相似矩阵与线性变换

摘 要：研究向量空间的线性变换时，相似矩阵就会很自然地出现。在选定一组基后，线性变换就和矩阵建立了一一对应关系。相似矩阵是同一线性变换在不同基下的矩阵。因此如果从线性变换的角度理解两个相似矩阵之间的关系，并由此可以容易的解释两个相似矩阵的特征值是相同的，但是它们的特征向量不一定相同。对于初学者来说，由于学时较少，很少会详细地讲解线性变换的内容，因此我们希望能够用比较简洁，初等的方式讲解线性变换以及它与相似矩阵的这些关系。从而应用线性变换的概念理解相似矩阵的特征值和特征向量。

关键词：相似矩阵 特征向量 特征值 线性变换

中图分类号：O15 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）08（c）-0024-02

Similar Matrix and Linear Transformation

Zhou Zhongguo

（College of Science Hehai University，Nanjing Jiangsu，210098，China）

Abstract：The concept of similar matrix appears when we investigate the linear transformation on vector space. After fixing a basis of the vector space， the set of linear transformations is put into one-to-one correspondence with the set of matrix. Hence from the point of view of linear transformation it is to helpful to understand the relation between similar matrice and explain their eigenvalues and eigenvectors. But the linear transformation will not been taught a few for lack of time for learners. So we give a simple and elementary introduction to linear transformations and applying the notation of linear transformation it is also explained that why the two similar matrice have same eigenvalue but have not same eigenvectors in general.

Kew Words：Similar Matrix；Eigenvectors；Eigenvalue；Linear Transformation

矩阵的相似是线性代数课程中一个非常重要的概念，这个概念刻画了矩阵之间的重要关系，而且相似矩阵有许多共同的性质。我们知道两个相似的矩阵有相同的特征值[1-4]，这是许多初学《线性代数》课程的同学都知道的，但是对于它们为什么不一定有相同的特征向量，很多同学就不理解了。从矩阵的角度对这个问题不容易理解，其实如果从线性变换的角度看待相似矩阵，它们之间的关系就会比较直接，容易理解多了。

因为相似矩阵本质上是在研究线性变换时很自然地出现的，不过对于初学者来说，由于学时较少的关系，关于线性变换的这些内容一开始并不会讲得太多，太清楚，甚至有时候没有时间来讲。

为了帮助初学者理解这一问题，本文从线性变换的角度，以比较简洁、初等的方式来解释相似矩阵之间的关系，希望能够用较少的概念、语言解释相似矩阵及其特征值、特征向量的关系。

1 特征值、特征向量与相似矩阵

设是阶矩阵，如果非零向量满足：

则称是的特征向量；是属于特征向量的特征值。如果对两个矩阵存在可逆矩阵使得：

则称为相似矩阵。

根据定义，可以比较容易地得到相似矩阵有相同的特征值。假设是矩阵的特征向量，有 如果设，则有

所以是的特征向量，并且特征值仍为。

从上面的论证可以看到：如果是的特征向量，对应特征值是，则是的特征向量，并且特征值仍为。这样一般说来，所以两个相似矩阵的特征向量并不一定相同。这个论证不是特别严格，没有考虑到特征值是重根的情况，而且不容易理解怎么会有这样的结果。下面从线性变换的角度再来看看这个问题。

2 线性变换的定义与性质

设是维实向量空间，是的一组基。是的一个线性变换。所谓线性变换就是满足下面的线性关系的一个映射：

先来看看所谓的线性是什么意思。我们知道，向量空间不过是一些向量放在一起，由于它们之间可以相加，数和向量之间有数乘，即定义了向量加法和数乘运算。这些向量之间建立了联系，形成了一种结构，成为向量空间。而线性变换的要求可以理解为向量的和的像等于向量的像的和。也就是说线性变换保持向量空间的运算。保持向量空间的结构。

再从线性变换的定义可以看出，两个向量的线性组合的像其实可由的像决定。又由于向量空间中的任一向量都是基的线性组合，所以任一向量的像都由的像决定，因此线性变换也就完全由这组基的像决定。把这一过程用符号表示出来就是，在此基下，假设可以如下详细地给出：

这里就是在基在的坐标。

因此由线性关系，给定一个向量它的像为

如果设，则称是线性变换在基下的矩阵，设是向量在这组基下的坐标。这样线性变换就变成：

。

由于一开始固定了一组基，因此在我们的讨论中，为了简单起见，可以略去基，只考虑坐标，这时形式更为简洁。

3 线性变换与矩阵

我们如果不考虑基，只从坐标的角度看待线性变换，那么线性变换可以如下简单地表示：。

这样看来，如果取定了一组基之后，线性变换就完全由矩阵决定了；反过来，如果给定一个矩阵，由上面的式子也可以得到一个线性变换。因此选定了一组基后，线性变换就完全和矩阵一一对应了。这样，研究线性变换可以用矩阵，比较直观，便于操作和计算；同样地，研究矩阵时，如果把它看成线性变换，则许多问题就能统一起来，给出直观的解释。如果能够充分了解到这些情况，则解决问题时我们就会有不同的选择、能够从不同的角度看待一个问题，解决问题的思路会更宽阔一些。

很自然的，如果选取另外不同的基，和上面同样地做法也可以用一个矩阵表示线性变换，这时的矩阵和基下的矩阵有什么关系呢？下面就考虑这个问题。

若是向量空间的另外一组基，假设两组基之间的过渡矩阵为，即有

，

同样地，在这组基下，也和一个矩阵对应，此时线性变换可以表示为：

。

此处是向量在第二组基下的坐标。下面来求，，的关系。

我们主要利用一个事实：向量在同一组基下的坐标是唯一的。所以当用不同方法求得同一向量在同一基下的两个坐标，那它们应当是相同的。因此我们把向量在基下的坐标也转化成在基下的坐标表示。

根据假设有：

把代入上面两式得：

由坐标的唯一性得；。

即；。

注意到是任意的，因此是任意的，所以可得

。

这说明对于同一个线性变换，如果选取两个不同的基把它表示出来，那么在不同的基下的表示的矩阵是相似的。因此相似矩阵就自然地从线性变换中出现了。

一般来说，线性变换是比较抽象的，不容易把握，要想把握它，就要选取一组基，这样就可以用矩阵清楚、具体地表现线性变换了。由此可以看到，矩阵不过是线性变换在基下的一个表现形式，是在另一组基下的表现形式；所以相似矩阵是同一个线性变换在不同的基下的表现形式。这样就容易理解必然有一些性质和表现形式无关；也会有一些性质和表现形式相关。下一节就具体看看哪些性质无关，哪些性质相关。

4 线性变换与相似矩阵

既然这样，那么相似矩阵之间的性质就可以从线性变换的角度理解、解释了。因此由线性变换本身决定的性质和矩阵表现形式无关，将是都会有的性质，但是涉及到基，涉及到具体表现时的性质，和矩阵表现形式有关，如坐标等两者可能不同。

下面来看特征值和特征向量如何用线性变换解释。

若向量满足，则称是线性变换的特征向量，是对应特征向量的特征值。比如，则3是线性变换的特征值，是对应的特征向量。如果把这个关于线性变换的等式翻译成矩阵和坐标来说，就会得到在这组基下的表现形式

因此3是矩阵的特征值，则成了矩阵的特征向量，注意这里的向量是向量的坐标，而不是线性变换的特征向量，这两个向量是不一样的。如果在另一组基下把这个过程翻译一下就成了

这时的坐标就成了的特征向量。特别要注意两个矩阵的特征向量是线性变换的特征向量分别在两组基下的坐标。

所以现在就清楚了，相似矩阵的特征值就是原来那个共同的线性变换的特征值；它们的特征向量则是线性变换的特征向量分别在这两组基下的坐标。明白了这些关系之后可以得出相似矩阵的特征值相同，甚至连相应的代数重数，几何重数都是相同的。因为它们都是原来线性变换的特征值和重数。

但是特征向量就不一样了，它们是同一向量在不同基下的坐标，一般说来，一个向量在不同基下的坐标是不相同，如果是很特殊的情形也可能相同。比如当时，此时在两组基下的坐标都是，所以是的公共特征向量。

参考文献

[1] 万冰蓉.相似矩阵特征向量间的关系[J].井冈山师范学院学报，2002（5）：50-52.

[2] 许以超.线性代数与矩阵论2版.[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3] 黎景辉，白正简，周国晖.高等线性代数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4] 俞正光，鲁自群，林润亮.线性代数与几何：下[M].2版.北京：清华大学出版社，2015.

[5] 李尚志.《线性代数》新教材教材案例（之二）[J].大学数学，2012（4）：5-12.