用活动“做出”皮克定理

[摘 要] 本文以探索皮克定理为主线，以学生活动为主要目的，让学生自己做数学，通过实际动手操作积累学习经验，感受一般科学研究所要经历的观察、猜想、验证、说理等步骤. 学生通过小组合作，感受合作学习的重要性.

[关键词] 格点多边形；面积；皮克定理

■ 活动目标

1. 通过画图、列表、分析数据寻找规律，发现并验证皮克定理.

2. 让学生通过实际操作获得亲身体验，积累直接经验. 强化学生在数学学习过程中的主体地位，发挥学生的积极性、主动性和创造性，自主地投入活动.

3. 通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法，经历从特殊到一般的过程，体验“在解决多变量问题中采用变量控制法”的科学思维方法.

■ 活动重点

经历实践活动的过程，学会寻找思考问题的着眼点，掌握研究问题的方法，领悟数学思想.

■ 活动难点

格点多边形的面积与图形内部及它的边上的格点数之间的关系探究.

■ 活动过程

第一阶段：知识点准备阶段

1. 格点

2. 格点多边形

3. 凹多边形、凸多边形

格点：网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这两组平行线的交点称为格点（如图1中的点A，B，C，D，E…），显然，每一个小方格就是一个面积单位.

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格点多边形：如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形（如图1中的五边形ABCDE）.

凸多边形：延长多边形的任何一边，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（图2）.

凹多边形：图3中的多边形不具备上述凸多边形的性质，称为凹多边形.

第二阶段：课题的引入阶段

师：求图4中四边形ABCD的面积.

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生1：把它分割成三角形和正方形来计算. 如图5所示，四边形ABCD的面积=三角形CFD的面积+三角形CEB的面积+正方形AEFD的面积= 0.5+1+1=2.5.

生2：把它补成长方形后计算面积. 如图6所示，四边形ABCD的面积=四边形ABFE的面积-三角形CED的面积-三角形BFC的面积= 4-0.5-1=2.5.

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师：同学们用割补的思想非常精彩地解决了这个问题，但是这种多边形的面积还可以根据图形内部及它的边上的格点数目来算，算法十分简捷.下面我们就来探讨这个问题.

第三阶段：课题的生成阶段

师：研究复杂的问题，我们可以从最简单的情况入手，从简单到复杂，从特殊到一般地去探索其中的规律.

S：格点多边形的面积；N：多边形内部的格点数；L：多边形边上的格点数.

情况1：当N=0时

（图7为教师出示，以便更好地引导学生画出其他的情况）

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图8为学生需展示的图框架：

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展示的同时填写下表，以便寻找规律.

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师：仔细观察上表中的数据，你能发现它们之间有什么样的数量关系吗？

学生之间小组合作、交流讨论.

生1：S=0.5 L-1.

以此类推解决如下几种情况.

情况2：当N=1时（如图9所示）

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情况3：当N=2时（如图10所示）

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师：仔细观察数据，你能发现它们之间有什么样的数量关系吗？

（学生之间小组合作、交流讨论）

生1：S=N+0.5 L-1.

师：情况1中的关系和情况2中的关系不一样，它们能够统一在一起吗？

生2：可以，因为情况1中的N=0，放在式子中，式子不受影响.

师：通过这几种情况的验证，我们更加坚信了S=N+0.5 L-1是正确的.

师：下面以小组为单位，分别验证N=4，5，6，7…的情况.

师：同学们，今天我们在一起，通过大家的智慧，得到的这个结论是奥地利数学家皮克在1899年最早得到的，因此这个公式就被称为“皮克定理”.

■ 教后反思

本堂课的主要教学目的是让学生在“做”中学，通过实际操作获得亲身体验，通过动手操作、观察类比、分析归纳、合作交流等一系列探究活动，了解解决问题的过程和方法. 根据课前准备和当堂课的实际情况对比来看，有如下几个方面的问题值得反思.

1. 低起点

让学生只要跳一跳就能摘到桃子，要设计不同层次的活动，让绝大部分学生体验到成功的喜悦.

2. 学生主体

活动中的主体一定是学生，教师是参与者、引导者的角色，教师不要过强地控制学生的节奏，不要把学生限制在自己设定的框框里.

3. 合理分配

小组成员之间的结构要合理，在学生自由组合的前提之下，教师要根据自己对学生的认识给予一些合理的安排，课前也要对组长进行培训，训练其合理分配任务的能力，训练其总结归纳不同想法、不同意见的能力.

4. 客观评价

实践活动结束后，应组织学生进行评价，特别是自我之间评价、小组之间评价，要在这些评价中交流体会、总结经验.