椭圆形面积计算公式范文

椭圆形面积计算公式篇1

题目1：已知点P是椭圆 + =1上的一点，F1，F2为两焦点，若∠F1PF2=60°，则求F1PF2的面积.

题目2：已知点P是椭圆 + =1上的一点，F1，F2为两焦点，若PF1PF2，则求点P到y轴的距离.

题目3：F1，F2为双曲线C： -y2=1的两个焦点，点P在双曲线C上，若F1PF2的面积为2时，求 ・ 的值.

题目4：F1，F2为双曲线C：x2-y2=1的两个焦点，点P在双曲线 上且∠F1PF2=60°，则求点P到x轴的距离.

归纳：上述题目都有一些共同的特征：

（1）题干：已知点P是椭圆（双曲线）上任意一点，F1，F2为两焦点，且∠F1PF2=？兹.

（2）问题：与焦点三角形F1PF2的面积有关.

一、有关椭圆和双曲线焦点三角形面积的两个结论

结论1：设F1，F2为椭圆 + =1的两焦点，P是椭圆上任意一点，且∠F1PF2=？兹，则SF PF =b2tan

证明：在F1PF2中，∠F1PF2=？兹，PF1+PF2=2a，F1F2=2c，

由余弦定理可得：cos ？兹=

=

= =

可得PF1・PF2=

故SF PF = PF1・PF2sin θ= ・

=b2・ =b2tan

结论2：设F1，F2为双曲线C： - =1的两焦点，P是椭圆上任意一点，且∠F1PF2=？兹，则SF PF =

证明：在F1PF2中，∠F1PF2=？兹，PF1-PF2=2a，F1F2=2c

由余弦定理可得：cos θ=

=

= =

可得PF1・PF2=

故SF PF = PF1・PF2sin θ= ・

=b2・ =

二、与椭圆（双曲线）焦点三角形F1PF2有关的其他面积公式

（1）设P（x0，y0），若焦点在x轴上，SF PF = F1F2・y0=c・y0

若焦点在y轴上，SF PF = F1F2・x0=c・x0

（2）SF PF = PF1・PF2sin θ= ・ ・ = tan θ・ ・ = ・ ・ = ・

三、结论的应用

题目1：由已知可得：b2=3，θ=60°，故SF PF =b2tan =3tan 30°=

题目2：设P（x0，y0），一方面SF PF =b2tan =16tan 45°=16.

另一方面：SF PF =c・x0=3x0，故可得3x0=16，则x0= .

题目3：由已知可得：b2=1，SF PF =2，一方面由SF PF = 可得tan =

另一方面SF PF = tan θ・ ・ 可得

・ = =2 SF PF =2 ・2=6.

题目4：解法同题目3

由上可知，了解有关椭圆（双曲线）焦点三角形的面积公式，对我们解决问题带来很大的帮助，而且在计算过程中还体现了“算两次”的数学思想.

除此之外，公式的推导过程也很重要，涉及了椭圆（双曲线）的定义、正余弦定理的应用以及三角形面积公式，这个过程也是非常重要的，值得掌握，例如：

题目5：已知点P是椭圆上的一点，F1，F2为两焦点，若∠F1PF2=60°，则求椭圆离心率的取值范围.

题目6：F1，F2为椭圆C： + =1的两个焦点，点P为椭圆C上任意一点，若∠F1PF2为钝角，则求点P横坐标的取值范围.

参考文献：

赵一军.一道教材习题的解法探究与引申变型.数学教学通讯，2006（03）.

椭圆形面积计算公式篇2

关键词：数学 ；定积分；应用 ；面积；参数

一、利用定积分，求解曲边图形面积

初等数学几何学中，我们求解平面图形的面积，通常是一些比较规则的图形，诸如三角形、正方形、矩形、梯形、平行四边形、圆等等，都有现成的公式，即使图形不太规则，有可能通过分割补形转化为规则的图形，但是遇到不规则图形，尤其是曲边图形的面积深感困惑.实际上，只要知道曲边所在曲线的函数关系式y=f（x），我们可以通过定积分来求曲边图形的面积.

例1如图，抛物线y=-x2+4x-3及其在点A（1，0）和点B（3，0）处的切线所围成图形的面积为.

二、利用定积分，求解参数的值

在求解平面曲边图形面积时，本身曲边图形面积就不好计算，有时还会参杂一些参数，让求参数的值或参数取值范围，这样的问题更是让人棘手.实际上，只要知道曲边所在曲线的函数关系式y=f（x），我们可以通过定积分来寻找参数满足的条件方程（或不等式），这样参数问题便迎刃而解.

例2如图所示，直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值.

解 抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0，x2=1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积

三、利用定积分，证明圆的面积

从小学上到高中，同学们就一直利用圆的面积公式S=πR2，但是为什么是这样，它是怎么来的，也许有人思考过，也问过老师，也许有人压根儿就从没想过.其实，学了定积分，知道函数y=f（x）的导数y′x=f ′（x）=dydx，我们就有能力来证明这个公式了.

例3设圆x2+y2=R2，求证：其面积S=πR2.

证明由圆的对称性知，圆在四个象限内面积相等，其面积是第一象限扇形（曲边梯形）面积的4倍，而在第一象限内曲线的函数关系是y=R2-x2（0≤x≤R）.

所以S=4∫R0R2-x2dx.

四、利用定积分，证明椭圆面积

和圆一样，椭圆也是一个既是中心对称又是轴对称的图形，但是提及它的面积，有的同学知道，就是S=πab （其中a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长），而有的同学不知道，其实学了定积分，知道函数y=f（x）的导数yx=f ′（x）=dydx ，我们也有能力来证明这个公式了.

例4设椭圆x2a2+y2b2=1， 求证：其面积S=πab

证明由椭圆的对称性知，椭圆在四个象限内面积相等，其面积是第一象限扇形（曲边梯形）

总之，初等数学中定积分的应用相当广泛，这里所提及的计算证明曲边图形面积等问题，只是定积分应用的一个缩影.

椭圆形面积计算公式篇3

编者按：解析几何解答题历来以计算复杂、综合难度大而著称，是学生在平时考试和高考试卷中失分的“重灾区”.其实，答好解析几何解答题是有规律可循、有方法可依的，关键在于你是否真正掌握了它们.

平面解析几何研究的是曲线问题，运用的是代数方法，渗透的是数形结合思想，是中学数学知识的一个重要交汇点，当然也是高考考查的重点和难点之一.分析和研究近年的高考解析几何解答题，我们可以发现如下特点：①重点突出，即对圆锥曲线的特征量（焦点、准线和离心率）的计算，曲线方程的求法，直线、圆与圆锥曲线的交点问题的考查几乎没有遗漏，既考查支撑学科知识体系的主干知识，又对数形结合、“设而不求”的解题思想保持较大的考查力度.②综合性不断增强，即以前的解析几何解答题大多是直线与圆锥曲线的综合题，在近年高考的一部分解答题中，圆与圆锥曲线、圆锥曲线与圆锥曲线的综合运用有加强的趋势.本文现通过对2014年高考解析几何解答题的分类解析，切实提高同学们解决这类问题的能力.

例1 （福建理科卷第19题）已知双曲线E： - =1（a>0，b>0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x.

（Ⅰ）求双曲线E的离心率.

（Ⅱ）如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程;若不存在，说明理由.

解 （Ⅰ）由于双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=-2x，所以 =2，即 =2，解得c= a.

故双曲线E的离心率e= = .

（Ⅱ）存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且双曲线E的方程为 - =1.（解答过程省略）

小结 ①圆锥曲线的特征量是指曲线中的a、b、c、p、e，理解这些量的几何意义，熟知它们之间的相互关系，是顺利解题的基础.②待定系数法是求曲线方程最基本、最常用的方法.在设直线方程时，学生要注意对斜率是否存在进行必要的讨论，防止漏解，若能确定斜率不为0，也可以设直线方程为x-x0=m（y-y0），其中m为斜率的倒数，从而避免对斜率不存在的情况的讨论;在设圆锥曲线的方程时，学生要注意曲线中心、对称轴、焦点位置对曲线方程的影响.

例2 （北京理科卷第19题）已知椭圆C：x2+2y2=4.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率.

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OAOB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论.

解 （Ⅰ）由题意可知椭圆C的标准方程为 + =1.于是有a2=4，b2=2，则有c2=a2-b2=2.所以a=2，c= .

故椭圆C的离心率e= = .

（Ⅱ）直线AB与圆x2+y2=2相切.（证明过程省略）

小结 ①直线与圆的交点问题通常用几何意义来求解更便捷，也就是说，用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来看交点个数问题，用公式l2=r2-d2来计算弦长，其中r是圆的半径，d是圆心到直线的距离，l是弦长的一半.② 直线与圆锥曲线的交点问题包含弦长、中点、垂直、对称、面积计算等，通常用判别式和“设而不求”来处理.

例3 （湖南理科卷第21题）如图2，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1;双曲线C2： - =1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2= ，且|F2F4|= -1.

（Ⅰ）求C1，C2的方程.

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点.当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.

解 （Ⅰ）由于e1e2= ，所以有 ・ = ，即a4-b4= a4，整理得a2=2b2.于是可知点F2的坐标为（b，0），点F4的坐标为（ b，0），则 b-b=|F2F4|= -1，所以b=1，a2=2.

故C1，C2的方程分别为 +y2=1， -y2=1.

（Ⅱ）四边形APBQ面积的最小值为2.（解答过程省略）

小结 求圆锥曲线的最值一般要分解为三个步骤：①将所求图形面积相关的量表示出来.如果是三角形，谁作底？谁作高？图形要不要分解？如果是其他图形，如何分解才能方便计算？这些问题在解题时要认真思考，在具体计算中可能要用到弦长、点到直线的距离等公式.求焦点弦的长时，学生要注意定义的运用.②将图形面积表示出来，并进行整理化简.③根据面积表达式的特点求最值.

例4 （重庆理科卷第21题）如图3，设椭圆 + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1F1F2， =2 ，DF1F2的面积为 .

（Ⅰ）求椭圆的标准方程.

（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

解 （Ⅰ）椭圆的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略）

（Ⅱ）圆的半径为 .（解答过程省略）

椭圆形面积计算公式篇4

椭圆上任意一点到F1，F2距离的和为2a，F1，F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ，y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a²+yy0/b²=1。椭圆切线的斜率是：-b²x0/a²y0，这个可以通过复杂的代数计算得到。

椭圆形面积计算公式篇5

书本例题：

已知椭圆C：+，直线L：4x-5y+40=0。椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

此题是人教出版社A版高中数学选修2-1教材第47页例7，本节是直线与椭圆的第一节课，主要内容是如何判断直线与椭圆的位置关系、弦长问题等。但是如果课上按部就班地只讲以上例题显然不能达到教学的目标，还需要再补充别的习题。为此我是这样运用这个例题的。

一、复习中走进例题

我上课时先给出以下问题：

（1）已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆C上存在一点p，使∠F1PF2=60°，S=3.求椭圆C的方程。

解：F1PF2中，设∠F1PF2=?琢，|PF1|=m，|PF2|=n，

在F1PF2中，由余弦定理可知，（2c）2=m2+n2-2mncos?琢=（2a）2-2mn-2mncos?琢，mn=.S=mnsin?琢=××sin?琢==b2tanQ∠F1PF2=60°，?琢=60°，b2×=3，b2=9

椭圆C：+=1.

这个问题的解决得益于椭圆的定义，PF1+PF2=2?琢，再结合余弦定理使问题解决。最后总结出了焦点三角形的面积公式：S=b2tan.可以发现当焦点三角形顶角已知时，其面积只与b有关，而和a无关。当学生正在为得出这样一个结论而开心的时候我又给出了第2个问题。

二、拓展追问中完成教学任务

（2）试讨论直线l：4x-5y+m=0与椭圆C交点的个数。

问题（2）给出后我叫学生自己独立进行思考，我在下面看学生是如何解题的。我发现有部分学生是受判断直线与圆交点个数的影响，想用圆心到直线的距离与半径进行比较大小的方法来做。但是在求出了原点到直线l：4x-5y+m=0的距离后不知道与哪个量进行比大小了。之后我进行讲解，讲解了椭圆与圆的不同之处，本题要判断直线l与椭圆C交点的个数，需要借助方程组解的情况。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2.

当m=±25时，=0，此时直线l与椭圆C相切；

当-25

当m25时，

通过第（2）题发现许多学生的解题计算能力不强，出现了许多错误，同时提醒同学不要使用计算器。问题解决以后我问，如m=20时直线l与椭圆C的位置关系是什么？学生回答是相交的。好的，我总结道，此时是相交于两点，那么就有如下问题。

（3）当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长。

学生进行独立思考之后我发现仍有部分同学试图用垂径定理来做，在受阻后改用求交点坐标或者利用弦长公式来求。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+160x+175=0，=8100.

所求弦长为|x2-x1|=×=.

我对这种设而不求的解题方法进行了总结后，又给出了下面的问题：

（4）直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2.

所求弦长为|x2-x1|=×=.

解得m=±20.

问题解决后我试问学生为什么会有两个解？从几何图像上进一步给出解释。如果解出的m不是±20，而是m=-20和m=40，那么该怎么办？让学生学会检验，知道m=40时，此时直线l与椭圆C相离了，所以m=40要舍去。接着我继续给出了第5题。

三、回归课本、超越课本

（5）当m=40时，求椭圆C上的点到直线l距离的最值。

解：4x-5y+m=0+=1联立得：25x2+8mx+m2-225=0.

=22500-36m2 . 当m=±25时，=0.此时直线l与椭圆C相切；

椭圆的两条切线方程为4x-5y+25=0和4x-5y-25=0.

因此椭圆C上的点到直线l距离的最小值为

dmin==，

椭圆C上的点到直线l距离的最大值为

dmax==.

第（5）小题不仅仅解决了书本例题中求椭圆C上的点到直线l距离的最小值，还进一步求出了距离的最大值。体现了回归课本而超越课本的思想。

现把这5题问题汇总一下，就是如下一个题目：

已知直线L：4x-5y+m=0，椭圆C：+=1的焦点F1，F2在x轴上，椭圆C上存在一点P，使∠F1PF2=60°，S=3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）试讨论直线l与椭圆C交点的个数；

（3）当m=20时，求直线l被椭圆C所截弦长；

（4）直线l被椭圆C所截弦长为，求直线l的方程；

（5）当m=40时，求椭圆C上的点到直线距离的最值。

把例题进行以上改编，就是借助教材中例题已经提供的素材与背景，采用拓展追问的方式，引发学生深层次的思维活动，实现“纵向到底”的功效。这种方法的好处是能够培养学生的数学探究能力，发展学生的思维深刻性，运用这种方法的关键是师生都要有强烈的问题意识，勇敢地猜想，大胆地提问，小心地求证。进行改编时，要保证所编题目的可操作性，比如以上题目第（3）小题要保证计算数字不要太繁琐，第（1）小题中，如果是令∠F1PF2=120°，S=9，若运用焦点三角形面积公式，仍然可以得到b2=9，但是这样p点其实是不存在的，因为椭圆+=1的焦点三角形的最大面积才是12，而12

椭圆形面积计算公式篇6

【关键词】类比思想;数学;圆;椭圆;类比教学

数学思想一直是中学数学教学的魁宝，是数学教学三重境界的最高境界。从新课程实施更多的自主学习、积极建构的理念来说，数学思想成为指导学生进一步前进的阶梯.笔者认为，数学思想有不同的种类区分，对于学生而言比较重要的思想如数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等在初中后期教学阶段已经开始积极渗透，这些对于学生解决数学问题有着较为重要的作用，可以称之为知识型思想方法。

另一方面来说，数学思想方法还有下面这些，如特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等，这些思想方法明显比上述知识型的思想方法来得更为高端。为什么这么说？笔者以为，知识型的思想方法固然重要，但其依旧只解决了就题论题的层面，无法给予学生更多的学习能力上的提高，而特殊与一般、具体与抽象、转化与化归、类比等等思想方法却在更高的层面引领学生进行思维的开发，比如：从特殊到一般的思想可以帮助学生认识抽象问题的具体解决，可以采用先尝试特殊进而总结归纳一般的探索之路;类比思想可以用来将未知范畴内的问题通过已经所掌握知识比较解决，这是一种思想、意识形态上的提高.因此，本文将从类比思想的视角去审视教学的一些探索，以圆与椭圆的类比进行尝试，与大家交流。

1.圆和椭圆类比伸缩的认识

众所周知椭圆 + =1（a>b>0）可以看作是圆x2+y2=a2在纵向均匀压缩为原来的 倍，横向不变得到的――这就是“纵向伸缩变换”。（本文研究的椭圆均为焦点在x轴，焦点在y轴的类似）记：已知圆上点P（x，y）变换成P′（x′，y′），纵向变换为f：x=x′y= y′，显然这是一个一一映射（可逆的），且由于P，P′横坐标相等，因此PP′连线必垂直x轴。同理：有横向伸缩变换。

2.圆和椭圆类比伸缩的性质

性质1：f将直线变换为直线，且变换后直线斜率为原来直线斜率的 倍。

简证：设原直线斜为y=kx+m，经过变换后直线为 y′=kx′+m，即斜率k′= k。

说明：由此可知，变换前后两直线平行性保持不变。

性质2：f将分线段AB为定比λ的点P变换成分线段A′B′为同一分比的点P′。

说明：由定比分点公式可知证明易，不赘述.此性质说明变换前后同一直线上的点分线段所成的比是不会改变的。

性质3：一个面积为的三角形经变换后的三角形面积S′= S。

简证：设A1A2A3三个顶点坐标分别为Ai（xi，yi），则xi=xi′，yi=yi′（i=1，2，3），所以：

S′= x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= ・ x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1= S。

说明：此性质可以推广到多边形的面积，即变换前后两个多边形面积之比为 = 。

3.圆和椭圆类比伸缩的运用

例1：已知椭圆 + =1（a>b>0），A，B分别为椭圆左右顶点，P为椭圆上任意异于A，B的点.求证：KAP・KBP是定值。

图1

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图1，已知圆中KAP・KBP=-1，由性质1得：kAP・kBP= KAP・ KBP=- 。（本性质可以再椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明稍显复杂一些。）

例2：已知椭圆 + =1（a>b>0），P为椭圆上任意异于椭圆顶点的点，过P作倾斜角互补的两直线PA，PB交椭圆于A，B两点，求证：只要P点给定，则kAB为定值。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图2，经过同样的伸缩变换，圆中

图2

两直线斜率KPA+KPB=0，在圆中作P关于x轴对称点D（恰在圆O上），则∠APD=∠BPD，故 = ，连接AB，OD，易知ODAB，显然KAB=- ，只要P点给定，即可知KAB为定值，由性质1，椭圆中kAB= KAB为定值。

注： 高三复习卷中时常出现为定点，求kAB为定值的试题，笔者将试题改编为只要P点坐标可知的任意点，均可求证kAB为定值.可以想象，任意的点P代数计算较繁琐，利用椭圆和圆的伸缩变换达到了简化计算的效果。

例3：点P（x0，y0）在椭圆 + =1（a>b>0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ（0<β< ），直线l2与直线l1： + =1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ。

求证：点是椭圆 + =1与直线l1的唯一交点。（安徽高考数学09年理科20）

分析：问题的实质就是证明直线l1是椭圆在点P的切线方程。由过圆x2+y2=a2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=a2，可知利用伸缩变换得到直线l1： + =1即为过点P的椭圆切线。

证明：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，则过圆上点Q（X0，Y0）（Q为P的一一对应点）的切线方程为：X0x+Y0y=a2，又伸缩变换f：X=xY= y，代入得x0x+ y0 y=a2，整理得： + =1即为直线l1的方程.因此，l1就是椭圆在点P的切线方程。证毕。

例4 求椭圆 + =1（a>b>0）内接n边形面积的最大值.

解析：把纵坐标变换为原来的 倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图3，可知在圆中：

图3

记∠AiOAi+1=θ（1≤i≤n-1），∠AnOA1=θn，且 θi=2π，S=SA A …A = a2（ sinθi）…（*），因为f（θ）=sinθ在（0，π）上为凸函数，由琴声不等式（*）≤ a2（n・sin ）= a2・sin （当且仅当θ1=θ2=…θn= 等号成立），由性质3，椭圆中内接n边形面积S′= ・S≤ ・sin ，即为椭圆中内接n边形面积最大值。

4.类比教学探索的思考

上述运用类比性质进行的圆和椭圆问题的探索，是笔者教学中一些数学问题积累的总结。通过研究，笔者发现椭圆是圆的更为一般化的形态和情形。用一个形象的比喻来说，对于圆的研究是最基本、最为对称的图形深入思考，犹如三角函数中最基本的函数模型，那么类比研究经过伸缩变换的三角函数模型恰如椭圆般的图形，这种变换关系存在于数学知识的很多知识之中。

本文所阐述的是圆和椭圆的类比伸缩教学研究，其实从更高的角度而言，笔者思考了一个问题：从圆锥曲线第二定义的角度来说，椭圆、双曲线、抛物线本质是一个统一体，只不过是其到定点的距离与到定直线距离比值不同的曲线形态，那么圆既然可以类比到椭圆，那么圆应该也可以突破更高的限制（诸如曲线不需要封闭之类特性），类比得到相对应的双曲线、抛物线中去，得到相应的数学性质和更高的研究突破能力，值得有兴趣的教师做进一步的思考。

通过类比教学研究，笔者也有几点不成熟的思考与大家交流：

（1）上述几个例题，有少数来自学生的提出和探索，笔者觉得学生对于感兴趣的数学问题研究兴趣和热情远远在教师之上。教师的作用更在于进行良好的引导，给予这样的学生更宽松的学习环境，既提高了学生学习的兴趣，也有助于学生研究问题能力的提高。

（2）意识类的思想方法教学要更注重在教学中的渗透，尤其是特殊与一般、类比思想、转化与化归思想等等。这些思想看似无形， 却每时每刻出现在学生待解决的数学问题中，通过引导学生利用学过的指数类比解决未知范畴内的知识，这正是努力培养学生自主探索和积极建构的有效途径，而且从一定程度上对于教师的专业化水平提高有较为明显的帮助。

【参考文献】

[1]杨结东.深化分析培养能力[J].数学通报，2010.9

[2]张琴竽.活用伸缩变换巧解椭圆问题[J].中国数学教育（高中版），2009.10

[3]刘瑞美.对2009年高考中一道圆锥曲线问题的探究[J].中学数学杂志（高中版），2009.6

椭圆形面积计算公式篇7

中学物理教材和前几年比起来，对许多教学内容的呈现方式或编排方式都做了调整。在教学中我们要对比新旧教材的不同，从中领悟深意，合理进行教学设计，这样教学就更能符合学生的认知规律，有效提高学生的能力，从而起到提高教学有效性的作用。下面笔者结合教学实践谈谈自己的思考。

一、不同时期教材的对比

物理教材乍看先后并无区别，但教学中就会感受到其变化，比如新定义新定义“压力”、“压强”，“压力”定义为“由于物体间的挤压而垂直作用在接触面上的力（比传统表述多了‘挤压’二字）”，使之与前面力的作用效果――形变、改变运动状态――联系起来，也为后面讲“压强”埋下伏笔，举出了篮球撞击篮板产生压力的典型实例，避免了传统教材举例不当造成“压力是由重量产生的，甚至压力就是重量”的误解。

以2015年我执教“椭圆的定义和特点”一课为例，备课时我对新旧教材进行了对比解读。以下是根据新旧教材不同的呈现方式所设计的两个不同的案例，希望这两个案例能起到抛砖引玉的作用，引发老师们对新旧教材变化的关注。

案例1：根据旧教材教学内容的呈现方式，教师先让学生自己绘制椭圆，通过测量的双半径的长度和，观察发现椭圆的特征，最后学习用棉线画椭圆，掌握画椭圆的步骤。这样的教学虽然可以发展学生的操作能力、观察能力，但学生思考问题的层面还是停留在形象思维阶段。

案例2：根据新教材的变化，我进行了这样的教学设计：首先创设行星轨道情境，让学生在寻宝过程中，感受到与两个点的距离之和相等的点有无数个，这无数个点就围成了一个椭圆，为后面帮助同学们理解并掌握椭圆的基本特征埋下伏笔。然后让学生尝试用棉线和铅笔画椭圆，在辨析画不成功的作品的过程中，学生对棉线两端所在的点必须保持不动（也就是定点），铅笔尖所在的点不断运动，但运动过程中对两定点的距离之和保持不变（也就是定长）等椭圆的最本质的特点形成初步的直观感知。再展示椭圆规画椭圆和行星运行椭圆轨道的过程，比较三种不同椭圆画法初步感悟椭圆的本质――椭圆的特点是到两定点的距离之和固定。在学生充分感知，建立了丰富表象的基础上，水到渠成地引出椭圆的各部分名称。这样的教学很好地发展了学生抽象推理能力。

二、高中物理教学的新思路分析

对比新旧教材，我们深切地领悟到新教材教学内容呈现方式的改变很有道理，目的是从学生实际出发，从高年级学生的思维特点出发，把知识的学习过程建立在学生的“最近发展区”，让学生通过学习，学习能力能得到充分发展。所以，我们应该认真研读新教材的变化，读懂变化背后的意图，巧妙进行教学设计，让物理课有效、有用。下面笔者从以下方面谈谈如何关注新旧教材的变化，合理进行教学设计以提高课堂教学的有效性。

《课程标准（2011）版》在“课程目标”中指出：要使学生“初步学会从物理的角度发现问题和提出问题，综合运用物理知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力”。物理应用意识就是培养学生用物理的眼光、从物理的角度观察、分析与解答问题。笔者发现新教材中新增了许多物理知识，就是满足物理课程这一重要目标的。

（一）准确把握教材的异同。

例如新教材编进了许多应用估算的方法解决问题的教学内容，要求学生在解决问题的过程中，能从物理的角度观察，选择合适的方法进行估算，分析与解答问题。目前新教材已经不再出现单纯估算的教学内容，而是在所学习的具体计算内容之后，安排了与之相应的用估算解决问题的例题。

（二）注重知识的前后联系。

了解学生已经学过的相关知识有哪些，分别达到了什么水平，要以他们已经掌握的相关知识为出发点进行拓展和引申，创造“最近发展区”，进而过渡到新的知识点。中学教师适当补充一些学生能够理解并对学好中学知识有帮助的内容，如相对论公式等。

（三）适时对一些教学内容的先后次序进行微调。

如果可能，那么在服从教学进度大框架的前提下，以更多学生易于接受为目标，对一些教学内容的先后次序进行微调，达到分散台阶，减缓坡度，降低梯度的目的。在这方面教研员应该更有作为。

（四）加强实验教学，通过多做实验增加形象直观性，强化教学效果。

实验是引导物理教学的重要方式，通过实验进行学法指导，做好引领学习思路的引导工作，可以有效减少学生的迷茫，提高教学质量。

结语

改革是无止境的，我们必须正视目前存在的问题，积极面对、有效提高，把中学物理教学工作做得更好。

参考文献：

[1]孟昭辉，编著.物理课程与教学论[M].东北师范大学出版社，2005.

[2]张咏梅.初中生数学自我效能问卷的编制[J].心理与行为研究，2007（01）.

椭圆形面积计算公式篇8

关键词：圆锥曲线；椭圆；双曲线；抛物线

圆锥曲线是指使用平面切割椎体而形成的曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线等，早在古希腊，人们就已经开始学会使用双曲线解决问题。John Lighton Synge（1897-1987）说过，开普勒通过分析天文观测数据发现了，而牛顿则是使用数学方法证明了。行星的运行轨迹是椭圆。从某种意义上可以说，是因为对圆锥曲线的使用，使得古希腊的几何学变成了当代天文学的基础。

在本文中，我们要利用学生们学习的有关圆锥曲线的分析几何学知识，给大家介绍一些实例，用来帮助学生更深入地了解数学知识源于生活，高于生活，又用来为生活和科学服务的实质。虽然圆锥曲线首先是由古希腊人确定的，本文中我们将会使用大家熟知的x-y直角坐标系以及与之相联系的代数方法来研究这些曲线。

最早发现和研究锥形曲线的数学家之一是希腊数学家Menaechmus（大约公元前380-320年），他是亚历山大大帝的导师之一。十七世纪前，圆锥截面仅作为纯数学的一部分被研究。到了十七世纪，世界各地，尤其是欧洲，科学技术得到了迅猛发展，生产力获得了极大的提高，当时的欧洲，无论是在钢铁冶炼、机械制造、天象观测、枪炮制造还是远洋航海，等等，都对数学提出了急待解决的问题。人们发现，在使用数学知识表达一些最重要的自然界规律时，使用圆锥截面非常关键。这些发现主要是由当时的物理学家J.L.Synge做出的。

本文中，你会发现一些使用圆锥曲线的例子，体会圆锥曲线在科学和生活各方面的奇妙的用途其中包括：

无线电望远镜的设计

拱桥的设计

彗星或行星的轨道分析（11.4中的例题7）

不需要全球定位系统确定地球上的一个位置（11.5的课题）

本文还会给出一些课本上没有的知识，用来扩展学生的知识面，提升大家的学习兴趣，并为后续知识的学习提供一些支撑。我们就来看几个类似的小课题及知识补充。

1 椭圆的周长

大家都知道，一个半径为a的圆的周长能用一个非常简单的表达式表示，即 。然而，却没有一个类似的基本表达式可以用来表示一个椭圆的周长。（一个椭圆的周长使用微积分能够计算出来，这种方法得到的数值，想要具有多少位小数都可以得到。）虽然如此，一些非常有趣的基本公式也能够使得我们可以相当精确地估测一个椭圆的周长。下面的表格中给出了四个这样的公式，以及它们的发现者的名字，发明公式的大体时间。每个公式都能够得到一个形如 的椭圆的周长的近似值。

2 双曲线的妙用

椭圆是任意一个闭合轨道的普遍形状。。。天体的运行轨道还可能是一个不闭合的形式，这类轨道的形状用开放的曲线表示。即使两个物体彼此之间没有通过彼此的重力绑在一起，彼此之间的重力吸引对其彼此的相对运动也有影响。它们的轨道的一般形式就是双曲线。―Theodore P.Snow在《宇宙动力学：天文学简介》中说过。可以看出，双曲线在天文学上的应用，在这里我们给出一个更加接地气的问题，需要利用双曲线知识解决，即不需要全球定位系统确定地球上的一个位置。

一个军队的基地位于一个x-y直角坐标系中的原点O。一个士兵位于P点需要确定他相对于军队基地的坐标，但是他没有全球定位系统。然而，他与基地附近的几个小镇有无线电联系。如图I所示，其中的两个小镇是A和B。小镇A在基地南面6英里处；小镇B位于基地的北边6英里处。在同一时间，两个小镇同时发送相同的无线电信号。这个士兵收到B镇的信号比A镇的信号稍微早一些，所以他知道他离着B镇比离A镇近一些儿。另外，通过测量收到的两个信号的时间差，这个士兵能够计算出他离B镇比离A镇仅8英里。

在这里可以让学生组成小组，利用所需双曲线的知识进行计算，并用清晰易懂的语言解释一下为什么点P必须要位于双曲线的某一个分支上，并能够找到这个双曲线的方程。

接下来，这个士兵按照相同的方式使用小镇C和D，如图II所示。镇C在基地的西方19英里处；镇D位于基地东方15英里处。这个士兵计算出他离镇D比离镇C要近16英里。在这里，也可以让学生使用这些信息，解释为什么点P必须要位于另一条双曲线上，然后确定其方程。

建议学生在课余时间学会使用使用绘图软件，并尝试使用绘图软件绘制出两条抛物线，计算出两双曲线的交点相对于这个士兵所在的位置的的坐标，。接下来，使用代数方法得到坐标的更精确的坐标（正如10.6中所示）用以求出两个双曲线的相关交点。最后，使用计算器计算期近似值，每个坐标四舍五入保留到小数点后三位数。这样的一个课题设置，能够让学生把数学知识与生活密切结合。

3 抛物线的用处

（一）建立抛物线

这个课题能够告诉你如何画出一条抛物线。按照说明，然后解释为什么由此画出的曲线的确是一条抛物线。除了一张纸、一支笔或毡笔，你还会需要下面的工具：

一个丁字尺和一个绘图板或能够很容易地把丁字尺从左到右沿水平路径移动的平面

一段带子，与丁字尺的等长（见图A）

两个图钉

（参考图B。）用大头针把带子的一段固定在画板上的一点。把这个点叫做F。把带子的另一个端点用大头针固定在丁字尺的最右侧，如图B所示。现在，使用铅笔或毡笔，按照下面的两个约束条件水平移动丁字尺：带子必须用铅笔拉紧，而铅笔必须始终沿着丁字尺的边缘移动。铅笔画出的曲线将会是一条抛物线的一部分。（实际上，带子的长度应该比丁字尺稍微长一些而，因为有一部分的带子要被图钉固定起来。）

在科学上，抛物线有大量的应用。这些应用中，很多都涉及到抛物面反射。下图的图C给出了一个望远镜在红抛物镜面的截面图。正如图C中所示，光线从平行于抛物线的对称轴方向射入，通过反射经过焦点。而事实上，词语“焦点”本就来源于意为“壁炉”的拉丁语。除了望远镜和无线电望远镜，抛物面反射器也被用于信息交流体系，例如卫星电视信号的接受天线，监视体系的接受天线，和机动车的车灯也都是抛物面。

抛物线在工程学中的用途也极其广泛，下面的拱桥的设计课题从某种程度上说明了这一点.

（二）拱桥的设计. 图D给出了一座跨河桥。桥的拱门是一条抛物线，六条竖直的缆线帮助支撑着桥面，缆线以4米为间隔等距离隔开。图E给出一个x-y直角坐标系中这个抛物线拱的横截面，使得拱的左端点对应着坐标系的原点。如图E所示，最远的缆线的长是3.072米。确定这条抛物线的方程形式为 。然后，使用这个方程确定其他缆线的长度，以及缆线离路面的最大的高度。

寓教于乐，使得学生习惯于把学习当做乐趣，这是教学的最高目的.把课本上的枯燥乏味的知识与生动活泼的现实问题结合，就能够实现.

参考文献