利用平面内两点间距离公式求一类问题的最值

摘 要：在初中数学教材中，平面内两点间距离公式的教学愈来愈显得重要，利用两点间的距离公式来求一类最值简捷方便.

关键词：平面内两点间距离公式；求最值；数形结合；简捷方便

《中学数学杂志》2010年第6期第62页例3：求+的最小值.该题原解答中是构造直角三角形利用勾股定理解决的，当0

本文利用上述公式，可以解决形如±这类问题的最值. 请看几个例子.

例1 求+的最小值.

解：原式可变形为+. 上式表示点P（x，0）到点A（0，1）及点B（4，2）的距离之和.

如图1，作点A关于x轴的对称点A′（0，-1），连结A′B交x轴于点P，则PA+PB最小，最小值为线段A′B的长度A′B==5.

容易求出直线A′B的解析式为y=x-1，当y=0时，x=，故当x=时，原式的最小值为5.

说明：（1）原题解答分为以下三大步：①变形原式；②指出变形式的几何意义；③求出变形式的最值并指出相应字母的取值.

（2）在平面直角坐标系中，利用两点间的距离公式时，无需讨论相应字母的取值范围.

例2 代数式++达到最小值时，x，y值各是多少？（选自“2005我爱数学初中夏令营数学竞赛题”）

解：原式=++，即++①.

若令点A（0，-2），B（3x，0），C（2y，1），D（4，3），则上式①等价于AB+BC+CD.

如图2，当点A，B，C，D四点共线时，原式有最小值，最小值是线段AD的长度，AD==.

图2

容易求出直线AD的解析式为y=x-2② .

把B（3x，0）代入式②得0=×3x-2，解得x=.

把C（2y，1）代入式②得1=×2y-2，解得y=.

故当x=，y=时，原式有最小值.

说明：本题难点解析：根据变形式①很容易得出本题的答案，但是变形式①是如何想到的呢？这是难点. 根据变形式①的前一步骤，设A′（0，2），B（3x，0），C（2y，1），C′（2y，0），D′（4，2），则原式=A′B+BC+C′D′，作出点A′关于x轴的对称点A（0，-2），将线段C′D′向上平移一个单位长度到CD位置，这时C（2y，1），D（4，3），原式等价于AB+BC+CD.

例3 求y=-的最大值. （自编）

解：变形原式：y=-，上式表示点P（x，0）到点A（0，1）及点B（4，2）的距离之差的绝对值. 连结BA并延长交x轴于P，则 可知PA-PB最大，此时y最大值=AB==. 容易求出直线AB的解析式为y=x+1，当y=0时，x=-4，故当x=-4时，函数y的最大值为.

例4 求y=-的最大值. （自编）

解：变形原式：y=-=-=-.

上式表示点P（x，x2）到点A（3，2）及点B（0，1）距离之差的绝对值，连结AB并延长交抛物线y=x2于点P（如图3），则y=PA-PB=AB为最大，y最大值=AB==. 容易求出直线AB的解析式为y=x+1，把P（x，x2）代入y=x+1中得x2=x+1，可解得x=或x=（舍去），故当x=时，y的最大值为.