如何通过典型例题让学生理解与掌握微积分中值定理

摘要：文章介绍了中值定理，讲解了典型例题，谈到了题目对学生成长的影响。

关键词：中值定理；典型题；构造函数；不等式；创新

中值定理是微积分重要的定理。导数的应用追根溯源都可以和中值定理发生关联，中值定理是否掌握对学生的数学素养有比较大的影响。本人通过数学教学中遇到的各种问题分析，谈谈如何学好微分中值定理。

一、微分中值定理及积分中值定理

微分中值定理分为以下三个定理

1.罗尔定理

如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间a，b连续

（2）在开区间 （a，b）可导

（3）f（a）=f（b）

则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f′（ξ）=0

2.拉格朗日定理

如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间a，b连续

（2）在开区间 （a，b）可导

则在开区间（a，b）上至少存在一个ξ使得f（b）-f（a）b-a=f′（ξ）

3.柯西中值定理

如果函数f（x）及F（x）满足

（1）在闭区间[a，b]上连续

（2）在开区间（a，b，）内可导，且F（x）在（a，b）内的每一点的导数处均不为零

则在（a，b）内至少有一点ξ，使f（b）-f（a）F（b）-F（a）=f′（ξ）F′（ξ）

4.积分中值定理

如果函数f（x）在闭区间a，b上连续，则在a，b上至少存在一个点ξ，使得下式成立 ∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）

在讲解过程中要区分清楚前三个中值定理的条件关系，让学生知道拉格朗日定理是罗尔定理的推广，罗尔定理是拉格朗日定理的特例，如果给拉格朗日定理加上最后一个条件就可以得到罗尔定理的结论。

其次再谈结论之间的区别，最后应该从证明方面讲三者间的关联。即后两个定理都可以通过构造辅助函数利用罗尔定理进行证明。

教学中需要提前告诉学生以后还会学到一个积分中值定理，并且在积分中值定理讲完之后最好通过习题将前后中值定理联系起来，加深学生对中值定理的理解。

二、典型习题

1.通过结论构造原函数法理解中值定理

例题1：设 f（x）在R上可导，证明在f（x）的两个零点之间一定有点ξ 使得f（ξ）+f′（ξ）=0

在讲解这道题目的过程中要引导学生学会构造函数，先把表达式f（ξ）+f′（ξ）=0中的ξ改为x，然后让学生分析函数f（x）+f′（x）=0会是哪个函数通过求导得到的，引导学生发现可以构造一个函数F（x）=exf（x），分析函数和罗尔定理的关系最后证明结论。

例题2：证明：若f（x）， g（x） 在a，b上连续，在（a，b）内可导，f（a）=f（b）=0，g（x）≠0 ，则至少存在一个点ξ∈a，b使得

f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0

这道题目的做法和上题有类似的地方，都要把结论表达式中的ξ改为x，例如f′（ξ）g（ξ）+2g′（ξ）f（ξ）=0改为f′（x）g（x）+2g′（x）f（x）=0再引导学生分析等号左边的函数是那个函数求导后的记过当学生通过多次试错后构造出F（x）=f（x）g2（x）后，他们对问题的理解也就得到升华。学生发现F（x）函数满足了罗尔定理的条件学生应该能很快的解决问题。

例题3：设函数f（x）在1，3上连续，在（1，3）内可导，并且f（1）=∫32xf（x）dx，证明在（1，3）内至少存在一个ξ，使得f（ξ）+ξf（ξ）=0

这道题目在学过积分中值定理后推出来。有了微分中值定理的题目做基础，学生应能很快的构造出F（x）=xf（x）。但是学生觉得应该用罗尔定理证明出结论这时学生推不出罗尔定理的第三个条件，这时就要引导学生通过积分中值定理推导的表达式f（1）=∫32xf（x）=λf（λ）（3-2）=λf（λ）=F（λ） 及F（1）=1×f（1）得到罗尔定理的第三个条件。

2.通过不等式证明理解中值定理

在使用同济大学高数教研室编写的《高等数学》教材过程中，发现编者通过各类不等式的的证明加深学生对拉格朗日定理的理解有独特的作用。

例题1：证明 当 x>0时，x1+x

此道题目在同济大学第一版教材就开始采用，难易程度符合初学中值定理的学生使用，学生在证明过程中发现了中学证明不等式的局限性，更加加深了对中值定理学习的兴趣。

在证明过程中首先要引导学生构造出函数F（t）=ln（t+1） ，接着分析函数在区0，x间满足拉格朗日定理的条件。

得出ln（x+1）-ln（0+1）x-0=11+ξξ∈（0，x）

由ξ∈（0，x）得出 11+x

然后将ln（x+1）-ln（0+1）x-0=11+ξ的左边表达式代入上述不等式的中间部分，即可得出结论。让学生初步见识了拉格朗日定理的应用。为后面单调性定理研究打下基础

例题2：证明当x>1时，ex>e·x

这道题目也是同济大学教材的老题，教师在使用过程中需要发挥主观能动性加以灵活运用。可以先用拉格朗日定理证明，等单调性定理讲解后再用新办法进行证明。让学生知道同一道题目，用用同一个工具的不同形式，证明方法有区别，看看什么办法能够简便的得到结论，对学生学习方法的改进会有很大的启发。

三、结论

天才在于勤奋，也在于创新。在建设创新型国家的过程中，既需要肯吃苦的实干家更需要充满智慧的人才，天才是1%的灵感加99%汗水，但这1%是最重要的。

通过数学学习，要让学生体会到数学的乐趣，激发求知的主动性，培养学生的坚强意志和探索与创新精神。使学生成为新时代的创新者。（作者单位：陕西国际商贸学院高数教研室）

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学（上，下） [M] . 北京： 高等教育出版社， 2007.

[2]李忠，周建莹. 高等数学（上，下） [M]. 北京：北京大学出版社， 2009.

[3]盛向耀.高等数学（上，下）[M] . 北京： 高等教育版社， 2007.