单摆周期公式范文

单摆周期公式范文第1篇

1重力场

例1一单摆摆长为L，置于一半径为R，质量为M的星球上做简谐运动，求单摆周期。

解析由题可知此单摆的等效重力加速度即为该星球的重力加速度，由万有引力定律可求出g'=GM／R2，代入周期公式即可求出T。

例2如图1小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面内，小球在斜面内作简谐运动，求其运动周期。

解析首先确定平衡位置，在重力场中提供其回复力的只有重力的分力G1，所以g'=G1／m=mgsinα／m=gsinαa，代入周期公式可求出周期。

2电场与重力的复合场

例3如图3一单摆置于电场中，摆球带正电+q，质量为m，直径为d，悬线长L，电场强度为E，单摆作简谐运动。求此单摆的周期。

例4如图4，一细绳悬挂一带正电的小球，现在悬点固定一带正电的小球，两球带电量均为q，小球质量为m，直径为d，悬线长L，现让该单摆作简谐运动，求其周期。

解析确定摆球的平衡位置A，受力分析如图，本题中电场力并不提供其回复力，提供其回复力的只有重力，所以

3磁场、电场与重力的复合场

由于带电物体在磁场中运动，其所受的磁场力始终与其运动方向垂直，所以磁场对单摆始终不提供回复力，那么单摆在磁场、电场与重力的复合场中的情况与单摆在电场与重力的复合场中的情况是一样的，g'的求法同上。

4非惯性系

前面所讨论的情况都是在惯性系中，如果单摆放在非惯性系中g'又如何来求呢?在非惯性系中求的方法与在惯性系中相同，只是在受力分析中要加上惯性力F惯。下面通过例题说明：

例5如图5一小车在水平面上以加速度a作匀加速直线运动，车内一摆长为L的单摆在与车厢前进方向同一平面内作简谐运动，求其周期。

如果将上题中的小车置于一倾角为θ的斜面上 ，当小车以加速度a沿斜面向下运动，则单摆作简谐运动时，其回复力仍由G与F惯提供（如图6）。

此时单摆的平衡位置并不与车厢底垂直，而是与竖直位置夹一角度α，由平衡方程可得

注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

单摆周期公式范文第2篇

从推导的单摆公式中可以看出：单摆的周期与振幅和摆球质量无关。因为从力学的角度分析，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的一个分力，偏角越大，回复力越大，加速度(gsinα)也就越大，在相等时间力走过的弧长也越大，所以周期与振幅、质量无关，只与摆长L和重力加速度g有关。在有些振动系统中L不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题。

物理上有些问题与单摆类似，经过一些等效思想的处理可以套用单摆的周期公式，这类问题统称为“等效单摆”。等效单摆在生活中比较常见，本文主要讲述等效单摆在一些问题中的应用。

一、等效单摆

等效单摆分等效摆长单摆L′、等效重力加速度单摆g′，以及摆长、重力加速度双重等效单摆三种情况。等效单摆的周期公式为T=2π。

1.等效摆长单摆。

等效摆长L′不再是悬点到摆球球心的距离，而是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，摆动圆弧的圆心即为等效单摆的悬点。

例1：双线摆由两根长为L的细线下端栓一质量为m的小球构成，如图1所示，两线夹角为2α，今使摆球在垂直纸面的平面内作小幅度摆动，求其周期。

解析：当双线摆在垂直纸面的平面内作小幅度摆动时可以等效为以AB的中心为悬点， OO′长为摆长的单摆，其等效摆长为L′＝Lcosα，故此摆周期为：T=2π。

2.等效重力加速度单摆g′。

该类单摆的等效重力加速度g′≠g，但摆长仍为悬点到球心的距离。等效重力加速度g′与单摆所在的空间位置、单摆系统的运动状态和单摆所处的物理环境有关。

（1）公式中的g′由单摆所在的位置离星球海平面的高度决定，由万有引力公式推导出g′＝G知，g′随地球表面不同位置、不同高度而变化，且在不同的星球上也不相同，在同星球上不同纬度高度也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8m/s，9.8m/s仅仅指在地球的赤道上的重力加速度。

（2）g′由单摆系统的运动状态决定，“等效重力加速度”等于摆球处于平衡位置不振动时，等效摆长“绳子”上拉力对摆球产生的加速度。具体求法：等效重力加速度g′等于摆球相对系统静止在平衡位置时摆线的张力（视重）T与摆球质量m的比值，即g′＝。

例2：如图2所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上运加速运动，求单摆的摆动周期。

解析：单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则单摆受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的实重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝F/m＝g＋a，因而单摆的周期为T=2π=2π。

拓展：如图3（a）所示，长为L的轻绳一端系一质量为m的小球，挂于小车支架上的O点，当小车以加速度a向右加速运动时，将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。

图3（a) 图3（b)

解析：当小球相对小车静止时，摆球的平衡位置偏离竖直θ角，如图3（b）中A点为摆球的平衡位置，摆球相对车静止在平衡位置时，绳子拉力为F，则由牛顿第二定律：

Fcosθ＝mg ①

Fsinθ＝ma ②

解得F＝m。

悬线拉力产生的加速度，即等效重力加速度g′＝，

所以：T=2π。

（3）g′还由单摆所处的物理环境决定，如带点小球做成单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有一个等效重力加速度的问题。

例3：如图4所示，摆长为L的单摆，小球质量为m，带正电荷，电荷量为 q，处在水平向右的场强为E的匀强电场中，摆球静止时所在平衡位置偏离竖直θ角（tanθ＝），现将小球拉离平衡位置α（＜10°）由静止释放，求其周期。

解析：由平衡条件，当小球静止在平衡位置时，摆线的张力F=mg′=，等效重力加速度g′＝/m。所以：T=。

3.摆长、加速度双等效单摆。

例4：如图5是记录地震装置的水平摆示意图，摆球m固定在边长L、质量可忽略的等边三角形顶点A处，它的对边BC与竖直线成不大的角θ，摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动的周期是多少？

解析：当m做微小摆动时，实际上围绕BC中点O运动，所以等效摆长应是L′＝Lsin60°＝L。

当摆球处于平衡位置且不摆动时，沿OA方向的等效拉力F＝mgsinθ＝mg′，即g′＝gsinθ。故摆球的振动周期T=2π。

二、单摆模型在其它问题中的应用

在处理物理问题时，最好将生活的实例转化为我们熟悉的物理模型，通过构建物理模型，应用熟悉的模型所遵循的规律解答问题是一种最常用的方法，而单摆模型常可以用于解决其它力学问题。

例5：如图6（a）所示，A、B为固定在轻杆中点和一个端点的两个小球，杆可绕O点无摩擦地转动，将轻杆从图中水平位置由静止释放，在轻杆下落到竖直位置的过程中（ ）。

A.两球各自的机械能均守恒

B.杆、球组成的系统机械能守恒

C.A球机械能的增加等于B球机械能的减少

D.A球机械能的减少等于B球机械能的增加

图6（a） 图6（b）

解析：构建单摆物理模型，令OA和OB各构成一个单摆如图6（b）所示，则A球的周期比B球的周期小，A球先摆到竖直位置，由此可推知，在本题中A球通过杆对B球做正功，A球的机械能减少，B球的机械能增加，杆、球系统的机械能守恒。故选项B、D正确。

单摆周期公式范文第3篇

一、明确单摆的概念

1、定义：在一根不可伸长的轻绳下，系一个可视为质点的小球，悬挂起来构成。

2、单摆做简谐运动的条件：在摆角小于10 。时，近似为简谐运动。

3、单摆振动的回复力：由重力沿切线方向的分力G1提供。如图所示，F=G1=mgsinθ≈mg （X为位移，L为摆长）， 可见，在摆角小于10。时，近似为简谐运动。

4、单摆的周期公式：

二、对单摆的深入理解

由单摆的公式可以看出，单摆的周期与振幅和摆球的质量无关。换一个角度看，单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大，回复力越大，切向加速度（gsinθ）越大，在相等的时间走过的弧长也越大，所以周期与振幅和摆球的质量无关（也叫固有周期），只要摆长和重力加速度定了周期也就定了，可以说回复力影响周期。

三、单摆的公式中的摆长是摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定是摆线的长

如图中各摆球可视为质点，各段绳长均为L，图（a）、（b）中摆球做垂直纸面的小角度摆动，图（c）中摆球在纸面内做小角度摆动01为垂直纸面的钉子，而且A01=L/3，求各摆的周期。

图（c）中，摆线摆到竖直位置之前，摆动圆弧的圆心是0， 摆线摆到竖直位置之后，摆动圆弧的圆心是01，摆动是半个周期摆长是L，另半个周期是（L-L/3）=2L/3，则

例1、如图所示小球C有细绳AC和BC共同悬挂于重力场中，已知AC=L，BC=2L，∠ACO=∠BCO=30。，∠OAC=90。，试求质量为m的C质点在垂直纸面方向上摆动的周期。

解析： 双结悬挂点A、B的连线与重力作用线的交点0是摆动圆弧的中心

四、对单摆周期公式中 的理解

⑴悬点固定不动的单摆其回复力仅由重力沿切线的分力提供，g为当地的重力加速度；在地球的不同位置和高度g的取值不同；不同星球上g值也不同。

例2、两个等长的单摆，第一个放在地面上，另一个放在高空，当第一个摆动n次的同时，第二个摆振动n-1次。如果地球半径为R那么，第二个摆离地面的高度为多大？

解析：设第二个摆离地面的高度为h，此处重力加速度g地面的重力加速度g，根据万有引力定律，则

⑵ g与单摆系统的运动状态有关：如：单摆在加速运动的升降机中摆动，此时摆球沿圆弧切线方向的回复力变化，使摆动的周期发生变化。单摆在平衡位置静止不动时有：F=mg，而这时g等于F/m，相类似单摆等效加速度g大小等效为摆球在平衡位置不动时，线的拉力与摆球的质量之比。

例3、如图所示，将摆长为L的单摆栓在升降机中，若升降机以加速度a向下减速下降，求单摆的摆动周期。

解析 单摆的在平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止时，则单摆受重力mg和绳子拉力F，根据牛顿第二定律：F—mg=ma 即F=m（a+g）， 则单摆的等效重力加速度 =F/m=g+a使摆动的周期发生变化

因而单摆的摆动周期

由此可见单摆的摆动周期变小了。

（3）要明确影响单摆周期变化是有力作用且改变了回复力，以至周期发生了变化，请看下面例题：

例4、有一秒摆，摆球带负电，在垂直纸面向里的匀强磁场中作简谐运动，则振动的周期下列说法正确的是：

A、 振动的周期T=2s

B、 振动的周期T>2s

C、 振动的周期T

D、 无法确定振动的周期的大小

解析 秒摆的周期是两秒，现加上磁场后，摆球在运动中又受到洛仑兹力作用，但洛仑兹力始终沿绳子方向，与运动方向垂直，不改变单摆的回复力，因此对单摆作简谐运动没有影响，所以振动的周期不变选项为A。

例5、将上题图中秒摆悬点0处放有一带正电的点电荷，使摆球带负电，且作简谐振动，如右图，则振动的周期下列说法正确的是：

A、振动的周期T=2s

B、振动的周期T>2s

C、振动的周期T

D、无法确定振动的周期的大小

解析 秒摆的周期是两秒，现加悬点0处放有一带正电的点电荷，使摆球带负电，摆球在运动中受到库仑引力作用，但库仑引力始终沿绳子指向圆心0，与运动方向垂直，不改变，单摆的回复力，因此对单摆作简谐运动没有影响，所以振动的周期不变选项仍为A。

单摆周期公式范文第4篇

一、教材及教学分析

学习单摆之前，学生已经学习了简谐运动及其图像，了解到简谐运动的图像是一条正（余）弦曲线。单摆是作为简谐运动的实例呈现的，知识点包括单摆的运动规律、受力情况和图像特点，教学重点是单摆振动的特点和单摆周期公式的探究。

（一）关于单摆振动的特点――简谐运动

教材呈现：在单摆的振动特点的学习中，教材先利用墨水摆的实验让学生定性认识单摆的振动图像，初步认识单摆的运动是一种简谐运动；然后对单摆进行受力分析，证明单摆的回复力F回=-kx，进而从理论角度证明了单摆确实是简谐运动。

教学分析：在墨水摆的实验中，由于墨水不断滴下，单摆的重心在下降，摆长变长，周期会改变，此外，人拉白纸的过程也不能保证匀速，因而对应的图像是否正（余）弦曲线按理说应该有不确定性。

（二）定性和定量探究单摆的周期公式

教材呈现：在单摆周期公式的探究中，教材采用了定性和定量相结合的方案。先是通过实验演示和实验观察的方式，定性探究单摆的周期与振幅、质量、摆长等物理量之间的关系，得出单摆的周期只与摆长有关的结论；然后定量探究单摆的周期与摆长的关系，在周期的测量上采用累积法，以减小周期的测量误差。

教学分析：受教室实验条件限制，在演示实验中，单摆的摆长在一米左右是比较容易操作的。但是，通过单摆周期公式计算可以发现，0.75米到1.5米之间的摆长，其摆动周期相差不大，相差在0.5s左右，学生凭肉眼观察很难发现单摆的周期与摆长有多大关联。在定量测量中，受各方面影响，学生用常规方法测量时间也会有一定误差。

二、利用数码探改进教学的尝试

针对上述分析，为尽量减少实验误差，我决定利用数码设备和相应的计算机软件，对单摆的振动图像的得出过程及对周期公式的定性、定量探究过程进行重新设计。

我们需要用到的数码设备有：摄像头，Mr.captor3.0频闪截图软件，ACDSee6.0图片处理软件。

（一）单摆振动图像的获得

1.设备安装。将一个摄像头和电脑连接，对准单摆的摆球进行拍摄，以便在电脑屏幕上显示摆球的运动；利用频闪截屏软件Mr.captor3.0，可以设定为每隔0.05秒到0.1秒截取屏幕上划定区域的图像，这样就实现了时间和物置的同步测量，如图1。

2.图片截获。实验开始，我选用了0.1s来截取图片。Mr.Captor3.0会在截图的存放文件夹中自动命名一系列图片文件，将这些图片按照时间顺序排序，如图2。其中的每一幅图片都详细地记录了摆球在某一时刻的准确位置。

3.图片浏览。用图片浏览器既可以单张逐个浏览图片，也可以用自动播放方式整体观察单摆的运动动态。

4.生成单摆的位移-时间图像。用ACDSee6.0的图册功能即可生成一系列图像的拼图，这就是单摆的位移-时间图像，如图3。

学生既可以单张查看图片，也可以放慢过程来观察单摆的运动；利用拼图来得到单摆的振动图像，能有效地帮助学生建立感性认识。相对墨水摆实验来说，数码探的实验方法显然更加直观明了。

（二）定性定量探究单摆的周期公式

1.图片获取与观察。采用控制变量法，分别只改变振幅、质量、摆长等物理量，重复上述实验操作，可得出一系列新的位移-时间图像，供我们研究单摆的周期与振幅、质量、摆长等物理量之间的关系。图4为改变同一小球的振幅后得出的两张不同的位移-时间图像，图5分别是大小相同的铁球和塑料球的位移-时间图像，图6是不同摆长的同一小球的位移-时间图像。

同一小球，振幅不同。振幅A：T=1.67s，振幅B：T=1.68s

（注：由于选定的频闪区域不同，大小有视差）

大小相同的铁球和塑料球。铁球T=1.68s，塑料球T=1.68s

同一小球，摆长不同。摆长0.85m：T=1.69s；摆长1m：T=1.82s

观察以上图像变化可以很明显地发现，单摆的周期只与摆长有关，而与振幅、质量无关。清晰准确的演示实验，可以让学生获得充分的感性认识，这就为学生进入下一个教学环节，对单摆周期公式与摆长的定量探究打下了心悦诚服的“信任基础”。

2.定量探究单摆的周期与摆长的关系。采用以上方法获取不同摆长下单摆的频闪图片，用Excel表格处理，得到数据，进而得出结论：T2=3.3984L，T2∝L。如图7。

理论上：T 2=[4π2g]L[≈]3.9478L；在实验误差许可的范围内，有T 2=[4π2g]L成立。上面的探究，不仅让学生探究出周期的平方与摆长成正比，而且利用获得的实验数据与理论上的单摆周期公式做比较，从实验的角度验证了单摆的周期公式，进而加深了学生对单摆周期公式的认识。

单摆周期公式范文第5篇

关键词 重力加速度 单摆 精确度 修正

中图分类号：Q311.1 文献标识码：A

Pendulum Impact Factor Analysis and Revision

Formula of Acceleration of Gravity

WANG Zhixi， YANG Xiaorong， Dawa， JIA Yongzhang

（Department of Physics， Academy of Natural Sciences， Tibet University， Lhasa， Tibet 850000）

Abstract Analysis Pendulum impacting factor of acceleration of gravity ， the revised formula for measuring acceleration of gravity with simple pendulum experiment.

Key words acceleration of gravity； simple pendulum； impacting factor； revision

0 引言

单摆测重力加速度是物理学中较为简单和传统的一种方法，但其实验的准确性受到了实验和计算公式的影响，本文对影响单摆法测重力加速度的精确度进行分析并对单摆法测重力加速度的计算公式加以修正。

1 单摆测重力加速度实验的影响因子分析

单摆法测量重力加速度的实验原理①： = 4

将看做与的函数，由此可得到 （ ，） = 4 ，对该函数求全微分

= + = = （）

由此可知将看作常数则函数 （ ，）只与、有关，故误差来源于摆长和时间周期，从上式可知周期对函数 （ ，）的影响为主要因素。

1.1 实验过程中仪器与操作的影响

设为摆线长，为摆球的半径，为小球的质量，为摆线的质量，考虑操作时摆球作圆锥运动和复摆效应则单摆运动方程为：

（ + ）

= [ + + ]

解得近似解

（

= 2

= （ + ）[1 + （1 + + ）]

由上式可知摆线的质量和长度、摆球的质量和半径、摆角、实验的操作都影响着周期的测量，进而影响对重力加速度的测量。

1.2 地球的高度及纬度对单摆测重力加速的影响

高度影响设摆球离地表面的高度为，地球的半径为，地球的质量为，摆球的质量为，依据万有引力可知：②

摆球在地表的某一高度

= ，

由此 = ，

周期 = 2，

则摆球离地表高度时单摆的周期与的比值为

= = 1 + ，

由此可知随着摆球离地面的高度的增大而增大。

纬度影响设地球某一点纬度为，测量重力加速的经验公式为

= 9.78030（1 + 0.005302 + 0.0000072）・。

当 = 0时＃ 9.7803・，

周期 = 2，

则单摆在地球某一点纬度为的周期与的比值，

= = 9.78030，

由此可知重力加速度在[0，]的区间内随着纬度的增大而减小。

2 测量时对周期产生影响的项进行修正③

摆线长，忽略圆锥摆的影响，摆线的质量，摆球的半径，摆球的质量。

2.1 复摆对周期的影响修正

依据转动定理可得

（ + ） = [ + + ]

当很小时，≈，可解得该方程的近似解为

由此可得考虑到复摆对重力加速度修正为

2.2 摆角对周期的影响修正

设为任意时刻的摆角，由单摆的运动方程可知

=

解得方程的周期（摆角不是很小）

= {1 + + + …+}

由此可得考虑到摆角对重力加速度修正为

= {1 + + + …+}

2.3 空气浮力对周期的影响修正

设空气的阻力为，空气的密度为，摆球的密度为，则（ + ） （ + ）= [ + + ]

解得该方程的近似解为

（浮力公式： = ）

由此可得考虑到空气浮力对重力加速度修正为

2.4 阻尼运动周期的影响修正

设球所受空气阻力为，空气的黏度，物体运动的速度，阻尼因素，在雷诺数小于1的情况下，由斯托克斯公式可知：④

= （ = ）

其运动学方程可写为（≤5＃

+ = （ + ）

令 = ， = ，≈，

+ 2 + = 0

解得该方程的近似解

由此可得考虑到阻尼运动对重力加速度修正为

= （ + ）（） = （） +

2.5 总体修正

把复摆、摆角、浮力及阻尼运动对重力加速度修正综合到一起考虑到 ， ，≤5X球纬度及高度Y作时锥形摆影响T去高次项可得重劣速度的修战危

= {（）[2 + （ + ） + + ] + }（2 + + ）

3 总结

通过分析地球的纬度及高度、复摆、摆角、空气浮力、阻尼运动和实验操作中对测重力加速度的影响，对重力加速度公式做了修正，使实验测得的数据在该修正公式下计算得更加精确。

注释

① 孙丙西.单摆测重力加速度的修正公式[J].内蒙古民族大学学报（自然科学版），2005.20（6）.

② 梁绍荣等.普通物理学・力学（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005：135-137.

③ 张存恕等.大学物理实验（第1版）[M].四川科学技术出版社，1986：249-252.

单摆周期公式范文第6篇

一般说来，公式中的g由以下几个方面决定：

（1）由单摆所在的空间位置决定。由公式T=2π(L/g)1/2可知，g随地球表面不同位置，不同高度而变化，在不同的星球上也不同。因此应求出单摆所在处的等效重力加速度值g′代入公式。

（2）由单系统的运动状态决定。如单摆处在向上加速发射的人造卫星内，或处于水平方向加速运动的车厢内。这些情况也必须求出单摆所处状态的等效重力加速度g′代入公式。

（3）由单摆所处的物理环境决定。比如带电小球做成的单摆放置在竖直方向或水平方向的匀强电场中，也必须把它的等效重力加速度g′代入公式。

以上这些情况都需要求解等效重力加速度。但面对如此繁杂的情况，很多同学在求解过程中感觉很难掌握，总是不得要领。那么我们有没有一种统一的方法来求解各种情况的等效重力加速度呢？本人根据多年的教学经验找出了一种行之有效的方法。即：让单摆停止摆动，停在平衡位置，求出摆线中拉力的大小（即等效重力的大小），再除以摆球质量，便是等效重力加速度g′的大小。

下面举例说明此方法的应用：

例1如图1所示，在水平地面上以加速度a向左做匀加速直线运动的车厢内有一单摆，摆长为L，求单摆的周期。（当地的重力加速度为g）

解析：此题须求出单摆的等效重力加速度g′代入单摆周期公式。根据上述方法，让单摆停在平衡位置，受力分析如图2所示。很容易求出绳子的拉力F=m(g1/2+a1/2)1/2 ,进而得出等效重力加速度g′=(g1/2+a1/2)1/2 ,代入单摆周期公式得T=2π[L/(g1/2+a1/2)1/2]1/2。

例2如下图所示，单摆甲放在空气中，周期为T甲；单摆乙放在以加速度a向下加速运动的电梯中，周期为T乙；单摆丙放在竖直向下的匀强电场中，周期为T丙 。那么 T甲、T乙、T丙的大小关系为。

单摆周期公式范文第7篇

大学物理实验（设计性实验）

实验报告

指导老师：王建明

姓 名：张国生

学 号：XX0233

学 院：信息与计算科学学院

班 级：05信计2班

重力加速度的测定

一、实验任务

精确测定银川地区的重力加速度

二、实验要求

测量结果的相对不确定度不超过5%

三、物理模型的建立及比较

初步确定有以下六种模型方案：

方法一、用打点计时器测量

所用仪器为：打点计时器、直尺、带钱夹的铁架台、纸带、夹子、重物、学生电源等.

利用自由落体原理使重物做自由落体运动.选择理想纸带，找出起始点0，数出时间为t的p点，用米尺测出op的距离为h，其中t=0.02秒×两点间隔数.由公式h=gt2/2得g=2h/t2，将所测代入即可求得g.

方法二、用滴水法测重力加速度

调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个（n取50—100）水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.

方法三、取半径为r的玻璃杯，内装适当的液体，固定在旋转台上.旋转台绕其对称轴以角速度ω匀速旋转，这时液体相对于玻璃杯的形状为旋转抛物面

重力加速度的计算公式推导如下：

取液面上任一液元a，它距转轴为x，质量为m，受重力mg、弹力n.由动力学知：

ncosα-mg=0 （1）

nsinα＝mω2x （2）

两式相比得tgα=ω2x/g，又 tgα=dy/dx，dy=ω2xdx/g，

y/x=ω2x/2g. g=ω2x2/2y.

.将某点对于对称轴和垂直于对称轴最低点的直角坐标系的坐标x、y测出，将转台转速ω代入即可求得g.

方法四、光电控制计时法

调节水龙头阀门，使水滴按相等时间滴下，用秒表测出n个（n取50—100）水滴所用时间t，则每两水滴相隔时间为t′=t/n，用米尺测出水滴下落距离h，由公式h=gt′2/2可得g=2hn2/t2.

方法五、用圆锥摆测量

所用仪器为：米尺、秒表、单摆.

使单摆的摆锤在水平面内作匀速圆周运动，用直尺测量出h（见图1），用秒表测出摆锥n转所用的时间t，则摆锥角速度ω=2πn/t

摆锥作匀速圆周运动的向心力f=mgtgθ，而tgθ=r/h所以mgtgθ=mω2r由以上几式得：

g=4π2n2h/t2.

将所测的n、t、h代入即可求得g值.

方法六、单摆法测量重力加速度

在摆角很小时，摆动周期为：

则

通过对以上六种方法的比较，本想尝试利用光电控制计时法来测量，但因为实验室器材不全，故该方法无法进行；对其他几种方法反复比较，用单摆法测量重力加速度原理、方法都比较简单且最熟悉，仪器在实验室也很齐全，故利用该方法来测最为顺利，从而可以得到更为精确的值。

四、采用模型六利用单摆法测量重力加速度

摘要：

重力加速度是物理学中一个重要参量。地球上各个地区重力加速度的数值，随该地区的地理纬度和相对海平面的高度而稍有差异。一般说，在赤道附近重力加速度值最小，越靠近南北两极，重力加速度的值越大，最大值与最小值之差约为1/300。研究重力加速度的分布情况，在地球物理学中具有重要意义。利用专门仪器，仔细测绘各地区重力加速度的分布情况，还可以对地下资源进行探测。

伽利略在比萨大教堂内观察一个圣灯的缓慢摆动，用他的脉搏跳动作为计时器计算圣灯摆动的时间，他发现连续摆动的圣灯，其每次摆动的时间间隔是相等的，与圣灯摆动的幅度无关，并进一步用实验证实了观察的结果，为单摆作为计时装置奠定了基础。这就是单摆的等时性原理。

应用单摆来测量重力加速度简单方便，因为单摆的振动周期是决定于振动系统本身的性质，即决定于重力加速度g和摆长l，只需要量出摆长，并测定摆动的周期，就可以算出g值。

实验器材：

单摆装置（自由落体测定仪），钢卷尺，游标卡尺、电脑通用计数器、光电门、单摆线

实验原理：

单摆是由一根不能伸长的轻质细线和悬在此线下端体积很小的重球所构成。在摆长远大于球的直径，摆锥质量远大于线的质量的条件下，将悬挂的小球自平衡位置拉至一边（很小距离，摆角小于5°），然后释放，摆锥即在平衡位置左右作周期性的往返摆动，如图2-1所示。

f =p sinθ

f

θ

t=p cosθ

p = mg

l

图2-1 单摆原理图

摆锥所受的力f是重力和绳子张力的合力，f指向平衡位置。当摆角很小时（θ<5°），圆弧可近似地看成直线，f也可近似地看作沿着这一直线。设摆长为l，小球位移为x，质量为m，则

sinθ=

f=psinθ=-mg =-m x （2-1）

由f=ma，可知a=- x

式中负号表示f与位移x方向相反。

单摆在摆角很小时的运动，可近似为简谐振动，比较谐振动公式：a= =-ω2x

可得ω=

于是得单摆运动周期为：

t=2π/ω=2π （2-2）

t2= l （2-3）

或 g=4π2 （2-4）

利用单摆实验测重力加速度时，一般采用某一个固定摆长l，在多次精密地测量出单摆的周期t后，代入（2-4）式，即可求得当地的重力加速度g。

由式（2-3）可知，t2和l之间具有线性关系， 为其斜率，如对于各种不同的摆长测出各自对应的周期，则可利用t2—l图线的斜率求出重力加速度g。

试验条件及误差分析：

上述单摆测量g的方法依据的公式是(2-2)式,这个公式的成立是有条件的，否则将使测量产生如下系统误差:

1. 单摆的摆动周期与摆角的关系，可通过测量θ<5°时两次不同摆角θ1、θ2的周期值进行比较。在本实验的测量精度范围内，验证出单摆的t与θ无关。

实际上，单摆的周期t随摆角θ增加而增加。根据振动理论，周期不仅与摆长l有关，而且与摆动的角振幅有关，其公式为：

t=t0[1+( )2sin2 +( )2sin2 +……]

式中t0为θ接近于0o时的周期，即t0=2π

2．悬线质量m0应远小于摆锥的质量m，摆锥的半径r应远小于摆长l，实际上任何一个单摆都不是理想的，由理论可以证明，此时考虑上述因素的影响，其摆动周期为：

3．如果考虑空气的浮力，则周期应为：

式中t0是同一单摆在真空中的摆动周期，ρ空气是空气的密度，ρ摆锥 是摆锥的密度，由上式可知单摆周期并非与摆锥材料无关，当摆锥密度很小时影响较大。

4．忽略了空气的粘滞阻力及其他因素引起的摩擦力。实际上单摆摆动时，由于存在这些摩擦阻力，使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动，使周期增大。

单摆周期公式范文第8篇

一、原理

单摆,亦称“数学摆”。在细线的一端拴一小球,另一端固定在悬点上,如果线的伸缩和质量可以忽略,线的长度比球的直径长得多,这样就组成了一个单摆。用单摆法测定重力加速度的值g,其实通过测量单摆的摆长L和周期T就可间接的求出g。如果空气阻力不计,当摆角小于5度,单摆就做简谐振动,此时有公式

因为摆角很小,我们一般取零级近似即取 ,所以,我们只需在所要求条件下测出T与L的大小,便可求出 。

二、影响测量精确度的因素分析

其实单摆是一种理想化模型,一般情况下所做的单摆并不标准,其测量的结果也不精确,影响起精确度的因素主要有以下几种。

1.摆线的伸缩性。如果摆线的伸缩不能忽略,而其他条件都适合。

设摆线是劲度为K,自由长度为L的弹性线,建立极坐标系,则运动微分方程为:

当θ很小,近似取sinθ=θ,cosθ=1,方程组变为:

再利用积分便可求得周期 ,因此只有在摆线的伸缩不计、其它条件都满足的情况下,才能得到周期公式。

2.摆角偏大。如果摆角较大,其它条件都满足时,设摆的最大摆角为θ0,则摆的机械能为:

由此而得:

上式为一无穷级数,只有当摆角较小,一般取小于5度,上式中第二项及以后的高次幂项完全可以忽略,此时周期成立;当摆角较大时,周期并不成立。因此在做用单摆测量g时,一定要注意摆角不能大于5度,否则会有很大误差。

3.空气的阻力。如果在做单摆实验时,其它条件都满足,只有空气阻力不能忽略,在这种情况下,由于单摆摆球速率较小,可以认为空气阻力与摆球速率成正比,另外又因摆球位移为:,所以空气阻力为: (r为阻力系数),所以单摆的运动微分方程为:

两边同除以m和l后有:

可见单摆所做的不是简谐运动。令:

于是方程变为:

因为单摆在空气中一般呈弱阻尼,即β小于0,解上一个方程得:其中 。

所以空气阻力不能忽略时,单摆做弱阻尼振动,而不是周期性运动。但是是周期性变化的,故振动周期

当空气阻力能忽略时,,所以此时单摆的周期为:,这就是单摆的周期公式。

三、单摆测量的创新方法介绍

在用单摆测量时,我们会遇到这种情况,比如,受到实验仪器的限制或单摆的质心不好确定,摆长不好测量,实验的目的不同等.由于这些因素的影响决定了测量单摆方法的多样性。

1.单摆摆长难以测定的情况。比如我们会遇到这种情况,从高楼顶下垂的单摆,它的摆长不好测定,关于摆长的问题我想介绍两种方法。

方法一

单摆的摆长不好直接测出,其实我可以用几何的方法求出摆长 ,其设计方法如下:

(1)在竖直平面固定好一木板(木板上贴有白纸一张);

(2)如右图所示,当单摆静止时,我们在白纸沿单摆摆线方向作一直线 OA;

(3)当单摆打开一小角度,在白纸上沿单摆方向作一射线OB (O点为一假想点),B 点为摆线的末端。

(4)过B点作一直线垂直于OA,垂足为A,同样在OB上取一点C,过C作一直线垂直于CD,垂足为D。在白纸上测出线段CD、BC、BA的长度。

(5)因为直线CD平行于BA,所以有:CD/BA=OC/OB,即CD/BA=(L-BC)/L。

经过上述的等式,即可求出单摆摆长L,接着只需让单摆作简谐振动,测出其周期即可求出g 的值了。

方法二

(1)让单摆作简谐振动测出其周期T1;(2)当缩短摆长,用刻度尺测出缩短的长度ΔL ,再测出缩短摆长后单摆作简谐振动运动的周期T2;

根据单摆周期公式:,将T1和L以及T2 和(L-ΔL)分别代入公式,建立方程组我们便可求出重力加速度的值g了,另外我们还求出了不好直接测量的L的大小。

2.单摆质心难以确定的情况做单摆实验时,悬挂物不一定是小球,可以是各种形状,有的可能是不规则的,遇到这种情况,我们可以用初中物理介绍的“悬挂法”测出质心。

单摆周期公式范文第9篇

关键词： 单摆法 重力加速度 DIS实验 传统实验

1.引言

在日常的中学物理教学中，引导学生建立物理概念和掌握物理规律是教师的主要工作，而以学生分组实验的形式进行教学是一种很好的手段，但是对于一些传统的学生分组实验，其实验的数据往往和理论值相差较大。这样，实验的说服力就较弱了，往往让授课教师的处境非常尴尬。在“单摆法测重力加速度”这个学生分组实验中，我们可以对传统的实验进行改进，利用DIS实验技术进行“单摆法测重力加速度”，这样可以取得更明显的实验效果。

2.DIS的含义

DIS（Digital Information System）实验技术，又称“数字化信息系统”，是由“传感器+数据采集器+实验软件包（教材专用软件、通用扩展软件）+计算机”构成的新型实验系统。该系统成功地克服了传统物理实验仪器的诸多弊端，有力地支持了信息技术与物理教学的全面整合■。

3.传统实验与DIS实验在单摆法测重力加速度中的比较

3.1传统单摆法测重力加速度实验的设计思想

如图1所示，首先将实验所用仪器：铁架台、摆线、秒表、小球放于水平桌面上，将长线把小球吊在支架上，构成一个单摆，即如图所示装置。然后用米尺测出摆线长L，用游标卡尺测出小球直径d，用秒表测出n个周期所用时间t，根据单摆周期公式：T=2π■=■，得：g=■，即求出的g为重力加速度。

3.2传统单摆法测重力加速度实验中存在的问题

传统探索单摆法测重力加速度的实验方案如图1所示，实验存在无法克服的系统误差，如传统实验中使用的是秒表，由学生观察记录单摆周期。这就要求操作者不仅细心，还反应快、动手快。如果在操作过程中注意力不集中，把摆动周期数数错；或是反应不够快，没有及时按下秒表；或是在操作过程中不规范，在释放小球时没有让小球和摆线在同一平面内摆动，而是在做圆锥摆，这些都会给实验带来较大误差。即使实验者反应灵敏，动作迅速，这样记下来的实验数据也还是有一定的误差的，这样得到的实验结果往往很难让学生信服，使学生对实验本身产生质疑。所以，大多数教师习惯用“在误差允许的范围之内，实验结果是成立的”这样的语句来解释，来打消学生产生的疑问。长此以往，不但挫伤了学生实验的积极性，而且对学生的人生观和价值观产生了一定的负面影响。

3.3 DIS实验对单摆法测重力加速度实验的改进

许多研究者针对上述传统单摆法测重力加速度实验中存在的一些问题，做了很多有意义的研究工作，并且围绕以下两个方面进行了一些改进。

（1）如何定量解决单摆周期的问题。

采用计算机、光电门传感器、数据采集器等DIS Lab实验器材，使小球摆动时在最低点通过光电门传感器，由数据采集器直接记录单摆周期。

（2）如何提高学生计算准确率及工作效率。

采用数字化信息系统，数据采集器采集到数据之后直接输入计算机，由计算机直接运算，要求学生熟悉计算机及数据采集器、传感器的连接与操作，在学习新的知识的同时减小计算误差，提高学习效率。

4.DIS用于单摆法测重力加速度实验的开发设计

4.1实验目的

（1）测定单摆周期，验证单摆振动的等时性。

（2）利用单摆测量当地的重力加速度。

（3）了解光电门传感器的使用，学习用数字化信息系统获得数据并处理数据的方法。

4.2实验原理

单摆的振动周期不随幅度的改变而改变，具有等时性。由单摆周期T=2π（L/g）■，得到重力加速度为g=4π■L/T■。

通过数字化信息系统平台，小球摆动到最低点的时候通过光电门传感器，测量记录单摆周期，通过计算机进行数据处理，求出加速度。

4.3实验仪器

铁架台、刻度尺、数字化信息系统平台、一个光电门传感器、数据采集器、数据线、计算机、摆线、小球。

4.4实验过程

（1）将光电门传感器固定在单摆的平衡位置处并将其接入数据采集器第一通道。

（2）在电脑窗口中点击“光电门设置”，将挡光片类型改为“单摆”。

（3）逐步调整传感器的位置和单摆摆长，使摆球通过传感器并能够顺利挡光。

（4）打开“计算表格”，用手使摆球摆动，点击电脑窗口中“自动记录”的“开始”，此时，电脑将会自动记录单摆的周期，大概记录20个周期后，点击“结束”，此时停止记录数据。

（5）测量摆线的长度L（本次实验为0.5325米）。

（6）点击计算表格中的“变量”选择变量名称L，并赋予默认值为0.5325，点击“公式”，调用“力学”公式库中的“单摆测重力加速度”公式，注意确认公式变量对应表格项，计算出重力加速度的值（图4）。

（7）比较实验中测得的重力加速度与当地实际重力加速度值的差别。（实验地：安徽芜湖，9.7944）

在此实验中要确保光电门的放置始终在单摆的平衡位置，才能进一步减少误差。用本实验的方法进行测量，没有“传统的系统误差”，偶然误差也相对较小，并且能测量多组数据，实验结果非常精确可信。实验简单精确，值得推广。

5.采用DIS实验技术进行实验的优势和不足

对比传统的实验方法，采用DIS实验技术进行单摆法测重力加速度这个实验存在以下的一些优势和不足。

5.1存在的优势

（1）在记录实验中周期时，采用计算机、光电门、数据采集器等DIS Lab实验器材，使小球摆动时到最低点时通过光电门传感器，这样直接由数据采集器直接记录单摆周期，实际实验的时候发现，通过这种方法来进行实验，实验的精确程度得到了很大的提高。

（2）对比传统的实验，采用DIS实验技术进行实验时学生处理数据用去的时间要相对少很多，这样教师就可以在同样的时间内加大实验探究要素的比重，这样就可以提高学生的学习效率，很好地发展学生的探究能力，即如图2所示。

5.2存在的不足

（1）采用DIS实验技术进行实验，所有数据的测量工作都是DIS Lab实验器材完成的，这就对学生的电脑等非物理技术要求相对较高，从而使得一部分学生在刚接触DIS Lab实验的时候，会有无从下手的感觉。

（2）采用DIS实验技术进行实验时，实验的结论直接通过电脑得出，学生省略了处理的步骤，这在一定程度上冲淡了学生对于实验公式的记忆、对实验原理的理解。

6.总结

DIS实验技术可以准确地描述各个物理量之间的关系，体现现代科学技术准确性高的特点，是以后中学物理教学的常见模式。但是，我们也不可以全盘否定传统的物理实验，应该尝试着将二者相互结合，使二者互相补充。比如在本实验中，在进行实验数据处理时，结合传统的实验中的特点，可以先让学生自己动手对个别实验数据进行演算，再采用DIS实验技术对全部的实验数据进行大量的处理。这样二者互补，既使学生加深了对实验原理的理解，也提高了实验数据处理的准确性。

参考文献：

[1]曾自力，申振.传统实验与DIS实验的有效整合[J].物理教学，2010，32（4）：23.

单摆周期公式范文第10篇

关键词：单摆；弹簧振子；振动装置；等效量；周期

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2016）11-0051-3

单摆、弹簧振子是简谐运动的两个常见的理想模型，其振动周期分别为T=2π 和T=2π 。但有时我们会遇到一些与单摆、弹簧振子模型相类似的振动装置，这些装置的振动周期虽然不能利用上述公式直接得出，但若将它们与单摆、弹簧振子模型作比较，却可以找到与两模型周期公式中某些量相对应的等效参量，如等效重力加速度、等效摆长、等效质量、等效劲度系数等；利用这些等效量同样可以求得这些装置的振动周期。

1 等效重力加速度

真空中单摆小球的受力最为简单：摆线拉力和重力。其受力特点是：重力是一个恒力。但有些摆动的物体受力虽然较多，但除了摆线的拉力外，其余各力的合力仍为一个恒力，则这一恒力就相当于一个等效的重力，可视为mg′，则g′就是一个等效的重力加速度，将其代入单摆的周期公式，就可以求得这类摆摆动的周期。

例1 如图1所示，一质量为m的摆球固定在边长为l0、质量不计的等边三角支架ABC的顶角A上。三角架可绕固定边BC自由转动，BC边与竖直方向的夹角为α，求小球m做小幅度振动的周期T。

解析 如图2所示，过A点作BC的垂线交BC于O点。摆球做微小振动时，其轨迹处在过A点、垂直于BC的平面内，且在以O为圆心、OA为半径的一段圆弧上。将重力mg沿OA和垂直于OA的方向分解，则二分力大小分别为mgsinα、mgcosα。与单摆模型相比较，可把该装置等效于一个悬点在O点、摆长为OA的单摆，其等效重力沿OA方向，大小为mg'=mgsinα。所以，等效重力加速度g'=gsinα，等效摆长l=l0sin60 °= l0，代入单摆周期公式得该小球的振动周期为：

T=2π =2π 。

2 等效摆长

单摆的摆长是悬点到摆球重心的距离。单摆的悬点只有一个，但对双线摆而言，却有两个悬点，如果我们想比照单摆的规律寻找双线摆的周期，则要在脑子里把双线摆的双线等效转化成单线，即把本来是两个悬点的问题转化成一个悬点的问题。那么，转化后的这 “一个悬点”在哪里呢？就需要我们依照单摆的结构特点去寻找。

例2 如图3所示，由质点小球和两根细绳组成的摆，两绳长分别为L1、L2，且相互垂直，不等高的悬点O1、O2的水平距离为L，求该摆在垂直于纸面方向做微小振动的周期。

解析 如图4所示，连接O1、O2，作 ，垂足为M点。在球摆动的过程中，O1O2P以O1O2为轴转动，P点的轨迹是以M点为圆心、MP为半径的一段圆弧。

实际上，在例1的解析中我们不仅借助了等效加速度，同时还借助了等效摆长的概念。如果沿用例1中“双等效”的思路，则图4中的M点就是我们所要寻找的“一个悬点”，即可以把该摆看作是以MP为摆长、gcosθ为等效重力加速度的一个单摆，设∠OPM=θ，则周期就可以通过公式T=2π 来计算了。

如果我们仅利用等效摆长的概念能否解决该题呢？答案是肯定的。

从P点作一竖直线交O1O2连线于O点，在原双线摆摆动的过程中，PO连线上只有O点未发生移动，根据单摆悬点的特点，O点就是等效单摆的悬点，即我们所要寻找的“一个悬点”。OP的长度就是等效摆的摆长，设 =l'，则周期为T=2π =2π ，这与上述用“双等效”的思路推出的结果完全一致。

3 等效质量

一些含有弹簧的振动装置，与弹簧相连的可能不是一个简单的振动小球，而是有几个物体构成的连接体。要想求得在此种情况下该装置的振动周期，就需要把这些连接体等效转化成一个振动小球来看待。如果连接体内的物体处在加速状态，我们还要借助牛顿运动定律来计算振动小球的等效质量。

例3 一简谐运动系统如图5所示，弹簧下端固定，滑轮质量不计，绳不可伸长，弹簧及两滑轮外的细绳都呈竖直状态，不计一切摩擦。已知m1、m2的质量及弹簧的劲度系数k，求m2上下振动的周期T。

解析 由于题中没有给出m1、m2的量值大小关系，故系统平衡时弹簧是伸长还是压缩状态我们无法确定。在不影响最终结果的前提下，我们不妨任意假设一种情况――设系统平衡时弹簧是伸长的，其伸长量为x0。则对m1有

与牛顿第二定律比照可知：式中的m1+ 可视为m1、m2组合的等效质量。将该等效质量代入弹簧振子的周期公式T=2π ，即可求得该装置的振动周期T=2π 。

4 等效劲度系数

在光滑水平面上振动的弹簧振子受力最为简单：所受合力就是弹簧的弹力，其大小满足胡克定律F=kx，其中k是弹簧的劲度系数，F与x方向相反。有些振动装置虽无弹簧，且看上去与弹簧振子模型相去甚远，但我们仍可把它与弹簧振子模型相类比，找出振子所受回复力与位移的大小关系式F=F（x）。如果回复力与位移大小成正比，即F∝x，则我们就可以把比例系数 =k等效看作是某一弹簧的劲度系数，将k值代入T=2π 同样可求得这些装置的振动周期。

例4 如图6所示，一质量为m的柱体圆木，直立于密度为ρ的液体中，浸没部分的体积为V0，圆木横截面的直径为D。现用手缓缓将圆木下按后释放，圆木就会上下振动。水的阻力不计，已知重力加速度为g，试求这一振动的周期T。

等效法在生活中有着广泛的应用，像曹冲称象、阿基米德测量皇冠的体积等故事，都巧妙地利用等效的观点解决了一些看似难以解决的问题。但是，我们在利用等效法处理问题时务必要小心谨慎、三思而后行，切记利用等效法的前提是等效。不抓住等效这一先决条件，主观臆断，将本不等效的东西生拉硬扯地作“等效处理”，就会得出错误的结果。

参考文献：

[1]陈栋梁，陈钢.“面摆”的等效摆长[J].物理教学，2014（12）51―52.