时间：2023-09-25 01:11:12
（一）创设情境，质疑生成
师：2010年我国进行了第六次全国人口普查，现在我们一起来看一看全国及部分省（市）、区的人口情况。
多媒体课件出示我国第六次人口普查的总人数（1370536875）及北京（19612368人）、广西（46026629人）、台湾（23162123人）、（3002166人）、四川（80418200人）的人口数。
师：通过观察数据，你从中归纳出了哪些数学信息？
生1：我知道了我国的总人口数。
生2：我还知道北京的人口数。
……
师：同学们观察得真仔细，这些数学信息有什么特点？
生：这些数很大呀，比我们学过的数大得多。
师：在我们的日常生活中，有很多比万大或大得多的数，今天我们一起来学习这一类数的读、写规则。（板书：亿以内数的认识）
（设计意图：让学生通过观察数据产生认知矛盾，从而激发学生的求知欲。）
（二）探究交流，获取新知
师：现在来看一看云南省的人口普查情况。
1?郾多媒体分别出示第六次全国人口普查云南省（45966239人）、昆明市（6432000人）及西山区（670300人）人口数。
生1：呀！我们云南省的人真多。
生2：到底是多少呀？
师：你们会读这些数吗？试一试。
生1：西山区的人口数，读作六十万七万零三百。
生2：西山区的人口数读作六十七万零三百。
生3：云南省的人口数读作四千万五百万九十万六万六千二百三十九。
生4：不对，应读作四千五百九十六万六千二百三十九。
（教师把学生不同的读法板书在黑板上，不做订正，留到后面再讲。）
（设计意图：让学生试读这几个数，提高学生学习的兴趣，同时利用学生读数的“生成”，使后续的教学准确定位于学生的最近发展期。）
师：要准确地读出这些数，要知道哪些知识呢？
生1：对照数位顺序表就能读出来。
生2：还要知道新的计数单位。
2?郾认识万位以上的数位（十万位、百万位、千万位、亿位）。
师：我们以前学过哪些数位？
生：我们学过个位、十位、百位、千位和万位。
师：请同学们整理出万以内数的数位顺序表。
（学生用作业单动手整理，集体订正。）
师：用我们以前学过的万以内的数位顺序表能读出这些数吗？
生：不能。
师：为什么呀？
生1：数位不够。
生2：我们学的数位只有五个，这些数数位比五个还要多。
师：要读出这些数，还要学习新的数位。你还知道哪些新数位呀？
生1：我知道有十万位，百万位。
生2：我知道有千万位。
生3：我还知道有亿位。
（设计意图：充分利用学生已有的知识和生活经验进行教学，有利于学生学习方法的迁移。）
3?郾认识万以上的计数单位（十万、百万、千万、亿）。
师：你是从哪里知道这些数位的呀？
生1：我是从计数器上看到的。
生2：我是预习时从书上知道的。
师：我们知道一千一千地数，十个一千是一万。如果我们一万一万地数，十个一万是多少呢？
（学生用计数器一万一万地拨珠子。）
师：谁能用计数器给全班同学演示一下。
（指定学生到黑板前演示，学生边拨珠子，边数。当学生拨到九个一万时……）
师：九个一万再拨一万是多少？
生（齐）：是十万。
师：十个一万是多少？
生（齐）：十个一万是十万。（板书：十个一万是十万）
（教师用多媒体演示万位上拨了十个珠子，（万位上）满十向前进一位的过程。）
师：万位满十向前一位进一，万位的前一位是什么位？
生：是十万位。
师：为什么呀？
生：因为十个一万是十万，所以万位的前一位是十万位。
师：现在我们认识了十万位，如果十万十万地数，十个十万是多少呢？
（学生用刚才的方法得出：十个十万是一百万，十万位的前一位是百万位。）
教师根据学生的探究结果分别板书：
10个十万是一百万。
10个一百万是一千万。
10个一千万是一亿。
4?郾小组讨论计数单位之间的关系。
师：我们以前学习了个、十、百、千、万，今天又学习了十万、百万、千万、亿，你们知道个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿是什么吗？
生1：是数位。
生2：不对，没有带着“位”字，应该不是数位。
生3：是计数单位。
师：十、百、千、万、十万、百万、千万、亿，叫做计数单位。相邻两个计数单位之间有什么关系？
生：相邻两个计数单位之间的进率都是十，哪一位上满十就要向前一位进一。
师：同学们怎样证明你的发现是对的？
生：十个一万是十万、十个十万是百万……
师：同学们通过拨珠、数数、观察，发现了它们的规律。
（设计意图：学生通过动手拨珠子，把抽象的数学知识直观形象地展示出来，加深了对“相邻两个计数单位之间的进率都是十”的理解，从而突破教学难点。）
5?郾认识数位顺序表。
（1）认识“数位”。
师：同学们能按一定的顺序把这些计数单位排列起来吗？
（学生用作业单整理亿以内数的数位顺序表、理解数位。）
（2）认识“数级”。
教师指着刚开课时学生试读的两种情况（略）。
师：我们认识了新的计数单位和数位，现在回头看一看同学们刚才的读法，哪一种读法是对的！
生1：西山区人口数的正确读法是：六十七万三百。
生2：云南省人口数的正确读法是：四千五百九十六万六千二百三十九。
师：错误的读法错在哪里？
生：四千万五百万九十万六万六千二百三十九是“万”读重复了。
生2：四千万五百万九十万六万，其实就是四千五百九十六万。
（设计意图：抓住学生读数的错误（生成）让学生自我认识、订正，有利于学生更加准确地掌握知识。）
师：同学们读这些大数还有困难吗？（大部分学生表示没有困难，有几个学生举手表示有困难。）
生：这些数数字比较多。
师：如果数字太多，就把这些数分开来读。分成几个部分读好呢？
生：分成两个部分。
师：你能上来分一分吗？
（引导学生把数位顺序表中的数在千位和万位间各画一条虚线隔开。）
师：这样，这个数就被分成了几个部分？每个部分有几个计数单位？
生：被分成了两个部分，每个部分有四个计数单位。
师：我们把一个大数从右到左每四个计数单位分做一级，第一个叫“个级”，从万位起的四个计数单位叫做什么级呢？
生：叫做“万级”。
师：这就是我们国家所使用的四位分级法，每四个数位分一级，依次叫“个级”和“万级”。这样分级有什么好处？
生：方便读数、写数。
师：千万位的左边是什么数位？
生：是亿位。
师：为什么不是“万万位”呢？（生没回答）如果千万位的左边是万万位，会有什么结果？
生：万级就含五个数位了。
师：千万位的左边是新的一级的开始，这个级我们叫做“亿级”。10个一千万就是一亿，所以，千万位的左边就是亿位。
师：比亿大的数我们以后继续学习。
（设计意图：让学生自己整理出亿以内数的数位顺序表，加深对该知识的理解，有利于亿以内数的读写。）
（三）巩固练习，运用新知
1?郾利用亿以内的数位顺序表读出下面各数。
出示：全国人口总数（1370536875）；云南省人口数（45966239人）；昆明市人口数（6432000人）；西山区人口数（670300人）。
2?郾学生自由读数，集体订正。
师：怎样才能又对又快地读出多位数？
生：分级读最快。
师：谁能把这四个数按从大到小的顺序排列起来？
生：最大的是1370536875，其次是45966239，第三是6432000，最小的是670300。
（设计意图：初步感知亿位、千万位、百万位和十万位的大小。）
师：同学们，说说在实现生活中哪些地方常用到万以上的数。
（让学生联系生活实际，体会大数在生活中的广泛应用，培养学生在实际生活中寻找数学信息的意识和能力。）
评析：
周俊（小学高级教师）：西山区棕树营小学唐启盾老师执教的“亿以内数的认识”一课，充分体现了“课堂教学是一个动态生成的过程”这一课程理念。这节课有以下特点。
1?郾准确把握学生的知识起点，生成新知识。在教学的起始环节，教师先问学生“以前学过哪些数位”，然后，让学生整理出万以内数的数位顺序表。接着，问学生用以前学过的万以内的数的读法能不能读出这些数。学生回答“不能”，因为“数位不够”后，教师进一步启发：“要读出这些数，还要学习新的数位。你们知道哪些新数位呀？”从而引出“亿以内数的认识”。
理解和掌握知识点，是数学学习的知识性目标。“亿以内数的认识”的知识点是：亿以内数的读法，认识并理解对应的计数单位、数位及相邻单位间的进率。唐老师正确把握了学生的知识起点（万以内数的读法、写法、数位顺序），将万以内数的数位知识顺势迁移到亿以内的数，进而生成了“新的数位”，使新知识的学习底蕴厚实，过渡顺畅。
2?郾结合实际，合理预设、自然生成。在教学的第二环节，唐老师结合实际对教材进行了加工处理，将“2000年第五次全国人口普查的数据”换为“第六次全国人口普查的数据”，由于使用了人口普查的最新数据，克服了教材内容的滞后性，体现了与时俱进的思想。为了帮助学生进一步认识这些数据的特征，教师有针对性地提出问题：“这些数学信息有什么特点？”学生准确地说出这些数很大，比我们学过的数大得多。自然生成“大数”的概念。在解决问题中学习，体现数学活动的教学。
在教学的第三环节，教师先出示云南省、昆明市及西山区的人口数让学生观察，引导学生用自己的知识经验尝试读亿以内的数。
不同的读法（教师尚未订正），折射出新旧知识的冲突，学生产生了急需解决问题的愿望，于是教师顺势提出：“要准确地读出这些数，还要知道哪些知识呢？”自然进入对新的计数单位的探究，使掌握大数读法的关键性知识得以突出。
认识万以上的计数单位、数位以及“数级”是第四教学环节的重点，也是认识亿以内数的关键。为此，教师在引导学生复习“一千一千地数，十个一千是一万”的基础上，提出：“如果我们要一万一万地数，十个一万是多少呢？”接着，让学生用计数器一万一万地拨珠子认识十万，如此反复，相继认识百万、千万、亿等计数单位以及相邻两个计数单位之间的进率都是十，哪一位上满十就要向前一位进一。
唐老师以组织者、引导者及合作者的角色，预设并参与了学生的数学活动，使学生经历观察、动手操作、合作交流等数学活动过程，在实践中学习，在解决问题中学习，逐步形成数学能力。
要提高小学数学课堂教学的有效性，就必须充分了解学情，课前充分“预设”，课中适时引导“生成”，真正实现“为学生的发展而教”。
李静（小学高级教师）：教材虽然是教师组织教学活动的重要蓝本，但并不能因此成为“圣旨”，因为它要面对不同的地区和不同的学生，教师应在充分理解教材和把握教学目标的基础上，根据实际对教材进行适当重组，甚至超越教材，让教材与时俱进。如，“亿以内数的认识”一课，唐老师就是在认真分析教材内容、教学目标和学生实际的基础上，对教材情境图进行了合理的改动。教材中的情境图出示的是2000年第五次人口普查的数据，目的是让学生根据这些数据认识大数。而唐老师为了让教学素材更贴近生活、更贴近学生，把情境图换成了2010年我省人口普查的数据（云南省45966239人，昆明市6432000人，西山区670300人），这样的变换让学生产生了对数学的亲切感，激发了学生学习数学的兴趣。
赵艳（小学高级教师）：我们允许学生出错，也正是在“出错”和“改错”的探究过程中，课堂才是最活的，教学才是最美的，学生的生命才是最有价值的。错误是一种反正，可以促进学生的认知，激发学生的心理矛盾和问题意识，推动学生主动地建构和发展。数学教学活动如果只是依靠正面的示范和反复的练习，那肯定很枯燥乏味，所以必须有一个“自我否定”的过程。“自我否定”往往表现为学生对自我错误的再认识过程，所以课堂中出现的“错误”具有教学价值，教师处理得当，课堂会因为出现错误而鲜活起来。唐老师在教学“亿以内数的认识”时，课一开始便紧密联系生活实际，从2010年人口普查的资料中引出数据，然后鼓励学生大胆试读。学生试读中出现“六十万七万三百”、“六十七零三百”、“四千万五百万九十万六万六千二百三十九”等错误读法时，“错误”成为在教学过程中动态生成的宝贵资源。这时，唐老师并没有立即做出判断，而是将学生试读的信息板书在黑板上，让学生进行判断。不同的读法使学生的认知发生了碰撞与冲突，“错误资源”成为了教学新知的出发点，成为了学习的新契机。究竟亿以内的数怎么读才是正确的？这一疑问激发了学生探究的欲望，探究活动由此展开。学生在老师的指导下，通过回忆旧知，计数器演示等活动，发现了读较大数要进行分级，知道了每相邻两个计数单位之间的关系，知道了数级、数位，在掌握了数位顺序表以后，学生自主地发现了试读数时出现的问题，从而纠正了各种错误读法，解决了问题，深化了对知识的理解和掌握。唐老师在教学中善于利用学生在学习中出现的错误资源，引发学生的认知冲突，促使学生对先前的思维过程进行周密且有批判性的再思考，以求得新的深入认识。唐老师的这一教学尝试值得我们借鉴。
杨粉英（小学一级教师）：课堂的主体是一个个鲜活而各不相同的生命体，教学过程又是一次次思维的碰撞。因此，教学中出现教师预设之外的生成时有发生。对于课堂教学中的各种生成，有的教师充耳不闻，有的则有意将各种有价值的生成拉回到自己的预设之中，这是忽视学生独特的理解和感悟的做法。然而，唐老师执教的“亿以内数的认识”却给人与众不同的感受。
事实上，唐老师在课前的工作与其他教师是没有区别的，同样是对教学进行精心的预设，同样制作了课件，课堂也出现过预设之外的生成，而不同的是对待课堂生成的处理方法。面对预设之外的生成，唐老师并没有回避，而是顺着学生的思维不停地调整自己的教学。例如，幻灯片的出示，就是依据学生的需要进行选择。与那些按部就班地实施自己的预设来完成教学任务的课堂教学相对照，唐老师这节课的教学显得比较“乱”，然而，这种“乱”实质上是尊重学生的认知发展，懂得与学生交流，善于分析学生的思想，这样的“乱”也彰显了教师的教学机智。因此，教师不要怕“乱”。这里所谓的“乱”是指教师在教学中出现了意外，而教师根据学生的发展需要来调整自己的教学，不是混乱。著名教育家叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图影！”
刘松英（小学高级教师）：学生在学习新知前，绝不是“一张白纸”，他们有自己的生活经验，从了解学生的认知基础入手，确立适应学生的教学起点，这样的教学学生才会感兴趣，受学生的欢迎和喜爱。
教学“亿以内数的认识”一课，如果老师按部就班地把数级、数位、计数单位和读、写法一一罗列给学生，相信学生能学会，但课堂就会是一潭死水，何谈兴趣的培养？唐老师教学这一课时，开课就给出了一组与学生生活联系比较紧密的数据：第六次人口普查后西山区（670300人）、昆明市（6432000人）、云南省（45966239人）的人口简况，提出问题：“这些数与我们以前学过的数有什么不同？”学生七嘴八舌地议论开了，由于学生已经学过万以内数的认识，因而在比较中自然而然地建立了新旧知识的联系，有的学生还知道十万、百万等计数单位，教师根据学生的认知起点来确定新的教学起点。
接着，老师引导学生进行试读，学生读成四千万五百万九十六万六千二百三十九、四千万五百万九十万六万六千二百三十九、四千五百九十六万六千二百三十九……教师不是直接告诉学生哪种读法正确，而是引导学生把这个大数写在数位顺序表上，让学生体会“位置值”的概念后再引导学生讨论哪种读法正确。这一系列的活动，学生用自己的思维方式进行探究，形成自己独特的见解。所以，学生一直处于积极参与的状态，急于想知道到底怎么读才是正确的，有着强烈的交流、表现自我的欲望，有效地激发了学生的思维，获得了较好的学习效果。
金正仙（小学高级教师）：学生是活生生的人，有生命、有思维、有发展的潜能。他们带着自己的知识和经验、兴趣和需求、思考和灵感参与课堂活动，因此，课堂教学不再是教师按照预设的教案机械地、僵化地传授知识的线性过程，而是关注学生的交际需要，激发学生的兴趣，激活学生的数学思维而不断调整的动态发展过程。
一、搜寻鲜活的素材，体会数学和生活的联系
“认识整万数”是在学生认识了万以内的数，并能正确读写万以内数的大小，会进行相应的加、减、乘、除运算的基础上教学的。书上所用的例子是2003年我国茶叶、甘蔗和油菜子的总产量，这个例子离学生的生活实际比较远，很难激发学生的学习兴趣。在备课的过程中，我寻思：到底用什么素材，学生才会感兴趣？一开始，我想到了当时的第六次全国人口普查，想用一些人口数据来替换，找了一部分，但总觉得不太理想。后来，我想到刚刚闭幕的上海世博会，大多数学生都去过，脑海中留下了深刻的印象。于是，我收集上海世博会中出现的一些整万数并将其进行整合，以世博会为主线将整个堂课贯穿，为学生打开了一个让人遐想的数学世界，引领学生去认识万级的计数单位，去了解这些计数单位间的十进关系，去正确地读写整万数，从中体会、感受整万数在生活和学习中的价值。
二、关注学生的起点，感知数学的妙趣
世界成长于数学之上，又无不寓于数学之中。数学课堂教学就是要千方百计地“化简”书本知识，下最深的工夫去研究书本知识与生活世界的联系，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和具体情景之中，并与学生已经了解或学习过的数学知识相关联，特别是与学生生活中积累的常识和那些学生已经具有的、但未经训练或不那么严格的数学知识体验相关联，从而能够借助于鲜活的生活案例，用最浅显的语言、最巧妙的办法帮助学生对书本知识的认知，使学生的数学学习过程成为建立在经验基础上的一个主动建构的过程，从而引发认知冲突，激发求知欲望。例如，在教学“认识整万数”一课中，我把大多数学生都亲身经历的上海世博会引进了课堂。世博会的图片一下子激发起了学生的兴趣。只有对所学内容产生了浓厚的兴趣，这样的学习过程才是和谐的、有效的。
三、引导学生去探究，体验数学的魅力
不经历风雨怎么能见彩虹，不经历困惑怎么能长真知。学生数学学习的过程充满了观察、实验、猜想、验证、推理等活动，所以，教学过程应是一个暴露学生各种疑问、困难、障碍和矛盾的过程。当学生在解答那些对他来说并不容易的题目时，他学会了败而不馁，学会等待灵感的到来，学会了当灵感来到后的全力以赴。如我在复习以前学过的四个数位的基础上，问学生“千位前面会是什么位”，从而引出“万位”。然后，我给每位学生分发了一张印有4个数位的简易计数器图纸，通过让学生在计数器上拨1200，加深学生对个、十、百、千等记数单位的进一步理解，随即引发学生思考：“如果要在计数器上表示出20000，该怎么办？”学生在仅有4位数的计数器的限制下，产生了强烈的“产生万位”的需求。有学生想到问同桌借一个千位，并把它改作“万位”；有学生想到将两个计数器并在一起，并将一个计数器上的个位改成“万位”。在教学中，我引导学生充分比较，并且细化到学生擦写的细节，从而使学生认识到后面一种方法的优越性，还可以表示出更大的数。由此，教师对产生十万位、百万位、千万位的引领水到渠成。
四、放飞学生的思维，实现数学教学的价值
教师所追求的是学生所需要的东西不仅仅是在课堂中简单地理解和识记的知识，而是希望这些被学生学到的知识能发挥长期的效果，即能迁移到其他的学习中去。在小学数学教学中，要科学运用学习的迁移，加强对学生的基础知识和基本技能的训练，培养学生思维的灵活性，让学生真正感受到书本知识学习的意义和作用。如在设计巩固练习这一教学环节时，我先通过对世博会话题的进一步引入让学生拨、写、读37万。考虑到学生对大数目的体验是本课教学的一个难点，所以安排了两次活动，一是结合全校人数体会37万人是怎样的数目；二是从1万元人民币开始，体会古巴馆的造价200万元的多少，比体验37万时提高了一步，体现了层次性。由于人数和钱数都是学生生活中接触比较多的，这样就给学生对大数目的感悟比较深刻。最后的一段录音里面涉及的5个数也是精心挑选的，即“在世博园内有休息座凳11万个”“1854个直饮龙头”“世博期间发放了8000万份园区导游图”“园区共接待参观者问询108万次”“高温天气时，向游客发放清凉扇1800万把”，涵盖了今天所涉及的几种不同类型的数和以前学过的万以内的数，使一系列的数学知识、方法、思想在学生不断的思考过程中得以建构与生成。
[关键词]逆觅 经验干流 数位表 入海口 源头
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）11-017
干流指什么？在一个水系中，直接流入海洋或内陆湖泊的河流可称干流，流入干流的河流叫做支流。加以引申，“数”经验干流则是指直接影响数概念建立中各阶段的主体经验，其间众多支流可称为支经验，进而形成与河流相似的经验流。
整数是学生能亲手触摸的数，认识、大小、数位、计数、位数、取值等众多知识，都包含在压缩模型――数位顺序表中，决定它成为整数认识的经验干流。（如下图）
由图可见：大数认识之前，学生经历着长时间整数的浸润，数位顺序表串联着整数学习的脉络。其间目睹着经验干流的扩展与壮大，当经验集聚已像洪峰一样随时会“决堤而出”时，分级线成为入海口，如何平稳入海？数位顺序表经历了怎样的压缩与释放？不妨逆寻“表”的演变，探究其教学价值。
干流的入海口如何形成？
涓涓细流，汇成大海，入海的悲壮谁来识？
四年级上册“大数的认识”是学生认识整数暂告一段落的节点。其间数位顺序表在经历了“提取、抽象、压缩”后在此处悄然隐退，释放为淡淡的“印痕”――“分级线”，成为认识大数、理解大数、比较大数的核心线索和重要手段，并悄然入海。
一、学表借表
1.四位一级的整体性认知
“万以上数的认识”延续原有用计数器迁移进率的经验，进一步完善数位顺序表，第一次明确概括了计数单位、数级、数位的概念，教学中可以让学生读一读、填一填加深对表的认知与记忆，使学生掌握个级包括个位、十位、百位、千位，万级包括万位、十万位、百万位、千万位，以此类推亿级的各个数位，从整体上认知“四位一级”的有序性，并体会数的无穷大。
2.关键数位的占领性记忆
当学生已经熟练掌握基本知识后，可说一说：从右边起，第五位是什么位？第九位是什么位？适时点拨：记住从右边起第五位是万位，第九位是亿位。
万位和亿位作为两个“战略高地”，既是各级的转折点，也是充当了分级线演变进程中 “拐杖”的角色，数的读法、写法都将借数位顺序表进行学习，教师需通过点、面结合的方式，引导学生反复操练。有了对数级的扎实掌握，数位表与分级线可共同出示：
两级的数怎么读？读的时候脑中浮现的是什么？成功的学习往往是前经验的提取。在“表”与“线”的联合中，首先提取的是万以内数的读写法，为万级的读写提供经验；其次提取的是回想数级，运用分级线加上“万”字或把分级线当作“万”字写出万级上的数字。至于零的读法与补位，都与“四位一级”相关，更加说明了数位顺序表的现实意义。
3.分级线的隙中补缝
以上两图中的数位顺序表外形更为简单，但可能会打乱学生刚刚建立起来的表的具象，为了及时弥补，可跟进以下练习：
学生借助数位表中的数级直接在表下用虚线划分各级，充分感知分级线与表中数级之间的对应关系，认识与读法之间的缝隙得到填补；表与线的柔和处理使“流经之地毫无堵塞，顺利畅通”，让更多的学生体会数学前后知识之间的内在联系，学会有意识把控演变经验。
二、有表隐表
教材从完整表到简单表，步子稳健，并以表和分级线同时呈现的方式使学生能够在显与隐的交互中掌握读写方法，但这并不是教学所要达到的最终目标，事实上数位表的隐形就是分级线，所以“有表有线”必将行进为“无表有线”。（如下表）
这些读写的练习都遵循由表到隐表的思路。读数时，借助“万”字定乾坤；写数时，引导学生先画分级线再写，发挥出“表”的作用。
三、强化弱视
分级线不断强化，数位表渐渐隐去，读数和写数有了更简洁的“眼见载体”。每见到读数或写数，学生脑中会一下子跳出分级线，说明分级线已真正成为数位表的代言。尽管亿以上数的认识（左下图）也还是从表入手进化为分级线，但事实上学生已经越过了“表”的经验，完全可以采用自学的方式进行。
读数中学生可以自主表示分级，更重要的是“，”比虚线更为简洁，形式上更接近无线。在读数与写数的混合练习中（如右上图），教材中没有任何分级的提示，就是让学生根据自身的能力选择合理的方式，这种强化与弱视并行的 “宽容”充分关注了不同的学生渡过“洪峰”的时差。
四、有形无形
无论是“表”或是“线”，都是对整数认识的有形支撑，吻合学生认知的规律。当线的刺激由强变得越来越弱时，更多的学生也许会用心中的符号代替线，如下例取近似数时常常会在千位加“点”――借万位找千位，那么亿以上数的改写或省略则借亿位找到千万位，这已经是分级线的“变形”，也是占领性记忆的用武之地。能想到这样加“点”，其实学生已经无数次地闪现过“无线”的念头，甚至有的已用脑中“留空”或笔下“留空”的方式直接研究了。
数位顺序表这一“干流”凭借分级线的强与弱、有与无渡过洪峰般的经验涌动，实现有机提升。但这一路并不艰辛与惊险，“线”，无需做出力挽狂揽的壮举便出海，这说明原有经验对大数认识具有较强的“保驾”之力。不妨逆流而上，寻觅干流的途径与源头。
支流的汇入为哪般？
干流中流淌的经验来自于众多支流的汇入，学生的方法、能力都随着汇入更加丰富。如二年级下册的“万以内数的认识”分两部分进行，一是1000以内数的认识，二是10000以内数的认识，但两个阶段不仅仅是内容的承接，更重要的是经验的历练、方法的选取：
不难看出，“1000以内数的认识”中，通过立体、面、小棒等引出计数器中的千位；在此基础上“10000以内数的认识”则把计数器抽象为大数认识前最完整的数位顺序表，并进化为简易的数位表进行写数教学，这与大数教学完全一致，“100以内的数的认识”也是如此。可见计数器是数位顺序表最接近的数学实物图，无论哪个阶段，它将成为学生理解数的组成、读写等知识的最重要载体。
干流的源头在哪里？
计数器给了整数认识强大的直观支撑与理解，学生既可以把具象的数逐步抽象成珠子，又可借眼见的珠子释放大量生活实物，那么计数器是什么时候引入教学的？干流的真正源头在哪里？
1.计数器首次出现的轻巧
计数器在一年级上册“11～20数的读写”一课第一次正式出现，并做到了三对应（左下图）。一是借助熟知的小棒生活实物图轻巧地引出计数器这一学具实物图，学生能够感悟十位、个位与之一一对应，明白十根小棒只用十位上一颗珠子即可替代的计数原理；二是数位与数的抽象图，对应计数器十位和个位的珠子图，使“数”可在具象与抽象之间自由穿越；三是文字表述与各辅助图遥相呼应，学生可以根据“图经验”初步感知数位顺序与数的读写法，这也正是以后学习更大数的策略与方式。为了突出计数器对于数认识的作用，教材（右下图）加强了计数器“展开式”与“压缩式”的对比练习，突破十位上一颗珠子的“事实数量”就是十块方格的难点；计数器毕竟只是数位表的过渡，因此第2题又据“表”建“位”，帮助学生读数与写数。
2.辅助图多层次的丰羽
小棒不仅是生活实物也是学具实物，成为计数器的原形完全符和儿童理解数学的认知规律。其实在零起点教学时，学生已经紧紧依靠这些辅助图学习数了。
1～5的认识突出了生活实物图与学具实物图（如小棒、算珠）等的结合，然后抽象为数学意义的点子图，多种辅助使数学“有血有肉”。从顺逆两方面分析可以看出“6、7的认识”成为数启蒙认识中的纽带：“6”承接了1～5以“展开小棒根数”为主的呈现方式，但隐去了生活实物图，而“7”首次以“折叠的几根”去摆一摆，引导学生自己去创造“多少”，并把这一方式延续给8、9、10的认识。因此，“20以内数的认识”整个过程已出现多层次数的认识辅助手段，为计数器的产生、数位表的壮大、分级线的演变等积累了丰富的活动经验和推理经验，能让学生在整数学习的“河道”里根据自身认知水平去自由游弋。由此看来干流的源头，就在步入认识“1”的那一刻。
结语
当我们从分级线这一入海口逆干流而上，找到源头的那份期待越发迫切；当我们顺流而下，一路感受着各个阶段中学生对于数的认识日益深刻的那份喜悦：执著中经历了从生活实物图、学具实物图，到数学实物图、数学抽象图等支流经验的积累过程，逐步实现计数器与顺序表的无缝对接；然而干流越来越宽广，越来越充盈时，却只化为一缕细线，纵身汇入数的大海……
【关键词】经历 数数 发展 素养
一、数数材料结构化过程，培养学生数感
自然数的认识在小学阶段是分四次编排的：第一次是在一年级上册“认识20以内的数”，主要学习逐一计数，体会基数、序数的意义，初步感受位值概念，发展学生的数感；第二次是在一年级下册“认识100以内的数”，主要学习以“十”为单位按“群”计数，初步体会计数单位，继续感受位值概念、发展数感；第三次是在二年级下册“认识万以内的数”，主要认识更大的计数单位“千”“万”，初步体会计数单位之间的十进关系，初步体会十进位值制，进一步发展位值概念和数感；第四次是在四年级上册“认识比万大的数”，认识更大的计数单位及整数数位顺序表，会读、会写更大的数，会比较大数的大小，会把大数改写成以“万”或“亿”为单位的数，会求一个数的近似数，掌握自然数的概念，进一步体会十进位值制计数法，发展数感。
对比这四次的编排，我们发现，数感是四次都有提到的。在小学阶段，数感培养的基础就是学生的数数。数源于数，数数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数，一个一个地数是最基本的数数方法。小学阶段，我们对于学生数感的培养的侧重点也是不同的，“20以内数的认识”侧重的是“数字”；“百千数的认识”侧重的是“位值”，让学生体验“满十进一”的计数过程，因为“满十进一”，所以两个数字一定是紧挨着的两个位子，这是由生活物象所支撑的，当两个数字合起来表达了一个数，这个数又成了一个新的数。对于“位值”的物化教学时有的借助于生活中小棒的大小概念――根、捆来突破，有的借助点、线、面、体的方格图来感悟。如教师在教学构建“千”的模型时，这样问学生：“如果小正方体数量很多很多，要继续往下数，怎么数得比较快？”让学生利用已有知识，充分地数小正方体，感悟数数方式的多样，可以一个一个地数，也可以十个十个地数，甚至一百一百地数。让学生通过操作，感悟到数较大的数时可以一百一百一千一千甚至一万一万地数，提高学生解决问题策略多样化的意识。又如：在教学“千以内数的认识”时，在方块模型中，课件展示10“条”组成1“片”，表示一百，10“片”组成1“块”，表示一千。“个”“条”“片”“块”这些不仅可以帮助学生体会“满十进一”，还形象直观地让学生感受到一千有多大，非常有利于学生数感的培养。
二、借助直观模型，建构位值概念
学生在认数的过程中离不开直观的模型。首先认识数离不开直观的学具，好的学具有两个基本特点：齐性和结构性。学具的齐性是指表示同一数学概念含义的每一种材料的物理特征都是相同的，表示的意义也相同。学具的结构性是指学具材料经过结构设计，能体现数学知识的某一含义。如在教学“100以内数的认识”时，教师呈现小棒、小方块等素材，用小棒表示个、十、百，每根小棒都是木质的或塑料的，用好直观化、齐性的学具。如在教学“亿以内数的认识”时，呈现“一堆小棒、一些小方块或是一堆人民币”，如下图：
直接用眼睛看不出有多少，但可以把这些学具“结构化”：10根一捆、10个一列、10列一面、10面一体，一张100元、10张1000元、100张1万元，一层1千万，10层就一亿。给学生造成强烈的视觉冲击，强调“十进制”，这样直观“结构化”的W具就能使学生一眼看出小棒或其他素材的数量，感受“十进制”。
其次，我们还可以利用齐性、逻辑结构化的学具，在教学中利用计数器，“珠子”相同，但是珠子所在的位置不同。如教师在教学“100以内数的认识”时，出现34和43，同样都画了7颗珠子，为什么一个是34，一个是43呢？同样都有4和3这两个数字，为什么数字的大小不同呢？因为珠子的个数虽然相同，但是珠子所在的位置不同，每个珠子所表示的意义也不同。再如：在教学“千以内数的认识”301和310的读写法时，通过计数的对比，如下图：
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不同的“位置”体现了不同的“计数单位”。这样从散乱的学具到齐性、直观、结构化的学具再到齐性、逻辑结构化的学具，被我们教师有效地使用，有利于学生逐步掌握数的内部结构，从而使学生进一步建构位值概念，深入认识数的概念。
三、提供现实素材，探究数的意义
数感是数与代数领域培养学生的重要任务之一，我们把抽象的数与现实情境相结合，有助于学生更好地理解数的大小，对于培养学生的估算能力也有重要价值。比如：可以在课前提供丰富的物品让学生数中认数，丰富学生对100的感知，形成多角度的感知。
在自然数的认识中，计数单位是数概念发展的主要线索，十进位值制计数法是认识大数的核心概念，数位顺序表是大数读写的重要抓手，在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义、建立数的概念，如计数器、数位桶、方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系。如在教学“千以内数的认识”时，让学生在计数器上拨出235，在小棒图上圈出235，在数轴上标出235，为什么同一个数字能在不同的材料上表示出来呢？各个部分所表示的意义又都是什么呢？让学生在拨数、数小方块、数数对比想象等多个现实素材的操作活动中，深入理解数的意义，在理解的基础上，发展学生的数学智慧。
又如：在教学“万以内数的认识”时，不管是星星图、正方体图，还是计数器，都告诉我们，这个2458是由2个千、4个百、5个十和8个一组成的。如下图：
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出示PPT，2458是由2个千、4个百、5个十和8个一组成的。我们再来看看“万以内数的认识”中的一个例子，教师要求学生猜猜五角星指着的地方是多少？如下图。
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在学生各种素材的数数活动中，我们可以沟通数的认识与运算之间的联系，也可以为四则运算打下基础。往前继续数就是加，往后倒着数就是减，几个几个地继续数就是乘，当这些数字模式和算术相联系的时候，这些数字模式便能促使学生找到有效的策略。
【关键词】中国古代/自然规律观念/常/道/理/数/则
【正文】
自然规律是自然界事物发展过程中所显示的本质的必然的联系，是事物运动变化所遵循的法则。严格科学意义上的自然规律观念是随着近代科学的建立而逐步形成的。但在此之前，中国和西方古人都对自然界的规律性有所认识。李约瑟(j.needham)指出，在近代科学产生之前，西方文明主要以自然法则概念表示事物的规律性；西方传统观念认为，正如人间帝王立法者制定了成文法为人们所遵守一样，至高无上的有理性的造物主也为自然万物制定了一系列必须遵守的法则。[1]此即西方古代的自然法则观念。这种观念反映了西方古代的自然规律神创思想，是神学自然观的表现。
由于中国古代不存在类似于西方的那种具有人格性和创造性的造物主观念，因而也就不存在上帝为自然界立法的观念，从而也就不存在上帝创造意义上的自然法则观念。李约瑟在其《中国科学技术史》第二卷中用一章的篇幅专门论证中国古代缺乏自然法则观念，并认为这或许可以看成是“中国文明中阻碍了近代科学技术在本土上成长的因素”。（[1]，552页）在他看来，自然法则观念对西方人认识自然规律有相当的启发作用，因而对近代科学的产生有重要帮助。也正因如此，他认为中国由于缺乏这种观念而不利于近代科学的产生。关于影响近代科学在中国产生的原因，是个相当复杂的学术问题，本文无意于讨论。本文所要强调的是，尽管李约瑟关于中国古代缺乏自然法则观念的分析有一定的道理，但却易使人产生误解，误认为中国古代也缺乏自然规律观念。关于中国古代有无对自然规律的认识，是否形成了明确的自然规律观念，以及在这方面的认识水平如何，关系到中国古代科学认识特点及认识水平的基本评价问题，本文拟对此作一初步探讨。
事实表明，尽管中国古代缺乏西方那种上帝创造意义上的自然法则观念，但并不等于缺乏科学认识意义上的自然法则观念，亦即并不等于缺乏对自然事物规律性的认识和由此而形成的自然规律观念。我国古人在长期的生活实践和科学认识活动中，对自然万物运动变化的规律性进行了广泛而持久的探索，取得了许多经验性认识成果，创造了一系列具有规律性内涵的重要概念。这些概念的产生和运用，充分表明中国古人已认识到自然界是有规律的，已具有明确的自然规律观念。中国古代有许多这类概念和理论，现举其要者分析如下。
一、天行有常
“常”是我国古代表示事物的不变性和规律性的基本概念之一。
日月星辰东升西落，重复出现，明显且常见，最易为远古先民所认识。因此观察自然天象变化，对于早期古人认识自然规律很有帮助。早在西周时，古人即问道：“悠悠苍天，曷其有常？”[2]“常”是常规、正常秩序和法则。春秋时古人已认识到：“天道皇皇，日月以为常。”[3]“天道”有天体运动规律的含义。古人发现，日月星辰的运行，宇宙天象的变化有其不变的秩序和规则。《左传》在讨论天象变化时也指出：“天事恒象”。[4]“恒象”即常象、常态。天体的运行呈现某些不变的常象，正是这些常象显示了其具有某种规律性。《左传》引述《夏书》曰：“唯彼陶唐，帅彼天常。”[5]“陶唐”即尧帝，“帅”即遵循；“天常”指天之常道，具有一定的自然规律或自然法则含义。
“天”概念在我国古代文化中既指与地相对应的天空及其中的一切，也泛指与人类社会相对应的自然界。古人常把自然所成而非人力所为的因素称作天。“常”指事物的常态、秩序和法则等。因此，上述资料说明，至迟在春秋时期，我国古人已初步认识到，自然界存在某种法则，事物的运动变化遵守一定的常规。由此反映了先秦古人初步的自然规律观念。战国荀子明确指出：“天行有常，不为尧存，不为桀亡，应之以治则吉，应之以乱则凶。”[6]荀况认为，自然万物的运动是有规律的，这种规律性是不依人的主观意志为转移的。这是我国古人对事物运动的规律性及自然规律的客观性的绝好概括。
《逸周书·常训篇》强调：“天有常性，人有常顺。顺在不变，性在不改，不改可因。”“常性”，是事物恒常不变的基本属性，即事物内在必然性和规律性的表现。古人认为：“性者，万物之本也，不可长，不可短，因其固然而然之。此天地之数也。”[7]万事万物都有其基本属性。正因事物的属性，不可长，不可短，是恒常不变的，因而人类能够认识它，因循它，用它为自己服务。《管子·形势解》指出：“天覆万物，制寒暑，行日月，次星辰，天之常也……天不失其常，则寒暑得其时，日月星辰得其序。”古人发现，日月运行有序，寒暖更迭有时，这是天有其常的表现。正因天不变其常，地不易其则，春秋冬夏不更其节，人类才能认识一年四季气候变化的基本规律，并用其为农业生产服务。因此，认识事物的常性，就是在探讨事物的本质和规律性。
我国古代用“常”表示事物的不变性和规律性的论述很多。除上述之外，还如《管子·君臣》指出：“天有常象，地有常形，人有常礼；”《荀子·天论》强调：“天有常道矣，地有常数矣，君子有常礼矣；”《庄子·天道》也指出：“天地固有常矣；”《周易·系辞传》也强调：“动静有常，刚柔断矣。”常象、常形、常道、常数、天地之常、动静之常等等都是表示事物的某种不变性或规律性。以上仅列举了先秦一些典型论述，秦代以后的文献中这类论述也很多，此不赘述。
先秦古人以常表示事物的不变性和规律性。这种现象，一方面反映了古人根据事物的不变状态探讨其基本规律的经验认识过程；另一方面也说明当时人们对自然规律的认识还是模糊的、初浅的，还难以明确区分事物的现象与本质、常态与常规。尽管如此，战国古人已认识到“天行有常”，已初步认识到自然万物的运动变化具有规律性，这一点则是可以肯定的。
二、天地之道
在中国传统科学文化中，“道”是应用最广泛的一个表示事物规律的概念。
“道”之本义是道路。人欲到达某个目的地，必须沿着某条道路行进。由此引申，古人把人或物所必须遵循的法则或规律统称为“道”。《尚书·泰誓》强调“天有显道”，《尚书·汤诰》认为“天道福善祸淫”，齐国政治家晏婴认为“天道不谄”，[8]其中的“天道”都具有一定的自然法则或规律的含义。
春秋时期，老子将道概念提升为最高的哲学范畴，创立了道家学说。《老子》指出：“天之道，不争而善胜，不言而善应，不召而自来，附图然而善谋。天网恢恢，疏而不失。”“天之道”，即自然规律。老子强调了自然规律的客观性和必然性。他举例说，自然万物的运动变化都是“有余者损之，不足者补之，”这是一条自然法则，“天之道，损有余而补不足。”道家学说的创立和发展，促进了“道”作为事物基本规律性概念在古代科学文化中的广泛应用。古人认为，日月星辰的运行，阴阳寒暑的变化，山川草木的枯荣，家族邦国的兴衰，都具有某种规律性，它们分别被称为“天道”、“地道”和“人道”。
汉代《淮南子·谬称训》认为：“道者，物之所导也，”即“道”引导事物的运动变化和发展，由此也可以说“道”是事物运动所遵循的秩序和规律。董仲舒《春秋繁露》指出：“天之道，有序而时，有度而节，变而有常。”汉代郭象也强调：“所以取道，为有序。”[9]“有序”、“有度”、“有常”都是说明天道的规律性内涵。
宋代石介说：“夫三光代明，四时代终，天之常道也；”“五岳安焉，四渎流焉，地之常道也。”[10]张载说：“天地之道，唯有日月寒暑之往来，屈伸，动静两端而已。”[11]理学家程颐更明确地说：“天之法则，谓天道。”[12]这些宋代学者认为，月日经天，江河流地，寒暑往来，万物生灭，都有一定的规律或法则，此即所谓道。这种认识代表了中国古代以道表示自然规律的基本思想。
道作为中国古代的自然规律概念，内涵相当丰富，兹举两例加以讨论。
其一，天地之道，一阴一阳。
《周易》是我国古代富有影响的重要典籍。《周易·系辞·下传》指出：“《易》之为书也，广大悉备，有天道焉，有人道焉，有地道焉。”何谓天、地、人之道？《周易·系辞上传》说：“一阴一阳之谓道。”古人认为，阴阳变化决定宇宙万物的运动变化和发展，一阴一阳是天地万物的根本之道。在古人看来，《周易》作者观变于阴阳而立卦，因此“《易》与天地准，故能弥纶天地之道。”[13]从形式上看，《周易》是卜筮之书，但从实质内容上看，它是运用阴阳概念以思辨的方式讨论宇宙万物运动变化的基本规律，是讨论天地阴阳之道的书。《易传》作者对《周易》阴阳之道所作的阐释和强调，反映了战国古人的阴阳规律观念。
中国古代用阴阳概念说明事物规律的论述很多，除《周易》外，还如《管子·四时》说：“阴阳者，天地之大理也；”《吕氏春秋·大乐》说：“阴阳变化，一上一下，合而成章，浑浑沌沌，离则复合，合则复离，是谓天常；”《黄帝内经·阴阳应象大论》说：“阴阳者，天地之道也，万物之纲纪，变化之父母，生杀之本始，神明之府也。”如此等等，都是强调阴阳在事物发展变化中的决定作用，都把阴阳作用看作天地万物之道。阴阳是中国古人从大量事物中抽象概括出的一对自然哲学范畴，表示决定事物发展变化的两种根本因素或属性。
其二，天地之道，极而反，终则始。
我国古人发现，事物发展到极端就会走向其反面，最终完成一个循环运动，这是一种自然规律。《周易·泰卦》说：“无往不复。”“复”是反本复初，更新有始，表示事物的循环运动。《老子》说：“夫物芸芸，各复归其根。归根曰静，是谓复命，复命曰常。”老子认为，万物的生死变化都采取原始反终，复归本根的形式，这是自然常规。事物盛极而衰，终则有始，这是自然万物生生不息、变化发展的普遍形式和基本规律。中国古人对此有着广泛地认识。《管子·宙合》明确指出：“天道之数，至则反，盛则衰；”《庄子·则阳》强调：“穷则反，终则始，此物之所有；”战国军事家吴起说：“夫道者，所以反本复始；”[14]《荀子·王制》也指出：“万物始则终，终则始，与天地同理；”《吕氏春秋·似顺论》也强调：事物的发展变化“至长反短，至短反长，天之道也；”《淮南子》也认为：“天地之道，极则反，盈则损；”《老子帛书·四度》说：“极而反，盛而衰，天地之道也。”这类论述在古代文献中还可找出许多，它们都表达了古代对物极必反、原始反终的规律性认识。
由上述可见，“道”具有明确的规律性内涵，是中国古代重要的自然规律概念。古人认为一阴一阳谓之道。阴阳代表一对决定事物变化发展的根本因素，二者既对立又统一。因此古人所说的阴阳之道，很接近于现代所说的对立统一规律。古人反复强调物极必反、原始反终的观念，这种观念揭示了事物的循环发展规律，也含有朴素的辩证认识思想。这些都表明，虽然“道”的规律性内涵仍是宽泛的，一般性的，但却比“常”的规律性内涵更为明确，反映了我国古人关于事物规律性认识水平的提高。
三、万物之理
“理”也是中国古代一个内涵丰富的重要概念，其基本含义为治玉、治理、文理、条理、道理等。因此古人常用其表示事物的道理和规律。《周易·系辞上传》说：“易简而天下之理得矣。”“天下之理”，即指万事万物的基本道理。《管子·四时》有：“阴阳者，天地之大理也。”古人把阴阳变化看作天地万物最大的道理，“大理”也即基本规律。《孙膑兵法·奇正》说：“天地之理，至则反，盈则败；”其中的“理”即指事物循环变化的规律性。《庄子》中有多处讲到“理”，如《秋水》篇有“明天地之理”、“论万物之理”，《刻意》篇有“循天之理”，《知北游》篇有“万物有成理”、“达万物之理”，《则阳》篇有“万物殊理”，《天道》篇有“顺之以天理”等等，其中的“理”都有自然规律的含义。
在古代科学认识活动中，人们常用“理”表示事物的道理及其内在必然性。战国秦汉时期，古人对乐器共鸣、磁石引铁、琥珀拾芥、湖汐涨落以及水生动物生理变化与月相变化同步等自然现象进行了大量观察和思考，认为这些现象都是事物之间相互感应的结果，符合自然常理，有其必然性。对于这类现象，《庄子》用“固天之理”加以解释；唐代孔颖达用“冥理自然”予以说明；[15]宋代陈显微认为其中的“隔碍潜通之理，岂能测其端倪！”[16]清代俞思谦则认为，物类相感“皆理之常，无足多异。”[17]虽然古人未能正确说明关于这些现象的具体道理，并且有人认为其理深奥、难以认识，有人认为其理常然、无足多异；但大家都承认其中含有一定的道理和必然性。这同样反映了古人的自然规律意识。
宋代学者对万物之理的强调最为充分。程颢程颐指出：“凡眼前无非是物，物物皆有理。”[18]欧阳修强调：“万物有常理。”[19]王安石认为，万物春夏生长，秋冬凋零，是“物理之常”。[20]沈括认为，十二律相生，“听其声，求其义，考其序，无毫发可移，此所谓天理也。”[21]这些都反映了古人以理表示事物的道理或规律的思想认识。
古人认为，“理者，物之固然，事之所以然也。”[22]理是事物的道理或必然性。“物无妄然，必由其理。”[23]宇宙万物各有其道理和规律。正所谓“天地有大美而不言，四时有明法而不议，万物有成理而不说。”[24]人类认识事物，就是要“原天地之美，而达万物之理。”[24]认识万物之理，就能对其“统之有宗，会之有元，故繁而不乱，众而不惑。”[23]我国古代一直重视对万物之理的认识。从先秦儒家主张“致知在格物”，到宋明学者提出“格物穷理”，都是强调认识物理的重要性。
在中国古代科学文化中，理具有规律性内涵，但在表示自然规律方面，理与道是有区别的。《庄子·则阳》说：“万物珠理，道不私。”义即万物各有自己的特殊之理，但道则是普遍的，是行于万物、统会一切殊理的大理。关于理与道的区别及联系，《韩非子》论述的最为透彻，其中《解老》篇指出：“道者，万物之所然也，万理之所稽也。理者成物之文也，道者万物之所以成也。……万物各异理，而道尽嵇万物之理。”韩非子视道为万物存在的共同根据和普遍规律，视理为具体事物的形态特征和特殊规律；认为具体事物各有其形态及属性差异，其具体规律也各不相同，因此，“万物各异理”；道作为万物的普遍规律，与万物的特殊规律相一致，所以说，“道尽嵇万物之理”。韩非子对道和理的区别，反映了战国后期古人对事物的一般规律和特殊规律的初步认识。这种认识被后人所继承和发展。南宋朱熹说：“道是统名，理是细目；”“道字宏大，理字细蜜。”[25]明末王夫之也认为：“道者，天地人物之通理也。”[26]这些论述都说明，道是一般，理是个别，二者表示事物不同层次的规律性。
理所具有的规律性内涵及其与道的区别，表明我国古人已基本认识到宇宙万物具有不同层次的规律性，反映了古代自然规律观念的发展。
四、自然之数和自然之则
数是事物量的量度，是事物数量属性的反映。由于事物的数量变化有一定限度，超过限度即会引起性质变化，成为新的东西。因此事物的数量关系也在一定程度上反映事物的基本属性或变化规律，给人以必然性的感觉。基于这种认识，中国古人也用数概念表述事物的必然性或规律性。
《尚书·大禹谟》记载舜对禹说：“天之历数在汝躬。”其中“历数”是历运之数，指天象季节变化所显示的必然性。《管子·重令》有：“天道之数，至则反，盛则衰。”“天道”是自然规律，“天道之数”指自然规律表现出的必然性。《荀子》说：“天有常道矣，地有常数矣。”其中“常数”是指与“常道”对应的地的运动规律。《淮南子·原道训》指出：“万物之至腾踊欷乱，而不失其数。”汉高诱对此作注时认为，“不失其数”即“各应其度”。此处“数”是指事物运动变化的限度。
古人认为，“天道之动，则当以数知之。数之为用也，圣人以之观天道焉。”[27]事物运动的某些规律性可以通过其数量的变化表现出来，因而由数可认识事物的有关属性和规律。《淮南子·本经训》指出：“天地之大，可以矩表识也。星月之行，也以历推得也。雷震之声，可以鼓钟写也。风雨之变，可以音律知也。”矩表可测知天地之大，历数可推算日月之行，音律可测度气候之变，钟鼓可模仿雷震之声。在这些活动中，古人主要是利用数量关系去认识事物的性质。我国在战国时即发现了乐器共鸣现象，由于古人不了解其中的道理，长期对之有神秘感。针对这种情况，董仲舒指出：“五音比而自鸣，非有神，其数然也。”[28]他认为，宫商角徵，羽同声相应，是由其“数”所决定的。这个“数”即表示乐器共鸣现象的内在道理和必然性。古代的天文观测和历法推算，是以数认识事物运动规律的典型例子。古人认为，天体运动的快与慢、显与隐等都“有形可验，有数可推，”“非出神怪。”[29]唐代刘禹锡强调：“夫物之合并，必有数存乎其间焉。”[30]清代颜元认为，宇宙间气机消长、万物流变，都是“理数使然”。这一切都说明，数也是古人用以描述事物的必然性和规律性的一个基本概念。
“则”同样是我国古代经常使用的一个表示事物法则或规律的基本概念。《诗经·大雅》有“天生zhēng＠①民，有物有则；民之秉彝，好是懿德。”汉代毛亨注曰：“则，法；彝，常；懿，美也。”把“有则”与“秉彝”联系看，其中的“则”应有规范、准则、法则之义。《管子·形势解》指出：“天不变其常，地不易其则，春秋冬夏不更其节，古今一也。”“常”和“则”是天地变化过程中显示出的不变性，即某种秩序和规律性。《管子·七法》也强调：“未尝变也，谓之则。”《易经》有“乾元用九，乃见天则。”“天则”即指自然法则。汉代贾谊在讨论天地万物演化过程时曾问道：“天地为炉兮，造化为工；阴阳为炭兮，万物为铜；合散消息兮，安有常则？”[31]这里的“常则”当指天地造化、万物生灭的基本秩序和规律。《后汉书》张衡传有：“经纬历数，然后天步有常则。”其中的“常则”也是指规律性。
“则”与“法”合成“法则”一词，在古代也较常用。《管子·七法》说：“尺寸也，绳墨也，规矩也，衡石也，斗斛也，角量也，谓之法。”显然，法是古人制定的衡量标准，人们必须遵守这种标准才能正常进行有关活动。在此基础上，古人常用“法则”表示社会活动的规范和自然事物的规则。前者如《荀子·王制》有：“本政教，正法则，兼听而时稽之……冢宰之事也；”《荀子·王霸》有：“加义乎法则度量，著之以政事；”其中的“法则”均指有关社会活动的规则。后者如《庄子·山木》说：“物物而不物于物……此神农黄帝之法则也；”《周易程氏传》也说：“天之法则谓天道；”其中的“法则”均指自然事物的运动规律。
古人以数和则表示事物的必然性和规律性，同样反映了中国古代对事物规律性的认识。类似概念还有一些，此不俱述。
我国古人不仅认识到事物是有规律的，而且反复强调认识和利用自然规律的重要性。《老子》指出：“知常曰明，不知常，妄作，凶。”《庄子·渔父》也指出：“道者，万物之所由也，……为事逆之则败，顺之则成。故道之所在，圣人遵之。”人类认识了事物的属性和规律，就能有效地用其为自己造福；了不解事物的规律，胡作妄为，则会导致失败，甚至造成灾难。《管子·形势解》认为，如果人的行为“上逆天道，下绝地理，则会造成，天不予时，地不生财”的恶果。因此认识和遵循自然规律对于人类的生存和发展至关重要，所以古人强调要“行天道，出公理。”荀子指出：“大天而思之，熟与物畜而制之；从天而颂之，熟与制天命而用之；望时而待之，孰与应时而使之；因物而多之，孰与骋能而化之。”[32]面对威力无比的自然界，敬畏它，赞颂它，被动地因时守节，期望物产自然丰富；如何生动地认识自然，改造自然，制天命为我所用，使贤骋能，积极创造财富。荀子并且指出，人类有认识和驾驭自然的能力，“天有其时，地有其财，人有其治。”[32]因此人类也有抗御自然灾害的能力，即所谓“强本而节用，则天不能贫；养备而动时，则天不能病；修道而不二，则天不能祸。”[32]既承认自然规律的客观性，又强调人的主观能动性，积极利用自然规律为人类造福。荀子这种科学认识思想是十分可贵的，代表了中华民族积极有为、勇于进取的精神。这些论述表明，中国古人已认识到遵循自然规律的重要性，具有很强的顺应和利用自然规律的意识。重视探索自然规律，自觉遵循自然规律，积极利用自然规律为人类服务，主张制天命而用之。这是中华民族几千年形成的重要思想观念，具有重要的历史和现实意义。
五、结语
由上述分析可得出以下几点认识：
其一，中国古代很早即有明确的自然规律观念。“常”、“道”、“理”、“数”、“则”等一系列具有一定程度规律性内涵的概念在先秦的产生和广泛运用，即充分说明了这一点。
其二，中国古代对自然规律的认识总体上是初浅的、经验性的。我国古人虽然很早即认识到天地万物各有其故，各有其必然的道理和基本规律，树立了明确的自然规律观念。但对天地万物之道、之理、之数、之则的探讨却不够深入，对这些规律的具体内容认识不足，长期停留在初浅的经验认识水平上。正因如此，古代许多关于事物规律性的陈述都是“但言其所当然，而不复强求其所以然。”[33]
其三，中国古代的自然规律观念是建立在朴素的经验认识基础之上的。按照李约瑟的说法，如果说由于受神学观念的影响，西方古人把自然法则或自然规律看作是上帝赋予宇宙万物的，是外在的；那么中国古人则把自然规律看作事物自身所固有的，是内在的。中国古人认为，自然万物“普遍的和谐并不是来自某个万王之王在上天发布命令，而是来自宇宙万物遵循其自身本性的内在必然性而实现的自发的协作。”（[1],596页）正是在对事物长期观察认识的基础上，我国古人逐步发现“天行有常”、“物物有理”，自然万物的运动变化遵循一定的内在规律性。因此，中国古代自然规律观念的建立，是古人对宇宙万物长期认识和探索的自然结果，与宗教神学无关。
有无明确的自然规律观念，是衡量古代一个民族科学认识水平和文明程度的基本标志之一。中国古代关于自然规律的认识，是与其悠久而发达的古代文明相一致的。不可想像，一个古代科技文明先进的民族会缺乏对自然规律的基本认识。
【参考文献】
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[11] 张载：《横渠易说·下经》。
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[24] 《庄子·知北游》。
[25] 《朱子语类》卷六。
[26] 王夫之：《张子正蒙注·太和》。
[27] 《旧五代史·历志》。
[28] 《春秋繁露·同类相动》。
[29] 祖冲之：《辨戴法兴难新历》。
[30] 刘禹锡：《天论》。
[31] 司马迁：《史记·屈原贾生列传》。
[32] 《荀子·天论》。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章标号】0450-9889（2013）06A-0019-01
数学课堂是学生学习数学知识的主阵地，它是否具有活力，直接影响学生数学学习的效率。操作活动能激活学生思维，让学生对学习内容产生浓厚的兴趣，变“要我学”为“我要学”。因此，在数学课堂教学中，教师应适时、适度地组织学生动手操作，为学生创设一个有利于主动发展的氛围，通过引导学生运用个体探究和群体研讨相结合的学习方式，使学生掌握知识，学会方法，发展思维，提高能力。
一、创设操作的问题情境，以疑激“活”
数学相对于其他学科来说比较枯燥乏味。教学时，教师如果能借助操作活动唤起学生深入观察与探究的欲望，就能激发学生学习的兴趣，使课堂充满活力。例如，教学苏教版四年级下册《认识整万数》时，为了让学生更好地学习和掌握新的计数单位，教师为每个学生提供一组计数器（仅标已学数位名称的），先让学生用计算器从八千拨到一万，复习“满十进一”的计数原理和“10个一千是一万” 的知识起点。接着教师带领学生用计算器从一万数到十万，在数到九万时放慢教学节奏，让学生展示再添一万的拨法，再次强化了“满十进一”的思想。学生在拨珠的过程中深刻感悟到“10个一万是十万”。有了前面的拨珠经验和“十万”的计数单位，学生完全能通过自己拨珠数数，自主认识其他新的计数单位和数位。在此基础上教师引导学生思考：刚才我们认识了十万位和计数单位“十万”，如果继续数下去，1分钟内你还能认识其他的计数单位吗？你能边拨珠边数数，并标出自己新认识的数位吗？学生个个都热情高涨地投入到操作活动中，在短短的1分钟时间内不仅自主认识了本节课需要掌握的万级计数单位和数位，而且动作快、思维活跃的孩子还自主认识并标出了亿级的数位。本环节，教师始终从学生的角度出发，以学生主动探索学习为基本活动形式，让学生充分经历数学知识的“再创造”过程，培养了学生数学思考的能力和解决问题的能力，激活和发展了学生的思维。
二、引导自主操作探究，“活”中求知
动手操作能激活学生思维，促使学生主动求知。例如，教学苏教版四年级下册《三角形内角和》时，教师先让学生取出一张正方形纸片，认识正方形的内角，明确它的内角和是360°，再让学生将手中的正方形纸片沿着对角线剪开得到两个等腰直角三角形，引导学生猜想：其中的一个三角形的内角和是多少度（180°）？学生跃跃欲试，主动探究起来。有的同学用量角器对三角形的3个角进行了测量，再分别把3个角的度数相加，得出了内角和为180°；有的同学只将这个直角三角形的两个锐角用量角器测量，把两个锐角相加是90°，再加上直角的度数，也得出三角形的内角和是180°；有的同学将三角形的两个锐角剪下来，与另一个直角拼在一起组成了平角，也证实直角三角形的内角和是180°；有的是先将一个角折过来，使顶点落在底边上，再把另外两个角也折过来，这样三个角正好拼成一个平角，得出三角形的内角和是180°。以上一系列的操作活动，所有的过程都是学生主动经历、体验、猜想和实践，真正把数学学习的主动权交给了学生。
三、巧设开放性习题，以动促“活”
在数学课堂中设计开放性练习，能为学生提供一个充分表现个性、激励创新的空间。关于形体问题的开放性练习，往往综合性强，极富挑战性，这就需借助操作，帮助学生在具体思维与抽象思维之间搭建桥梁，让学生自己动手、动脑、动口，自己去发现问题和解决问题。例如，教学苏教版六年级上册《表面积变化》后，教师设计了两道练习题：（1）用6个1立方厘米的小正方体，摆成一个大的长方体，有几种摆法？哪个长方体的表面积大？大多少？（2）有10盒火柴，长、宽、高分别是5cm、3cm、1cm，把10盒火柴包装成一包有哪些不同的方法？先在小组里拼一拼，看看有哪些不同的包装方法？算一算、比一比这几种摆法中，哪种最节省包装纸？第（1）题的练习，把6个小正方体拼成长方体，学生通过想象、画图观察与计算，能轻松解决。第（2）题不仅是数学知识在生活中的实际应用，而且难度加深，10个长方体火柴盒的拼摆，数量多，依靠观察想象，学生很难得到准确而又全面的答案。这时，教师组织学生在小组中用火柴盒拼一拼、算一算，通过动手操作、展开讨论，疏通了学生思维上的障碍，这样的课堂气氛热烈，学生的思维始终处于活跃的状态，课堂真正成了学生数学学习的乐园。
[关键词]顺应思维；儿童本位；真正发生；计数单位
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）11-0025-01
学生是课堂教学的对象，更是教与学的主体。因此，笔者在课堂教学中积极倡导和践行“顺应学生的思维意识展开教学”。顺应学生的思维是指依照学生的原始思维顺势而下，让学生在不经意间从原始性思维向全新思维迈进。
【案例呈现】
对于“整万及整亿数的改写”，苏教版教材是让学生在对比状态下，通过读一读、比一比的实践活动，掌握从以“个”为单位转向以“万”或以“亿”为单位的计数方法，感受如此改写的合理性和简洁性，从而渗透求简思想。但学生受到自身认知能力的限制，往往不能依照教材的思路展开学习。此时，作为教师是该生拉硬扯，强行将学生拉到教材思维中来，还是从学生的具体学情出发，及时调整教学策略，让学生在讨论和反思的基础上构建数学知识呢？
如教学“400000、360000、540000”的大小比较时，很多学生已经有了数字大小比较的经验，知道从高位到低位逐次比较的方法。其中一位学生指出：这三个数字个级上都是4个0，可以将个级上的4个0全部划去，只比较万级上的40、36、54就可以了。多么富有创意的想法！虽然没有对计数单位进行转化，与教材设计意图有所偏差，但求简的思想已经悄然萌芽。于是笔者顺着这位学生的思维进行教学。
师：大家觉得这种比较方法对吗？（不对）但最终结果对不对？（对）那与我们的方法相比，是不是更简单了？（是）那就说明这种方法有着值得学习的合理之处，但这种方法有怎样的问题呢？
生1：题目要求我们对比的是400000、360000、540000，他最终对比的却是40、36、54。原题的意思改变了，数字已经发生了变化，所以最终还是错的。
生2：虽然他思考的过程是正确的，但表示数字的方法上出了问题。比如360000并不等于36呀！
师：大家说得非常好！以这位同学的想法为基础，大家想办法帮助他改正e误的表述方法，或许我们会有意想不到的收获呢！
（每个学生都在思考，小组讨论积极热烈）
生3：我们小组讨论的结果是“在40、36、54这些数字后面都加上一个‘万’字”，因为这位同学所去掉的4个0，其实就是 “万”。
生4：我们小组也是这么认为的。这些数字所代表的就是40个万、36个万、54个万。
生5：最终的结果应该表示为“54万>40万>36万”。
师：54万与540000有哪些异同点呢？
生6：我觉得它们最终的数值大小是相同的。
生7：不同的地方在于它们的单位不同，比如54万的单位是万，而540000的单位是“个”。
师：如果让你来读、写这些数字，或者像刚才一样来比较这些数字的大小，你会选择怎样的计数方法？
生8：肯定是选择以“万”为单位的计数方法，因为这样表达和比较起来方便很多。
（随后进行“比较整亿数的大小”时，学生都纷纷运用以“亿”为单位的方式进行对比，实现了学习方法的迁移）
【课后反思】
顺应学生的思维方式进行教学，就需要教师从教学目标出发，捕捉课堂教学中学生有失偏颇的，甚至是错误的认知，挖掘包含在其中的合理性因素，顺势引领学生深入思考，不断完善、修正学生思维认知中的不足之处，或帮助学生明确修改的方向，从而在构建正确的数学知识体系的过程中，彰显学生的主体地位。
在本案例中，学生选用改变原来数字大小的方式进行比较的方法确实存在着不妥的地方，但这是学生凭借自己的认知能力努力追求创新和至简方法的过程，因此教师不能否定学生思维方式中包含的积极因素。面对这种情况教师不能简单粗暴地当头棒喝，而应在辨析学生错误的基础上，顺应学生的认知思维，带领学生不断向知识的内核迈进，引领学生在自主、合作、探究的思维历程中建构并体验大数改写的必要性，凸显学生是学习主体的理念。
总而言之，数学教学要充分落实以儿童为本位的思想，真正尊重学生的认知起点、接受水平、思维特质。只有做到这一点，学生的数学学习才能真正发生。
本期数学教学仍以新课标精神为指导，注重有创新、开放精神的主动学习，同时，努力培养学生严谨、塌实的优良习惯，从而达到二年级应掌握的知识、技能以及情感、态度价值观的要求。
学生情况分析：
本年级学生48人，家长有一定辅导能力的约占50%，其余学生全靠课堂教学进行数学学习。上期考试结果，及格率100%，优生率68%。总体来看，学生在100以内的加减法，表内乘法的计算方面基本达到教学要求，但少数学生的计算速度和正确率仍需提高。在数学知识的应用方面，学生有解决实际问题的兴趣，但一部分学生欠仔细、灵活。在数学的学习习惯上，听课习惯、作业习惯都有一定进步，但学生在学会审题上还需要培养和训练。
本期教学内容：
以人教版（新课标）小学数学二年级下册为教材。
教学要求：
1．认识计数单位“百”和“千”，知道相邻两个计数单位之间的十进关系；掌握万以内的数位顺序，会读、写万以内的数；知道万以内数的组成，会比较万以内数的大小，能用符号和词语描述万以内数的大小；理解并认识万以内的近似数。
2．会口算百以内的两位数加、减两位数，会口算整百、整千数加、减法，会进行几百几十加、减几百几十的计算，并能结合实际进行估计。
3．知道除法的含义，除法算式中各部分的名称，乘法和除法的关系；能够熟练地用乘法口诀求商。
4．初步理解数学问题的含义，经历从生活中发现并提出问题、解决问题的过程，会用所学的数学知识解决简单的实际问题，体验数学与日常生活的密切联系。知道小括号的作用，会在解决问题中使用小括号。
5．会辨认锐角、钝角；初步感知平移、旋转现象，会在方格纸上将一个简单图形沿水平方向或竖直方向平移。
6．认识质量单位克和千克，初步建立1克和1千克的质量观念，知道l千克＝1000克。
7．了解统计的意义，体验数据的收集、整理、描述和分析的过程；会用简单的方法收集和整理数据，认识条形统计图(1格表示5个单位)和简单的复式统计表；能根据统计图表中的数据提出并回答简单的问题，并能进行简单的分析。
8．会探索给定图形或数的排列中的简单规律；有发现和欣赏数学美的意识，有运用数学去创造美的意识；初步形成观察、分析及推理的能力。
9．体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，学的信心。
10．养成认真作业、书写整洁的良好习惯。
11．通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
教学重点：
1、表内除法。
2、万以内数的认识。
3、用数学解决问题。
教学难点：
培养生学会独立审题的能力；学会解决各种应用题。
培优补差措施：
1、认真备好课，夯实基础知识，确保每一个学生扎实掌握新知，巩固旧知。对学习有困难的学生，要多给关注，多给发言机会，激发其参与热情。
2、在课堂教学中确保双基的基础上，注意适时发展优生的思维，培养优生的能力，从而也带动中差生的发展。培优主要体现在：
（1）、在每堂课的新知教学后，安排适量发展练习题。
（2）、在课堂教学的各个环节中，每个知识点上，适时引导，相机点拨，给学生“摘桃”的机会。
（3）、利用每周的思维训练时间，激发学生的数学学习热情，组织愉快的思维训练。
减负提质措施：
1、钻研好《新课标》，精心备好课，确保课堂教学质量。
2、教学任务在课内完成，课外尽量不留作业，或只留兴趣性、发展性作业。
3、对学生的要求要合理，充分肯定每一个学生的优点，不用一个刻度要求每一个学生，作业布置分层进行，避免部分学生过重的作业负担和心理负担。
教学进度安排：
周次内容课时
1解决问题5
2—5表内除法（一）16
6—7图形与变换6
7—8表内除法（二）6
8—9万以内数的认识7
11克和千克3
11—14万以内的加法和减法（一）13
15统计4
16找规律4