例说微积分与中学数学解题

摘 要：论文主要研究运用微积分的思想和方法对高中数学中的不等式、方程的根、函数的变化性态和作图等进行探讨。微积分与初等数学有着不可分割的内在联系，运用微积分的思想和方法可以将初等数学问题看得更深刻、透彻。

关键词：微积分 初等数学 中学数学解题

初等数学是高等数学的基础，二者有紧密的联系。俗话说“站得高才能看得远”，因此，中学教师除掌握中学数学中的概念、定理及各种题型的常用初等数学的解法外，还应善于运用高等数学方法解决中学数学问题，从而拓宽解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。微积分是高等数学的核心，将微积分的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，不仅可使解法简化，也能使问题的研究更为深入、全面。本文将通过实例就微积分的思想和方法对高中数学中的不等式、方程的根、函数的变化性态和作图等方面的应用进行初步探讨。

一、不等式的证明

例1.证明loga（a+b）>loga+c（a+b+c）（b>0，c>0，a>1）。

证明：设f（x）=logx（x+b），x>1，则：

f（x）= ，f`（x）= 。

而x+b>x>1，则ln（x+b）>lnx>0，故 > 。

所以f`（x）f（a+c），即loga（a+b）>loga+c（a+b+c）。

特别地，当a=2，b=c=1时，有log23>log34>log45>……

二、恒等式的证明

例2.试证当x≤-1时，有2arctanx+arcsin =-π。

证明：当x=-1时，等式显然成立。

当x

所以，2arctanx+arcsin =常数。

当x=- 3时，2arctan（- 3）+arcsin =-π。

故2arctanx+arcsin =-π，∨x≤-1。

三、求曲线的切线方程

例3.设M（x0，y0）是椭圆 + =1上不是顶点的任一点，求过M点的切线方程。

在初等数学中往往这样去做：设所求切线方程为y-y0=k（x-x0），把它与椭圆方程联立后，令=0，求出k的值，从而求出切线方程。这样计算量会很大。

在微积分的基础上，由导数的几何意义和隐函数求导法，可以很容易地求得二次曲线的切线方程。

解：用隐函数求导法得到y`（x）| =- ，

所以，过M（x0，y0）的切线方程为y-y0= （x-x0），进一步整理得 + =1。

类似的方法可求得双曲线、抛物线的切线方程。

四、方程根的讨论

方程根的讨论在初等数学中处于很重要的地位，但有些题目技巧性很强，解决起来比较困难。方程f（x）=0的根，实际上就是函数f（x）的零点。在微积分中，它的讨论可借助于零点定理、函数的单调性等。例如讨论a>0且a≠1时曲线y=ax与y=x的交点情况，问题转化后即为讨论a>0且a≠1时方程ax=x的根，可设f（x）=ax-x，然后研究f（x）的零点情况。

五、函数的变化性态及作图

函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特性的时候，其作用尤为明显，因此正确地作出函数的图形至关重要。而中学数学中描点作图的过程是不精确的，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果点取得太多，那将花费过多的精力，而且仍会担心是否忽略了一些重要的点。例如，函数y= 的正确图形应为图1所示，而用描点法很可能画出图2的错误图形。

问题出在哪里？有了微积分的知识，我们知道问题出在没对函数的凹凸性进行考察。利用导数作为工具，就可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数图像。

事实上，微积分在初等数学中的应用是极其广泛的，将微积分的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个有待深入研究的课题。

参考文献

[1]吕世虎 徐兆亮 编著 从高等数学看中学数学[M].北京：科学出版社出版，1995。

[2]吴中林 微积分在中学数学中的应用[J].天中学刊，2001，5，54-55。

[3]吴向群 庄认训 微积分在中学数学中的应用[J].青海师专学报（自然学报），2002，5，77-78。

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