过程与我们在线性代数里所学的求矩阵的逆是非常相似的：矩阵是当前的图像矩阵，而单位矩阵是图像矩阵退化模糊的原因，我们得到当前图像矩阵的逆矩阵就是退化模糊前的矩阵。

2.4 图像的分割――矩阵子块的提取

数字图像的分割是指根据灰度、彩色、空间纹理、几何形状等特征把图像划分成若干个互不相交的区域，使得这些特征在同一区域内，表现出一致性或相似性，而在不同区域间表现出明显的不同[5]。其实，图像分割可以简单理解为原始的图像矩阵求子矩阵的过程，只不过图像分割在划分子矩阵的过程中需要考虑不同的特征因素。

2.5 图像压缩――矩阵的分块

数字图像的压缩也称为图像编码，是在有限的存储介质和传输介质的条件下通过映射变换、量化、编码3个环节来表示已有的图像矩阵[6]。这个过程可以简化为对原有图像矩阵进行变化，虽然会改变矩阵的数据特性，但是这样可能更加利于存储和传输。

2.6 图像对比――线性相关性的判断

数字图像的对比简单来说就是寻找图像之间异同点的过程，并且能够通过分析图像之间的异同点来分析出其中的线性相关性（即图像矩阵间的线性相关性）。

2.7 图像视角的改变――特征向量

数字图像视角的改变是指根据已有的图像矩阵得到不同视角的图像。这个过程就像是对已知的图像矩阵乘以一个矩阵来得到新的矩阵。

一个向量关于横轴做镜像对称变换，即保持一个向量的横坐标不变，但纵坐标取相反数，把这个变换表示为矩阵就是[1 0；0 -1]，其中分号表示换行，显然[1 0；0 -1]*[a b]'=[a -b]'，其中上标'表示取转置，这正是我们想要的效果，那么现在可以猜一下了，这个矩阵的特征向量是什么？想想什么向量在这个变换下保持方向不变，显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变，所以可以直接猜测其特征向量是 [a 0]'（a不为0），还有其他的吗？有，那就是纵轴上的向量，这时经过变换后，其方向反向，但仍在同一条轴上，所以也被认为是方向没有变化，所以[0 b]'（b不为0）也是其特征向量，去求求矩阵[1 0；0 -1]的特征向量就知道对不对了。

3 结语

通过引进线性代数基本概念在图像处理中的应用，不仅丰富了线性代数教学内容，同时也为图像处理技术的深层次研究打下了坚实的基础。今后，教师们应该全面开拓不同课程的实际应用价值，快速提高学生们的学习爱好及创新精神，以实现我国由基本理论学国转向应用技术产出大国的目的。

参考文献

[1] 王小侠，赵凤群，戴芳，等.正交变换在图像压缩中的应用[J].大学数学，2013，29（3）：64-68.

[2] 徐小东.图像亮度的自动调整[D].浙江：浙江大学，2007.

[3] 杨素娣.图像区域个数统计，图像重现和图像旋D算法的研究[D].上海：华东师范大学，2007.

[4] 沈`，李舜酩，毛建国，等.数字图像复原技术综述[J].中国图象图形学报，2009，14（9）：1764-1775.

[5] 何俊，葛红，王玉峰.图像分割算法研究综述[J].计算机工程与科学，2009，31（12）：58-61.

矩阵在数学建模中的应用篇4

关键词：建筑工程项目；质量管理；层次分析法；对策研究

一项建筑工程是否被评价为优秀质量工程，获奖的条件虽然不完全相同，但综合起来，主要有四个方面因素：设计优秀、技术先进、施工质量好、经济效益好。由于系统科学、运筹学和电子计算机技术的引入，定量化的建筑工程评价方法不断出现，据不完全统计，仅研究开发的评价方法和模型己有数百种之多，目前还没有见到统一分类。

本文对建筑工程质量的评价主要是对建筑工程项目的施工质量进行评价，结合相关质量管理理论，运用层次分析法并对其不足加以改进。

一、AHP模型

层次分析法（Analytio Hierarchy Process简称AHP）是20世纪70年代初由美国运筹学家萨迪（T.L.Saaty）教授提出的。其原理是把复杂问题看成一个大系统，通过对系统因素分析，划出各因素间相互联系的有序层次，或称为递阶层次结构；请专家对每一层次的因素进行客观判断后，给出相对重要性的定量表示；进而建立数学模型，计算出每一层次因素相对重要性的权重值，并加以排序；最后根据排序结果进行规划决策和选择解决问题的措施。

层次分析法的应用过程可以简化为三步：

第一，建立所研究问题的多层次结构模型。层次结构是问题中各元素相互隶属关系的表现。通过对问题的分析，建立一个有效的合理的递阶层次结构模型。递阶层次结构的目标层一般是决策层，往下一层就是准则层。递阶层次结构的最低层通常是备选方案，这些备选方案通过子准则、准则与决策目标建立联系。

第二，构建两两比较判断矩阵。建立递阶层次结构以后，上下层之间元素的隶属关系就己经确定，就可以建立以两两比较判断矩阵。为了使决策判断定量化而形成数值判断矩阵，在两个因素互相比较时，需要确定定量度，A.L.Saaty提出利用（1-9）九标度进行专家评分，其含义如表1所示。

第三，计算权向量并做一致性检验。上述构建的两两比较矩阵构成了决策分析的基础，但要解决一系列的处理问题，特别是一致性问题。AHP方法在处理这个问题时，主要考虑对不一致程度的“容忍”。这样对于每一个两两比较矩阵都要计算其最大特性及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。检验通过，归一化特征向量即为权向量；若通不过，需要重新构建判断矩阵。

计算相对一致性指标公式：CR＝CI/RI③

式中，aij表示矩阵A中行指标Ai对列指标Aj相对重要性的比例标度，λmax是判断矩阵A的最大特征值，RI为平均随机一致性指标。

一般而言，CR的值越小表明判断矩阵越好，通常认为CR

二、AHP模型在建筑工程中的应用与改进

为了使决策判断定量化而形成数值判断矩阵，在两个因素互相比较时，需要确定定量度，A.L.Saaty提出利用（1-9）九标度进行专家评分。但是专家咨询时，由于很难掌握标度的标准，往往做出的判断不能满足一致性检验，此时需要重新进行咨询或修订。当求解权向量时，由于判断矩阵的不一致性，收敛较缓慢，迭代次数较多，从而增加了计算量。此外，由于层次分析法中的标度实质是两指标间的相对重要程度，理论上如果要满足一致性检验，则其值的大小近似为两指标权重的倍数。经实践证明，（1-9）标度的层次分析法对评价指标数较少即判断矩阵阶数较小的评价指标权重确定有一定的局限性。

假定某一评价A有两评价指标a1、a2，专家认为a1比a2稍微重要，采用九标度法计算权重，判断矩阵为 1 31/3 1，其指标权重向量为（0.75，0.25），一致性检验λmax=2，CI=0，CR=0。（0.75，0.25）这一结果与“稍微”明显不太相协调，说明采用层次分析法计算权重时，（1-9）标度法存在着一定的不合理性。对于其存在的不足，在判断矩阵阶数n

仍考虑上述的例子，取相对重要度为1.5，判断矩阵为 1 1.50.6671，计算得出评价指标的权重系数向量为（0.6，0.4），一致性检验λmax=2，CI=0，CR=0。（0.6，0.4）与“稍微”是基本相一致的，从这一实例的角度看，在评价指标相对较少的评价中，利用（1-3）标度法中指标的相对重要度来确定权重得到的结果比传统的（1-9）标度法更合理、客观。

三、结束语

本文通过对AHP模型的研究分析，以AHP模型做为论文理论模型，对判断矩阵进行了详细的分析。针对建筑工程中n

参考文献：

1、安平.建筑工程造价管理的对策与应用[J].建筑设计管理,2010(4).

2、戚黎蔚.AHP层次分析法在ITAT创业投资项目风险估中的应用研究[D].上海交通大学,2008.

矩阵在数学建模中的应用篇5

Abstract： Interpretative structural modeling technology is the most basic， the most unique system structure modeling technology， and reachability matrix is also the most important step of interpretative structural modeling（ISM） ， based on ISM directed graph and according to the operation rules of Boolean algebra， this paper expounded a more simple and new algorithm by adjacency matrix to reachability matrix. This paper compared with Warshall algorithm， reflected the simple place of the new algorithm.

关键词： 解释结构模型;邻接矩阵;可达矩阵;新算法

Key words： interpretative structural modeling;adjacency matrix;reachability matrix;new algorithm

中图分类号：N945.12 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2015）04-0213-03

0 引言

本文阐述的由邻接矩阵求可达矩阵的新算法，较之以前运用普遍的Warshall算法更简便，计算量大大减小，可以作为以后普遍适用的新算法。该新算法的推广将会使解释结构模型化技术的应用更简便易行。

1 解释结构模型（ISM）

解释结构模型化技术是最基本、最具特色的系统结构模型化技术。其基本思想是：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，最后用文字加以解释说明，明确问题的层次和整体结构，提高对问题的认识和理解程度。ISM的基本工作原理如图1所示。

2 常用的Warshall算法

2.1 邻接矩阵

2.2 邻接矩阵的特征

2.3 可达矩阵 可达矩阵（M）是表示系统要素之间任意次传递性二元关系或有向图上两个节点之间通过任意长的路径可以到达情况的方阵。

若可达矩阵M=（mij）n×n 则其定义为：

mij=1 Si可达Sj（包括：直接可达、间接可达、自身可达）0 否则

2.4 求可达矩阵的Warshall算法

①Warshall算法步骤：可达矩阵与邻接矩阵存在必然的联系。可达矩阵M可用邻接矩阵A加上单位阵I，经过演算后求得。

②可达矩阵的运算规则：矩阵运算规则和布尔代数运算规则。布尔代数的运算规则：矩阵A和M的元素均为“1”或“0”，是n*n阶0-1矩阵。0-1矩阵运算时遵循布尔代数的运算规则：

0+0=0， 0+1=1， 1+0=1， 1+1=1

0×0=0， 0×1=0， 1×0=0， 1×1=1

③Warshall算法求可达矩阵举例：

由邻接矩阵A求可达矩阵M的过程如下：

A=0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 A1=A+I=1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

A1描述了各点间经长度不大于1的路径的可达情况。

A2=A1×A1=1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1×1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1=1 1 1 00 1 1 10 0 1 10 0 0 1

A2描述了有向图中各点间经长度不大于2的路径的可达情况。

A3=A2×A1=1 1 1 00 1 1 10 0 1 10 0 0 1×1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1=1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

1234，“1”经过长度为3的路径到达“4”，即它描述了各点间经长度不大于3的路径的可达情况。

A4=A3×A1=1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1×1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1=1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1=A3

A4=A3计算结束。

Warshall算法适合于由计算机产生可达矩阵。

3 由邻接矩阵求可达矩阵的简便算法

3.1 原理

此简便方法中的邻接矩阵同Warshall算法中的邻接矩阵，同样采用布尔代数运算规则。

原理：对邻接矩阵A，如果有aij=1，且ajk=1，则一定有aik=1。对邻接矩阵A，如果有aij=1，且对于A的转置矩阵AT有akj=1，则一定有aik=1。所以只要将A和AT对应列的1元素所在的行数列出，并进行排列组合，即可得出所有的aik=1。

3.2 简便算法的操作步骤

①建立邻接矩阵A及其转置矩阵AT;

②将A和AT中对应列逐一比较，将其中为1元素的行提取出来列在表中，分别作aij的i和j的排列组合，形成新的aij=1。将得到的新的aij=1元素填入到A中;

③重复第②步，直到A中的元素不再变化;

④将A的主对角线元素全部用1替换，即得到M。

3.3 举例说明

邻接矩阵A=0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0 AT=0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0

②由表1可以看出，a13=1，a24=1，将其加入到A中。

③重复第②步。将a13=1，a24=1加入到A中得到：

A=0 1 1 00 0 1 10 0 0 10 0 0 0 AT=0 0 0 01 0 0 01 1 0 00 1 1 0

由表2可知，a13=1，a14=1，a24=1，将a14=1加入到A中。

继续重复第②步，将a14=1加入到A中得到：

A=0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0 AT=0 0 0 01 0 0 01 1 0 01 1 1 0

由表3可得，a13=1，a14=1，a24=1，没有形成新的aij=1，所以不再迭代。

④最后，将A的主对角线元素全部改成1，即得到M。

A=0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0 M=1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

此方法较Warshall算法操作更简便，简单易懂，运算量大大减小。

4 结语

本文基于ISM有向图，以矩阵运算和布尔代数运算为原则，探索出建立递阶结构模型中由邻接矩阵求可达矩阵的一种新算法。利用矩阵运算中转置矩阵AT中的元素aij等于原矩阵A中的元素aji，结合可达矩阵中元素直接可达，间接可达及自身可达的性质，由邻接矩阵依次找出间接可达和自身可达的元素关系，进而求得可达矩阵。该方法操作简单，较传统的可达矩阵求法而言，大大减少了计算量，使建立递阶结构模型更简便易行，对解释结构模型（ISM）的普遍应用将起到一定的推动作用。另外，该算法完全可以实现计算机化，这可以作为下一步的研究内容。

参考文献：

[1]杨伟丽.基于ISM有向图的求可达矩阵的简洁算法[D].厦门大学.

[2]汪应洛（西安交通大学）主编.系统工程[M].四版.机械工业出版社.

[3]王秋萍，梁戈.求可达矩阵的Warshall算法[J].西安理工大学学报，1996，12（1）：80-82.

[4]王欣欣，李金保.关于由邻接矩阵求可达矩阵的方法[J].吉林化工学院学报，2005，8（4）：89-94.

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基金项目：河南省软科学研究项目（编号：132400410185）。

矩阵在数学建模中的应用篇6

【关键词】 矩阵； 辅助生产费用分配； 可视化

【中图分类号】 F230.9 【文献标识码】 A 【文章编号】 1004-5937（2016）14-0079-05

引 言

在工业企业中，基本生产车间和辅助生产车间都是企业的生产车间，均生产产品或提供劳务。但是，两者的生产任务却有差异：基本车间的任务是生产产品或劳务；而辅助车间的任务则是为基本车间、企业内部的其他部门或企业外部的其他单位提品或劳务。因此，辅助车间所产生的费用必须由各受益部门共同分担。在辅助生产费用分配方法中，直接分配法未考虑辅助生产之间相互提品或劳务，交互分配法对内部与外部受益部门采用不同的分配率，计划成本分配法要求计划单位成本必须切合实际，顺序分配法难以确定分配排列顺序、未能体现交互服务关系，代数分配法计算工作量较大。因此，采用科学、合理的分配标准和方法对辅助生产费用进行归集与分配是产品成本核算的关键，有利于计算产品生产成本、降低费用开支，也有利于计算当期损益、提高财务报表质量。

一、文献综述

关于辅助生产费用分配问题，学者们主要从辅助生产费用分配计算方法、信息化、教学等方面展开研究。辅助生产费用分配计算方法方面：吴君民（1995）指出会计实务中存在辅助生产自身消耗，分析了辅助生产自身消耗对辅助生产费用分配和责任成本的影响[ 1 ]；朱卫东、乔鹏程（2013）认为，交互分配法的不足主要是对各受益对象分配率不统一，应将交互分配后各辅助生产车间分配转入的费用纳入其辅助生产成本明细账，重新计算交互分配率[ 2 ]；莫世有（2002）用数学方法证明一次交互分配法、顺序分配法和直接分配法是特定条件下代数分配法的简化，并认为各种成本交互分配辅助生产费用的方法没有优劣之分[ 3 ]；徐中平、毛洪涛（2001）研究了顺序分配法的费用分配机理，科学地确认了费用分配的标准[ 4 ]；魏育红（2007）借鉴西方服务成本阶梯分配法对顺序分配法进行改进，使之更简便、合理[ 5 ]。辅助生产费用分配信息化方面：刘兰海、张宏婧（2011）[ 6 ]，钟爱军（2011）[ 7 ]，郁玉环（2006）[ 8 ]，张文福（2013）[ 9 ]，肖琳（2010）[ 10 ]等利用Excel的强大计算功能，将线性规划求解模型运用到辅助生产费用分配中，解决了代数分配法运用中的难题，提高了企业辅助生产费用分配的效率和准确性，促进了企业成本核算水平；胡连云（2010）[ 11 ]依托用友UFO报表系统强大的数据处理功能，利用报表系统解决代数分配法的复杂计算过程并取得较好效果。辅助生产费用分配教学方面：王文君（2001）[ 12 ]提出了教师设计教学问题、诱导学生提出问题、指导学生解决问题的一套辅助生产费用分配方法的教学模式；李延莉（2009）[ 13 ]认为辅助生产费用分配教学应理清分配程序，把握分配过程的关键点，掌握不同分配方法的要点，理顺教学程序；郭敏（2011）[ 14 ]摸索出“口诀+图解法”辅助生产费用分配方法，“口诀”将复杂的知识简单化，用“图”将传统的抽象解题方法形象化。

通过分析现有研究文献，可以看出学者们主要有以下观点：（1）确定辅助生产自身消耗是否对辅助生产费用分配产生影响；（2）确定各受益对象是否能采用统一的分配率；（3）如何通过信息技术解决辅助生产费用分配的运算难题；（4）如何解决辅助生产费用分配教学难题。然而，现有辅助生产费用分配研究仅是从单一角度考虑，没有有机、整体地对辅助生产费用分配进行研究。本文拟利用矩阵运算，构建辅助生产费用矩阵分配模型，消除不同受益对象采用不同分配率的弊端，解决辅助生产车间自身循环消耗，简化辅助生产费用分配运算难题；采用Treemapper技术，实现辅助生产费用分配教学的可视化。

二、辅助生产费用矩阵分配模型

矩阵分配法是将列昂节夫建立的投入产出模型运用于辅助生产费用分配的一种方法。该方法利用线性代数中的矩阵，建立辅助生产费用分配的数学模式，通过对矩阵的求解，直接计算出辅助生产费用对辅助生产外部各受益对象的分配额。

（一）建立矩阵分配表

矩阵分配表是由S1，S2，…，Sn等辅助生产部门提供的n种辅助产品组成n列，这些辅助产品存在自身消耗、相互之间消耗及外部受益部门消耗。辅助生产部门所产生的消耗最终均需要外部受益部门来承担。矩阵分配表的行共由两部分组成，第一部分是辅助生产内部交互服务受益矩阵，即S1，S2，…，Sn；第二部分是辅助生产车间外部受益部门的受益矩阵，即P1，P2，…，Pn。最后一、二行分别是辅助生产车间分配前已归集的劳务量和费用（参见表1）。

（二）矩阵分配模型

首先，定义各受益部门系数。

其次，定义各受益部门矩阵。

内部受益部门矩阵：S=（sij）n * n

外部受益部门矩阵：P=（pij）m * n

由定义知，矩阵[STPT]T的各列是n个辅助供应产品构成百分比，即劳务量为1时各受益部门劳务消耗构成。

设n阶单位矩阵的第j列为Bj，则[STPT]TBj即为第j个辅助供应产品成本构成百分比。对于第j个辅助供应产品而言，只有SBj部分是对辅助供应产品的内部消耗，需要分配，而其他部分是外部消耗，不需要分配。将SBj分配，相当于用SBj左乘矩阵[STPT]T，所以，分配后的结果为[STPT]TSBj。将分配后的结果与该产品的外部消耗投入合并，可得到第一次分配的结果：

从而可以看出，辅助生产部门自身消耗、相互之间消耗已经全部为0，即已经将辅助生产部门自身消耗、相互之间消耗全部分配为外部受益部门。

至此，矩阵[P（I-S）-1]的各列就是各个辅助产品在总劳务量为1时的劳务分配结果，用各个自产产品的总费用乘矩阵的各个列，就得到各个辅助产品的费用分配结果。因此，可得辅助产品费用分配模型如下：

上式各列即为对应的各个辅助产品分配结果。

三、辅助生产费用分配可视化实现与分析

（一）辅助生产费用分配可视化的理论框架

辅助生产费用消耗由内部受益部门和外门受益部门两部分组成。内部受益部门是辅助车间自身或相互之间消耗产品或劳务的部门，外部受益部门是接受辅助车间提品或劳务的企业基本车间、企业内部的其他部门或企业外部的其他单位。内部受益部门和外部受益部门视消耗产品或劳务情况而定，若消耗产品或劳务时，费用项目中就有产品或劳务则有，否则无。将内部受益部门、外部受益部门视为父类，将具体的受益部门视为子类（表2）。

（二）辅助生产费用分配可视化的实现

1.辅助生产费用分配前可视化的实现

假设辅助部门由供电车间、运输车间和机修车间组成。供电车间提供电力产品，运输车间提供运输服务，机修车间提供设备维护及修理服务。辅助部门向基本生产车间、分厂管理部门、公司行政管理部门提供电力产品、运输服务和设备检修服务，同时，辅助部门之间也相互或自身消耗电力产品、运输服务和设备检修服务（参见表3）。外部受益部门仅从辅助部门获取产品或服务，而不向辅助部门提供任何产品或服务。因此，供电车间、运输车间、机修车间所产生的一切费用必须由基本生产车间、分厂管理部门、公司行政管理部门共同分担。

辅助生产费用分配表是以数据表格形式描述辅助生产部门向各受益对象提供的劳务、作业数量，这种表现形式过于专业、繁琐，难以直观形象地反映辅助生产部门所提供的劳务、作业去向。为了弥补数据表格形式所描述信息不够直观的问题，拟采用Excel2010中的Treemapper插件对辅助生产费用分配表进行可视化的实现。Treemapper是人机界面大师本・施奈德曼发明的资料表示法，在一张图内了解整体的状况，由方块图形的大小显示各个元件数值的大小，由方块颜色的深浅显示任务重要程度，并且有群组功能。通过Treemapper技术，形象、直观地描述辅助生产部门向各受益对象提供电力产品、运输服务和机修服务（参见图1）。图1中，方块面积的大小表示所消耗的劳务、产品的多少，方块颜色的深浅表示所消耗的劳务、产品比重的大小。

2.辅助生产费用分配过程

根据辅助生产费用矩阵分配模型，首先定义各受益部门消耗产品或劳务系数，内部受益部门系数为（Sij）、外部受益部门系数为（Pij）；其次定义各受益部门消耗产品或劳务矩阵，内部受益部门矩阵为（Sn * n）、外部受益部门矩阵为（Pm * n）；最后，矩阵[STPT]T的各列是辅助部门供应n个产品或劳务被自身、相互之间及外部受益部门所消耗的百分比（参见表4）。

根据最终的辅助生产费用矩阵分配模型0P（I-S）-1Bj得知，供电车间、运输车间、机修车间等辅助部门自身或相互之间所消耗的电力产品、运输服务、机修服务所产生的一切费用均被基本生产车间、分厂管理部门、公司行政管理部门等外部受益部门共同负担。经过矩阵运算，辅助部门自身或相互消耗部分已经全部为0，说明已经将辅助部门所产生的一切费用全部分配至外部受益部门（参见表5）。

3.辅助生产费用分配后可视化的实现

根据辅助生产费用矩阵分配模型得知，表5中电力产品、运输服务、机修服务为提供1个产品或服务费用构成百分比，用各个辅助产品或劳务的总费用乘矩阵的各个列，即：

得到各个辅助产品或劳务的费用分配结果（参见表6）。

通过Treemapper技术将辅助生产费用分配后的费用构成表进行可视化（图2），比较费用分配前和分配后可视化图可以发现，分配前辅助生产部门中供电车间、运输车间及机修车间存在自身消耗或相互消耗；分配后辅助部门中的消耗全部被分配给外部受益部门，且基本生产车间、分厂管理部门、公司行政管理部门的方块面积都有所增加，方块颜色均在加深。同时，分配后的可视化图描述了辅助生产部门中所发生的一切费用的具体去向，会计分录如下：

借：制造费用――基本生产车间――电费 5 022.15

――基本生产车间――运输费 1 500.53

――基本生产车间――机修费 679.58

――分厂经费――电费 2 430.15

――分厂经费――运输费 1 376.34

――分厂经费――机修费 1 864.06

管理费用――电费 547.70

――运输费 2 123.13

――机修费 1 456.36

贷：生产成本――辅助生产成本――供电车间 8 000.00

――运输车队 5 000.00

――机修车间 4 000.00

四、研究结论

在回顾辅助生产费用分配现有文献的基础上，利用矩阵分析法，建立矩阵分配表，构建辅助生产费用矩阵分配模型，采用Treemapper插件技术，对辅助生产费用分配前和分配后进行可视化分析。

（一）构建辅助生产费用矩阵分配模型

通过建立辅助生产费用矩阵分配表，定义各受益部门系数和矩阵，经过严密的数理推导，得到辅助生产费用矩阵分配模型。该模型能有效结合辅助生产部门的实际，经过矩阵推算，形成受益对象统一的分配率，模型结果简单、易懂，便于直接手动或借助计算机Excel工具辅助计算，解决了辅助生产自身消耗及费用分配运算的难题。从模型推导过程中可以看出，无论辅助生产部门之间是否存在相互消耗或自身消耗，该模型都是适用的。借助该模型，可以定量地计算出辅助生产部门提供的每一种产品或劳务价格和消耗变化给外部受益部门带来的影响，有利于明确生产责任成本，为企业降低成本寻找到关键因素。

（二）实现辅助生产费用分配的可视化

为了解决辅助生产费用分配在教学中不够直观、形象等问题，运用Treemapper技术，实现了辅助生产费用分配教学的可视化。根据辅助生产部门提品或劳务的受益对象，定义父类为内部受益部门或外部受益部门，各部门均消耗辅助生产部门提供的产品或劳务。可视化结果表明，内部受益部门的自身或相互消耗全部消失，外部受益部门方块面积、颜色深度均有不同程度增加，表明外部受益部门承担了内部受益部门所产生的一切费用。采用图形描述辅助生产费用分配的过程，图形的大小及其颜色差异的变化，直观、形象地描绘了辅助生产费用的流向，弥补了可视化程度较低而导致辅助生产费用不能直观与动态传递的缺陷。

总之，构建辅助生产费用矩阵分配模型，解决了辅助生产自身消耗、受益对象采用统一分配率和运算的难题。辅助生产费用可视化解决了分配过程中不够直观、形象的问题，满足了生产费用分配可视化的教学需求。

【参考文献】

[1] 吴君民.辅助生产费用分配方法新论[J].华东船舶工业学院学报，1995，9（2）：19-24.

[2] 朱卫东，乔鹏程.辅助生产费用交互分配法的不足及改进[J].曲靖师范学院学报，2013，32（4）：124-126.

[3] 莫世有.辅助生产费用分配方法的探讨[J].广西大学梧州分校学报，2002，12（2）：16-20.

[4] 徐中平，毛洪涛.辅助生产费用按实际成本分配方法的改进[J].华东经济管理，2001，15（4）：138-139.

[5] 魏育红.借鉴西方阶梯法分配辅助生产费用[J].财会月刊（综合），2007（10）：53-54.

[6] 刘兰海，张宏婧.Excel在多部门辅助生产费用（成本）分配中的应用[J].会计之友，2011（6）：114-115.

[7] 钟爱军.Excel在辅助生产费用分配中的应用[J].襄樊职业技术学院学报，2011，10（4）：35-38.

[8] 郁玉环.辅助生产费用代数分配法实际应用研究[J].会计之友，2006（5）：58-59.

[9] 张文福.基于Excel改进辅助生产费用代数分配法[J].财会月刊，2013（10）：79-81.

[10] 肖琳.运用Excel VBA建立辅助生产费用分配通用模型[J].财会月刊，2010（3）：95-96.

[11] 胡连云.UFO报表系统在辅助生产费用代数分配法上的应用[J].中国管理信息化，2010，13（17）：9-14.

[12] 王文君.浅探辅助生产费用分配方法的教学[J].成都师专学报，2001，20（2）：51-55.

[13] 李延莉.辅助生产费用分配教学应注意的几个问题[J].财会月刊，2009（11）：95-96.

矩阵在数学建模中的应用篇7

摘要：通过对地下水资源管理概念的介绍，阐述了加强地下水科学管理是实现水资源可持续利用的重要手段，指出如何实现模拟模型与优化模型的耦合，是完成地下水系统管理模型构建的关键，根据已经发表的国内外大量文献，系统地回顾和总结了国内外耦合方法（嵌入法和响应矩阵法）的研究情况和应用现状，通过比较两种方法的优缺点，分析了实际运用中存在的问题，指出最适宜单位脉冲值的选择和探求解嵌入法的经济方法等问题是今后研究需要重视的方面。

关键词：水资源；地下水管理模型；嵌入法；响应矩阵法；国内外进展；单位脉冲响应函数

中图分类号：P641.8 文献标识码：A 文章编号：

1672-1683（2012）02-0142-03

Research Progress to Couple Groundwater Simulation Model and Optimization Model

ZHANG Xiao-ye,DONG Zeng-chuan

(College of Hydrology and Water Resources,Hohai University,Nanjing 210098,China)

Abstract:This paper introduces the concept of groundwater resource management and illustrates that a scientific management of groundwater resources is the important way to realize the sustainable utilization of groundwater resources,and points out that how to realize the coupling of the optimization model and simulation model is the key to build the groundwater system management model.In this paper,the research and application progresses of the coupling methods (embedded method and response matrix method) are discussed and summarized based on the numerous published paring the advantages and disadvantages of the two methods,this paper analyzes the problems in the practical application,and notes that the problems which are needed to be further studied,including the selection of the most appropriate unit pulse value and the economic method to solve the embedded problems.

Key words:water resources;groundwater management model;embedded method;response matrix approach;newest research progress;unit impulse response function

随着人口的增长、经济的发展及城市规模的扩大，全社会对用水量的需求急剧增长。由于地下水资源具有分布广泛，便于就地开采使用，水质普遍较优，动态比较稳定，供水量受气候变化影响较小等优点，使得地下水在总供水量中所占的比重不断提高，地下水资源供需矛盾日益突出。在大规模开发利用地下水的过程中，出现了区域性地下水位持续下降、部分地区地下含水层被疏干、集中开采区地面沉降、海（咸）水入侵等严重的地质环境问题。因此，合理开发利用地下水资源，使有限的地下水资源发挥最佳的社会、经济效益，实现社会、经济的可持续发展。

1 地下水管理模型

地下水管理模型以运筹学原理为基础,根据地下水本身所固有的物理规律，采用系统分析方法,通过调控地下水系统的可控输入，为使地下水系统按所规定的目标达到最优化而求解的管理决策所建立的数学模型。地下水管理模型由［1-2］：决策变量、目标函数、约束条件三部分组成。目前，数值模拟和最优化仍是模型研究中的主流建模方法。它通常由地下水模拟模型、优化模型、地下水模拟模型与优化模型的耦合集成技术三部分构成。地下水管理模型的建立步骤为六步：确定管理问题、收集和分析基本资料、建立和求解数学模型、综合评价管理方案、实施运行最佳决策方案以及检测和控制反馈信息等。地下水模拟模型、优化模型、地下水模拟模型与优化模型的耦合集成技术三部分构成地下水管理模型。地下水模拟模型描述了地下水系统输入与输出之间的响应关系，表达了地下水系统本身所固有的规律。优化

模型用以描述地下水系统及其所面临的决策环境，通常以目标函数和约束条件组成的形式来表达与地下水开发利用和生态环境保护有关的多种因素。模拟模型与优化模型的耦合集成技术是运用某种技术方法把模拟模型的转化形式表达在优化模型之中。如何实现模拟模型和优化模型的耦合，是建立地下水管理模型的关键，所以，对耦合技术方法的研究，显得十分重要。

2 耦合技术方法概述

2.1 嵌入法

嵌入法的基本思想［1-2］是把经离散化处理的反映地下水系统固有物理规律的整个地下水流方程组作为约束条件直接嵌入到优化模型中，再与目标函数和其他约束条件一起构成地下水管理模型，一步完成地下水系统的模拟与优化，同时给出决策方案的各种变量结果。嵌入法主要用于处理小规模的稳定流地下水管理问题，由于嵌入法没有考虑状态变量（水位）和可控输入变量（抽水量）之间的函数关系，将两者同时作为优化模型中的决策变量，使得嵌入法在处理大规模，不稳定的地下水管理问题时的约束矩阵很大，导致“维数灾难”［3］，增加了计算数学规划的工作量。

2.2 响应矩阵法

响应矩阵法的基本思想［1-3］是首先从地下水系统的模拟模型中求得一系列表征水文地质特性的单位脉冲响应函数，并形成其集合――响应矩阵，然后用数学规划中的水均衡约束条件来求解管理模型。响应矩阵法主要用于处理大规模、水文地质条件复杂的非稳定流地下水管理问题。优点体现在：状态变量能运用单位脉冲响应函数来表达可控输入变量，在模型中不以决策变量的形式出现；不一定对全区所有点约束，可对管理区中某些重点时间段或区域上的决策变量和水力状态进行约束,因此只把相关的响应矩阵作为约束条件参与运算，大大减小了数学规划的规模。响应矩阵法广泛应用于我国的地下水管理模中，但是，由于对响应矩阵法应用条件方面理解的偏差，导致在实际应用上存在很多问题。响应矩阵法的缺点是不能保证全局最优；选择不同的响应点会导致不同的优化结果；严格限定地下水系统的平稳性和线性；当边界位置距离人工可控输入点（如开采井，注水井等）边界较近时，边界值必然受到人工可控输入的影响，如果仍给线性子模型的边界赋零值，人工开采量对边界值的影响反映不出来，使得计算出来的响应矩阵失去了准确性，人为在操作过程中产生了较大的误差。

嵌入法理论较完善，在处理小规模的数学规划上，简单方便，通常地下水管理模型处理的均是水文地质条件复杂，大区域、大规模的问题，因此，响应矩阵法较嵌入法而言，广泛应用于地下水管理模型。

3 耦合技术国内外研究进展

3.1 嵌入法

1974年，嵌入法由Aguado和Remson［4］提出，他们使用有限差分法将地下水数值模拟模型与线性规划联立，把地下水稳定流动方程组作为约束条件直接嵌入到最优化模型之中，实现数值模型与管理模型的耦合，主要是用于解决水力管理问题；Alley［5］在1976年提出一种序贯嵌入法，把多个时段的整体优化分解为求解各个时段上的优化，因此，局部的最优组合并不等于全局优化，所以序贯嵌入法在理论上有缺陷，不宜广泛应用；嵌入优化模型于1977年开始兴起，Aguad［6］等人将有限差分法离散的支配方程嵌入到优化模型中，解决了一个码头基坑开挖排水优化决策的选择问题；1980年，Elango和Rouve［7］首次将嵌入法应用于解决非稳定流问题；1985年Y.K.Tung和C.E.Koltermann［8］指出嵌入法形成的带状矩阵会造成大规模计算的困难。我国在应用嵌入法方面的实践经验也很不足。1988年陈雨孙［9］论述了安阳市冲积扇地下水优化开采方案决策的一个实例；1989年刘国东［8］应用嵌入法解决了西北某市一个地下水水源地有无扩大开采可能性的问题，提出了嵌入法地下水管理模型的分段决策技术。1989年施德鸿［8］等应用嵌入法在河北省淖沱河冲积平原区建立了地下水管理模型。1992年叶新民［10］从约束条件设置上对嵌入法进行了探讨。

3.2 响应矩阵法

响应矩阵法由Lee［11］于1958年首次提出，他将响应矩阵用于线性规划管理模型中以寻求最大的石油产量；1970年，Deninger［12］为求解最大抽水量，采用响应矩阵法实现模拟模型与优化模型的耦合；1972年，Maddock［13］首次提出响应函数的概念,他通过两年的研究［12］导出了潜水含水层的非线性降深响应函数式和承压含水层多井、多时段抽水降深响应系数的表达式。响应系数的提出，对响应矩阵法的应用进行了完善，使得响应矩阵法在地下水管理模型中得到了广泛应用，同时在地下水水力管理及策略评价等方面，亦发挥了重要作用。1975年Morel-Seytoux［8］导出了河流存在的响应函数表达式；1977年Larson等人为确定位于印地安那州Carmel附近的地下水系统的安全开采量，运用响应矩阵法建立实际大规模的水力管理模型；1979年J.Bear［8］对Maddoek的工作做了全面的回顾与总结；1980年Remson和Goreliek［8］在水力梯度最优控制方面进行了研究；1983年Willis［8］为确定三个连续用水时期的最优抽水方案，将响应矩阵法用于台湾石林盆地地区的地下水资源管理模型之中，使该地区的农业用水需求得到了满足；1985年Willis和FIllney［8］对非线性模型的拟线性化求解工作做出了卓越的贡献，大体上代表了国外关于响应矩阵法的研究水平。我国虽然对于应用响应矩阵法建立地下水管理模型方面起步较晚，但取得了显著的成绩。1987年，响应矩阵法最早由我国学者林学钰、焦雨［14］在研究石家庄市地下水管理工作中提出，他们通过响应矩阵法将水质模型、水量模型和优化模型融为一体，针对既要满足石家庄市持续发展对水资源增长的需要，又要合理调控地下水超量开采这一严峻形势，提出了两个地下水管理方案，既有现实意义，又有实用价值。在研究内容的广度和解决问题的深度上均和国际水平持平，是我国开展地下水管理工作的一个典型示例；1987年杨悦所［15］提出了地下水位响应函数的概念，形成地下含水系统的响应矩阵，在微机上将有限元水流模拟模型和最优化模型藕合起来，提高了水位响应系数的计算精度；1988年宿青山［15］建立了用特征值法确定地下水流系统水位响应矩阵的方法；1989年薛凤海［8］提出了综合影响函数法，简化了响应矩阵的计算量；1990年李竞生［16］将响应矩阵法应用于地面沉降问题严重的华北和上海地区，解决了有越流补给的承压含水层地区的地下水管理问题，使我国在响应矩阵理论和实际应用的研究上均取得了巨大成就。进入20世纪90年代后，随着对生态环境问题的不断重视，出现了很多考虑水质、环境的管理模型。1991年王和平［17］提出了一种求解线性非齐次系统响应矩阵的剩余降深法。1993年卢文喜［18］建立了 “准三维”渗流系统的目标规划管理模型；1994年王洪涛将水流模型分解为天然流场和人工流场，人工流场模型应用响应矩阵法表示，解决了响应矩阵法在非线性系统中应用的问题，具有很好的实际应用意义；同年，刘贯群，邱汉群等［19］建立白沙河地下水资源管理模型，针对地下含水层的地质结构和开采现状，导出新的响应矩阵公式；1999年陈葆仁，张成元提出地下水管理模型、资源预报模型与模拟模型三位一体“广义地下水管理模型”新概念；目前，响应矩阵法多用数值法求解，尹尚先，李玉林［20］于2001年通过研究发现采用边界元拉普拉斯变换法求解响应矩阵能提高计算精度，可求任意时刻的响应函数值，使得响应矩阵法更加灵活，并探讨了边界元中奇点处理的新方法――重点单值法；2007年余强用响应矩阵法进行降水优化设计，解决了基于复杂水文地质条件下的基坑降水优化设计问题；同年，王国利，梁国华建立了单位脉冲-海水入侵响应函数，定量描述了沿海边界地下水与海水的水量交换；2008年李平［10］为了提高地下水管理模型的精确度，考虑了协变量与地下水位之间的相互关系；2010年于福荣，卢文喜通过实验对比，得到了特定水文地质条件下的单位脉冲量值100 000 m3/d。

4 展望

随着社会经济的迅速发展，水资源需求量不断增长，特别是北方地区，由于地表水资源匮乏，为了维持经济社会发展，长期依靠过量开采地下水或挤占农业用水来满足城市用水要求。由于长期过量开采地下水，形成了大面积的地下水超采区，造成地下水水位持续下降并形成漏斗，使当地水资源的战略储备和应急供水能力受到严重影响。外调水工程（南水北调工程）的实施，将有效改善受水区水资源配置格局，能否制定科学合理的优化开采量，在实现地下水生态修复目标方面具有十分重要的意义。

综上所述，对模拟模型与优化模型的耦合集成方法的研究还不够深入完善，实际运用中仍存在不足，从研究现状看，笔者提出以下几点建议。

第一，目前，应用响应矩阵法进行耦合时，单位脉冲值大多直接采用100 000 m3/d、1 000 m3/d，优化开采量的计算结果与单位脉冲值的选择有密切关系，然而对最佳单位脉冲值的研究较少。笔者认为不同的水文地质条件和优化目标，导致不同的单位脉冲最佳值。选取时，应根据实际情况，设定不同的脉冲值，模拟不同取值对优化结果的影响，通过比较得到研究区域最适宜的单位脉冲值。

第二，目前，许多地下水管理模型采用响应矩阵法耦合，但其自身有严格的应用条件，因此今后要重视求解单位脉冲响应函数时齐次边界和初始条件的限制；嵌入法由于不破坏原有地下水模拟模型结构，可以获得更多的含水层信息，因此使得计算结果更精准，但是计算量巨大是其弊端，研究出解嵌入法有效、稳定而经济的解法是今后的发展方向。

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［20］ 辛欣．吉林西部地下水的模拟预报及管理模型探讨［D］．长春：吉林大学，2008.(XIN Xin.In West Jilin Groundwater Simulation Forecast and Management Model Discuss［D］.Jilin University,2008.省略/kcms/detail/13.1334.TV.20120416.1719.005.省略

矩阵在数学建模中的应用篇8

关键词 矩阵分解 可逆矩阵 正定矩阵 大学生科技创新

中图分类号：O151.21 文献标识码：A

矩阵分解是指根据一定的原理将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。任北上，刘君伟等探究了线性代数的数学思想在矩阵分解中的应用及实现，①王岩，王世炎等通过例题阐述了矩阵乘积分解、矩阵和分解的简单应用，②③本文探索“矩阵分解在线性代数课程学习中的应用。作为大学生创新创业训练计划项目，在研读矩阵分解理论基础上，课题研究的开展是根据师范生的特点，采用了即席讨论交流方式，尝试让学生问答间展现思维过程，体验矩阵分解理论的教育价值。

讨论中，学生们展现的敏捷、轻松、好学，让笔者对大学数学教学增添了几分乐观。现模仿余秋雨先生《北大授课（中华文化四十七讲）》呈现的方式，撷取几个片段，与同行交流。

1 引申知识的理解

引申主要是指事物内涵、意义的拓展和延伸。引申知识即为隐含在表面知识后面的深层知识。在教与学的过程中，人们都意识到引申知识的学习需要理解化状态作铺垫。我们所要做的就是借用矩阵分解理论来转化线性代数课程中一些知识的状态，使之易于掌握。

1.1 矩阵的等价、相似和合同的理解

陈建华：我们已经学习了矩阵的三角分解、满秩分解、分解和（奇异值）分解等。④⑤今天我们运用它对矩阵的等价、相似、合同理论进行高观点分析，从中体会线性代数课程的核心思想。谁先从矩阵分解的角度谈谈对矩阵等价理论的理解。

王敏：矩阵等价理论的核心是等价标准形定理，从矩阵分解的角度理解就是秩为的矩阵，可以表示为三个矩阵的乘积，即，其中是两可逆矩阵，另一个矩阵的秩为。如果阶矩阵的秩为，就是可逆矩阵可以写成若干初等矩阵的乘积，这里矩阵分解的思想隐含其中。

陈建华：这种分解通常被称为矩阵的等价分解。联系初等矩阵与初等变换的关系，我们曾经用矩阵的初等变换解决矩阵求逆、矩阵方程求解等许多问题。反过来，我们能从矩阵的等价标准型得到矩阵的满秩分解吗？

朱艳鸿：（板书）对于秩为的矩阵，则由等价分解，有，其中， = （ ）分别为列满秩矩阵和行满秩矩阵。

陈建华：好的，再想一想，如果矩阵 = ，且矩阵的秩都是，那么，矩阵的秩为吗？能证明你的结论吗？

张慧：我想矩阵的秩应该为吧？！事实上，一方面，（）≤{（），（）}= ；另一方面，由矩阵秩Sylvester不等式有（）≥（） + （） = ，故矩阵的秩一定为。

陈建华：关于矩阵的秩，我们曾经用分块矩阵、向量组的线性表示等手段证明了许多重要结论。现在请思考如何利用矩阵的满秩分解来给出不等式（ + ）≤（） + （）的证明。

王敏：让我来试一试。（板书）设有满秩分解 = ， = ，则有，故（ + ）≤（ ）≤（） + （） = （） + （）。

朱艳鸿： 老师，我感到用矩阵的满秩方法证明该不等式思路清晰，与以往证明方法比较，现在简洁多了。

陈建华：说得极是。从刚才的讨论，我们不难感受到矩阵分解理论和线性代数基本结论的交错作用带来的思考问题的愉悦。从知识掌握的角度看，这样的分析从对矩阵等价理论“是什么”的揭示，提升到“为什么”的理解，为实现矩阵等价理论的类化、系统化打下了基础。关于矩阵的相似和合同关系理论，从矩阵分解的视角大家有哪些思考？

张慧：两个矩阵相似，即存在可逆矩阵使得 = ，这样矩阵就是三个矩阵的乘积，这也可以理解为矩阵的一种“分解”。

陈建华：在线性代数学习中，这种分解有什么作用呢？

张慧：对于两矩阵相似，存在可逆矩阵使得 = ，当是对角形矩阵时，计算矩阵的高次幂就很容易。这一点在讨论有关线性模型时它很有用。

陈建华：请注意，矩阵相似对角化是有条件的。如果矩阵不能对角化，你还知道些什么？

张慧：如果矩阵不能对角化，那么它可以相似于若尔当（Jordan）标准形矩阵，它的方幂也比较容易计算。

陈建华：不过要注意若尔当标准形定理是在复数域上成立。人们将它叫做矩阵的若尔当分解。朱艳鸿，你来谈谈对矩阵合同关系的思考吧。

朱艳鸿：矩阵合同，也可以用三个矩阵相乘来表示另一个矩阵，这其中我们要注意这种分解不是唯一的，矩阵的等分解，相似分解也一样。对于矩阵合同关系的讨论，我们教材都是针对对称矩阵来进行的。

1.2 正定矩阵、可逆矩阵的理解

陈建华：线性代数课程中，有许多概念有较大的引申空间，我选择了正定矩阵、可逆矩阵两概念作为今天讨论的对象。对于这两个概念，我们曾经给出了较多的刻画。比如，阶实对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件有：（1）与单位矩阵合同；（2）的特征值全大于零；（3）的正惯性指数为；（4）的各阶顺序主子式全大于零；（5）存在可逆矩阵，使得 = 等。请借助于矩阵分解理论，做进一步讨论。

朱艳鸿：刚才您讲的等价条件（5）实际上就是正定矩阵的一种分解。而条件（2）是正定矩阵有分解形式 = （，，…，），其中是正交矩阵，，，…，是的正特征值。

王敏：利用可逆矩阵的分解和等价条件（5），我可以获得正定矩阵的另一个等价条件：（6） = ，其中是可逆上三角形矩阵（实际上具有正主对角元）。

陈建华：会证明吗？结论证明的关键是什么？

王敏：会的。证明的关键是分解中的是正交矩阵。

张慧：按照这个思路，我也能给出正定矩阵的又一个等价条件：（7） = ， 是正定矩阵，是正整数。

陈建华：很好。实际上，我们还可以证明，当取定后，矩阵存在且唯一。如果 = 2，则 = ，常被称为正定矩阵的平方分解。通过讨论，对正定矩阵有了更为深刻的认识。同样对于可逆矩阵，我们已经知道若干等价条件，它们对“可逆矩阵”的特征分析、综合辨认和应用都很好，请联系矩阵分解来展开进一步的讨论。

王敏：可逆矩阵等于若干个初等矩阵的乘积就是一种分解，只不过这种分解不唯一，它是初等行变换方法求逆矩阵的核心原理。在实数范围内，由矩阵的分解，矩阵可逆，则有矩阵 = ，其中是正交矩阵，是主对角元大于零的上三角形矩阵，且这种分解唯一，也是可逆矩阵的一种刻画。

朱艳鸿：借助于矩阵的奇异值分解，对于实数域上的可逆矩阵，存在正交矩阵使得 = （，，…），其中，，…是矩阵的奇异值。

张慧：如果考虑正定矩阵的性质，我们还能得到实可逆矩阵的一种刻画：任意一个实可逆矩阵可以分解为正交矩阵与正定矩阵之积，并且分解是唯一的。这个结论的证明也是简洁有趣的。

陈建华：太棒了，大家一口气就给出了实可逆矩阵的三种新的刻画。通过上述讨论，我们对矩阵的等价、相似、合同理论、正定矩阵和可逆矩阵有了新的认识。

2 解题策略的获得

2.1 矩阵积分解的运用

陈建华：很高兴，在上次讨论中，大家发表了很多高质量的意见。今天，我们交流学习矩阵理论在线性代数课程解题实践中作用的体会，请围绕具体问题来交流。

朱艳鸿：在反思线性代数解题中，确实有些解法当时是靠记忆的，现在看来其实隐含着矩阵分解的思想。

陈建华：能举个具体的例子吗？

朱艳鸿：好吧，我尝试举一个例子，请老师指教。题目：设 + 是可逆矩阵，证明 + 是可逆矩阵，并求其逆矩阵。该题的解法是 + 转化为三个可逆矩阵的乘积： + = （ + ），再利用 + 是可逆矩阵求解。

陈建华：对的，我想让大家思考的就是这类问题。这里解题思路是“和化积”，将待证矩阵分解成已知可逆矩阵的积。

王敏：老师，在学习中，我思考过一个问题，但没有证出来。题目：一个阶复数矩阵与它的转置矩阵有相同的行列式因子、不变因子和初等因子，有相同的若尔当标准形，所以它们应该是相似的。一直以来，总是感到结论很抽象，尝试用您说过的若尔当分解来找到实现它们相似的可逆矩阵。具体地，因为存在可逆矩阵使得 = = ，所以是其中一个，但我对此不是很满意，因为是的转置矩阵，所以上述矩阵之间应该有联系，能给出来吗？

陈建华：很好，“与相似”本身是很有趣的，而“寻找之间的联系”这个问题提得更好！之间的联系有，且能用矩阵的乘法运算表示出来。设可逆矩阵使得 = = （（），…，（）），其中，…，是矩阵的个不同的特征值，则有 = ，我们只要给出与之间的关系就可以了。这样，问题的关键转化为找出若尔当块（）与其转置矩阵之间的关系，类比初等对换矩阵的性质，我们可以尝试考虑矩阵：，不难发现 = = ，如果令 = （，…），则有 = ， = ，从而有 = = = = （），实际上，是实现与相似的可逆矩阵。

朱艳鸿：太好了，终于找到了！看来关于矩阵分解过程中的运算技巧的掌握，我还需要提高。

陈建华：我们在思考问题时要有所谓的“正面归向”，比如说刚才讨论中，“寻找与之间的关系”和“（）与之间的关系”就是问题解决的“正面归向”。这很重要，这就像我们架舟于海上，有目标就是航行，而没有目标就是漂泊。

2.2 矩阵和分解的运用

张慧：老师，我在学习的过程中，还遇到过将一个矩阵分解成若干个矩阵的和的形式，如一个阶方阵可以表示成对称矩阵和一个反对称矩阵的和；秩等于的对称矩阵可以表示成个秩等于1的对称矩阵的和等。您能谈谈这种分解吗？

陈建华：这正是我准备与大家讨论的另一个话题。矩阵理论中通常讨论矩阵的乘积分解，但和分解也有重要的价值。比如，利用和分解可以得到正定矩阵的一个刻画：矩阵为阶正定矩阵的充分必要条件是它存在个线性无关的特征向量，，…，，使得 = + + … + ，就有很重要的应用。再举个例子吧，像循环行列式的计算，⑥ = （） （）… （），其中 （） = + + … ，，，…是所有的次单位根。

朱艳鸿：记得，不过当时好像要构造了一个范德蒙（Vandermonde）行列式，是很难想到的。

陈建华：是的，许多资料介绍的方法是构造辅助行列式，利用行列式乘法规则，把演变成（1）（）…（），即（）（）…（），这里选取辅助行列式在证明过程中发挥了很大的作用。⑦但是如何想到它的呢？像一个飞来之石。仔细想一想，如果我们抓住循环行列式的本质，思考如何才能让矩阵每行的元素由上而下，逐行依次向前移，能否用矩阵相乘来实现“循环”呢？就会柳暗花明。记矩阵是对应于的循环矩阵，令（基础循环矩阵），其中是阶单位矩阵，则有， （ = 1，2，）， = ，进而有和分解 = + + … + 。这里分解式传达了一种信号，行列式的计算能转化为求矩阵的全体特征值。事实上，矩阵的特征多项式为（） = ，容易获得它的特征值，从而，矩阵的特征值是（），（），…（），故等式自然成立，这就是“飞来之石”的来源。

3 反思与启示