例谈直线与圆中的几类典型问题

时间:2022-10-27 08:41:48

例谈直线与圆中的几类典型问题

解析几何是江苏高考必考题之一,它包含两个C级考点,通常情况下,考一小(填空)一大(解答)。小题中会涉及直线方程及应用;大题中会考查与圆有关问题,常涉及方程、位置关系、定点、定值、定线等。直线的斜率及直线方程的几种形式是重点,突破难点的方法是运用数形结合,要注意直线方程几种形式的适用性和局限性,直线方程中的各个参数都具有明显的几何意义,它对直线的位置、点与直线、直线与直线、直线与圆的各种关系的研究十分重要,因此在复习时一定注意知识间的横向联系,以达到融汇贯通。

一、 考纲要求

1. 理解直线的斜率和倾斜角的概念;掌握过两点的直线斜率的计算公式;了解直线的倾斜角的范围;理解直线的斜率和倾斜角之间的关系,能根据直线的倾斜角求出直线的斜率。

2. 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)的特点与适用范围;能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系;能根据斜率判定两条直线平行或垂直。

3. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系,体会数形结合思想;能用解方程组的方法求两直线的交点坐标,掌握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用;会求两条平行直线间的距离。

4. 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程;理解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化。

5. 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)。能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,了解用代数方法处理几何问题的思想。

二、 难点疑点

1. 方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断。

2. 利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围。

3. 探求直线与圆的定点、定值问题。

4. 灵活运用“数形结合”和方程思想来解决有关直线与圆的综合问题。

三、 经典练习回顾

1. 直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为.

2. 若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.

3. 若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.

4. 直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y2=1的位置关系是.

5. 圆x2+y2-2x=0与x2+y2+4y=0的位置关系是.

6. 当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,5为半径的圆的方程为.

四、 例题精析

题型一与圆相切的直线、与直线相切的圆方程的求解问题

【例1】(1)求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线l的方程.

(2)求经过点A(0,5),且与直线x-2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.

分析(1)确定直线方程需要两个独立的条件,根据条件选择恰当的直线方程形式求解;

(2)欲确定圆的方程,需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标。又圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上。

解(1)设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,

圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,

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