论初中数学教学中分类思想的渗透

【摘要】数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。

【关键词】初中数学课堂　渗透　分类思想

数学家乔治·波利亚所说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路”。数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。所谓数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。教师在制订教学目的、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。

数学分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。教学中可以让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用，往往能使复杂的问题简单化。那么我们在教学中应如何渗透分类讨论思想呢？下面我谈谈我的一些看法和大家一起探讨：

1.渗透分类思想，重视养成分类的意识的必要性

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材的话应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如在研究相反数、绝对值、有理数的乘法运算的符号法则等都是按有理数分成正数、负数、零三类分别研究的；在研究加、减、乘、除四种运算法则时也是按照同号、异号、与零运算这三类分别研究的；而在初中几何教学中，用分类讨论思想进行了角的分类、点和直线的位置关系的分类、两条直线位置关系的分类；在函数教学中将函数图象分为开口方向向上、向下，单调递增、递减来进行研究；在圆的教学中按圆心距与两圆半径之间的大小关系将两圆的位置关系进行了分类等等。因此，渗透分类思想，养成分类意识很重要。

2.在教学中我们怎样才能对学生进行渗透分类思想呢？

2.1　在概念教学中渗透分类讨论意识。由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。

如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。

如讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于　0三种情况进行讨论，通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

2.2　在法则、定理、公式体现分类讨论思想。初中课本中很多定义、定理、公式本身是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习中逐渐的体会分类讨论的思想。

如：七年级数学课本在引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、零、负数。此时可提出问题“-a一定是负数吗？”启发学生分a>0，a=0，a

又如：初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。

在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，帮助学生增强分类意识，体验分类思想方法的作用。

2.3　在解题过程中引导分类讨论，提高解题的能力。要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：

其一：涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。

例1　已知函救y＝（m-1）x2＋（m-2）x－1（m是实数）。如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值。

分析：这里从函数分类的角度讨论，分　m－1=0　和　m　-　1≠0　两种情况来研究解决问题。

解：（1）当m＝l　时函数就是一个一次函数y＝－x－1，它与x轴只有一个交点（-1，0）。

（2）当　m　≠1时，函数就是一个二次函数y＝（m－1）x2＋（m－2）x－1

当＝（m－2）2+4（m－1）=0，得　m=0.

抛物线　y=－x2－2x－1，的顶点（－1，0）在x轴上

其二：根据几何图形出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。

例2　（1）等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？

分析：可以按4或6为腰时来算。

（2）等腰三角形一个角是70°，求其他两个角的度数？

分析：可以按顶角或底角为70°时来求解。

（3）知ABC是边长为2的等边三角形，ACD是含30°角的直角三角形。ABC和ACD拼成一个凸四边形ABCD.（1）画出四边形ABCD；（2）求四边形ABCD的面积。

分析：含30°角的直角三角形ACD中我们可以把AC作为斜边、AC作为直角边二类情况来研究。

（4）ABC中，AB=6，AC=8，D、E分别为AB、AC边上的点，且AD=2.若ABC与ADE相似，则AE=。

分析：可以按对应角出现的位置不同时来分情况求解。

由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常的清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。

3.运用分类讨论思想研究数学问题时值得注意的地方

用分类讨论思想研究问题时，必须做到“分类要完整、不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。在解有些数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。

总之，我们只要在教学中多研究、多实践、多探索，就能让学生更好的掌握好初中数学中的分类讨论思想。在教学中，利用现有教材，着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

参考文献

［1］　蔡上鹤.数学思想和数学方法

［2］　任勇.初中生学习法与能力培养

［3］　《全日制义务教育课程标准（实验稿）》.北京师范大学出版社