时间：2022-10-29 12:05:25
夹角问题是立体几何中的重点内容，也是高考的热点．因为向量法可以不去直接作出角，从而降低了对空间想像能力和逻辑思维能力的要求，课本上只介绍了坐标法难题 有时计算点的坐标很费事，这里谈谈用基向量法求角．
1 求两异面直线所成的角
求两异面直线所成的角θ，可通过求两异面直线的方向向量的夹角φ来确定，即cosθ=cosφ
例1 已知正四面体A―BCD的棱长为a,E,F分别是AB，CD的中点，求异面直线DE，BF所成角的大小．
分析：如图1，这题如果建立直角坐标系，点的坐标的计算量很大，不宜考虑坐标法．
向量AB，AC，AD不共面．它们的模都为a，每两个向量间的夹角都是60°，因此，可用AB，AC，AD为基向量来解题较方便．
解：DE=AE－AD=12AB－AD，
BF=12（BC+BD）=12AC+12AD－AB，
所以 DE・BF=（12AB－AD）・（12AC+12AD－AB）=
14AB・AC+54AB・AD－12AB2－
12AC・AD－12AD2 =
18a2+58a2－12a2－14a2－12a2=－12a2．
又 BF=DE=32a，因此，
|cos〈DE,BF〉|=|－12a232a×32a|=23 ．
所以所求异面直线所成角的余弦为23.
图1
图2
2 求直线和平面所成的角
求直线和平面所成的角θ，可先求直线的方向向量和平面的法向量的夹角φ．而sinθ=cosφ.
例2 如图2，三棱拄AOB―A1O1B1中，平面OBB1O1平面AOB，∠O1OB=60° ，
∠AOB=90°，OB=OO1=2，OA=3．
求A1B与平面AOB所成的角．
分析：向量OA，OB，OO1的模已知，每两个向量的夹角易找，故可用基向量法求解．
解：在平面O1OBB1中，过O1作O1COB，垂足为C．
因为平面O1OBB1平面AOB，O1C平面O1OBB1
平面O1OBB1∩平面AOB=OB
所以O1C平面AOB同理，OA面O1OBB1.
O1C=OC－OO1=12OB－OO1 ;
A1B=A1A+OB－OA=OB－OA－OO1.
A1B2=（OB－OA－OO1）2=OB2+OA2+OO12－2OB・OA－2OB・OO1+2OA・OO1=
22 +（3）2+22 －0－2×2×2×cos60°+0 =7．
A1B=7;同理,O1C=3，
O1C・A1B=(12OB－OO1)・(OB－OA－OO1)=
12OB2－12OB・OA－32OB・OO1+
OO1・OA+OO12 =
12×22－32×2×2cos60°+0+22 =3
cos〈A1B,O1C〉=A1B・O1CA1BO1C=
37×3=217．
所以直线A1B与平面AOB所成的角θ,
sinθ=217, θ=arcsin217．
3 求二面角的大小
设欲求二面角α－l－β的大小为θ,n1,n2分别是平面α,β的法向量.当其中一半平面绕着棱转动到与另一半平面重合时,若这两个法向量的方向相同,这时cosθ=n1・n2n1n2否则,θ=π－〈n1,n2〉
图3
例3 如图3,空间四边形PABC中,∠APC=90°,∠APB=60°,PB=BC=4,PC=3,
求二面角B-PA-C的大小.
分析：由题意知，此题用基向量法较易求解．选取PB，PC，PD为基底．
解: 在面PAB内过点B作BDPA于D,则由BDPA,CPPA.
可知,二面角B-PA-C的大小为〈PC，DB〉，
在三角形BPC中,cos∠BPC=PB2+PC2－BC22PB・PC=42+32－422×4×3=38
在直角三角形PDB中,
PD=PBcos∠APB=2,
BD=PBsin∠APB=23
DB・PC=（PB－PD）・PC=PB・PC－PD・PC=
4×3cos∠BPC－2×3cos90°=
4×3×38=92,
所以 cos〈DB，PC〉=DB・PCDBPC=
9223×3=34，所以 〈DB，PC〉=arccos34．
所以二面角B-PA-C的大小为arccos34．
由上可知，在求空间的角时，如果有三个不共面的向量的模及每两个向量的夹角易得到，则我们可以这三个向量为基向量用基向量法求解；如这时不作出相应的角，而通过向量的有关运算求解．这样就比较方便和易于掌握值得提倡．
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