“几何直观”

【摘 要】 “几何直观”是发现数学规律与解题思路的一个极其重要的策略。文章通过找寻教材里数与代数领域中应用几何直观的例子，把抽象的数学转化为形象的数学的基本思路有：转化为“点”的直观、转化为“线”的直观、转化为“面”的直观。从图形的直观特征发现数量之间存在的联系，以达到化难为易、化繁为简、化隐为显的目的。

【关 键 词】 几何直观；点；线；面

中图分类号：G623.56 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）27-0083-04

一、点的直观

点是图形的最基本元素，用点作基本单位得到的图也称为点子图。在数学中，点子是应用一一对应的思想对实物进行计数的一种方法，点子实际是对实物的一种抽象。点的直观，就是把数学思维的抽象性转化成点子图的形象性，帮助学生更好地理解。

1. 应用点的直观，利于数的认识

例如，人教版一年级上册《6和7的认识》中的点子图，就是用一个点子表示一个单位（这里指一个人），进而抽象出数6与7，见图1。

四年级下册“数的产生”中介绍这样的例子，在古代小石子、绳结、刻痕等都是一种点子的实物原型，见图2。

2.应用点的直观，计算化繁为简

例如，计算“1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+1=？”时，很多学生看到题目无从入手，一个一个加太麻烦了，一时又找不出好的方法。这时，可以引导学生利用表象，用联系的观点把每个加数想象成一个个点，通过点阵的分布来找规律，最后求解。教师首先出示图3，请学生从上往下一层一层数，学生马上列出算式：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1。

教师把图3旋转45°得到图4，学生马上想到总数为10×10=100。通过找规律，发现上题的计算方法是100×100=10000。

3.应用点的直观，模糊变为清晰

点子可以表示数值，如果加上点子色彩或形状变化，可以表示更加丰富的数量关系。例如，有一种溶液，加1杯水后，含盐量变为25%，再加1杯盐后，含盐量变为40%，求原来这种溶液的含盐量。

分析：这道题条件中没有原来溶液的容量，含盐量一会儿是25%，一会儿又是40%，数量关系看似十分繁杂，难以理解。用下面形象的点子表示其数量关系来引导学生思考就方便多了。

25%=，40%=，用代表1份盐，用代表1份水。

加1杯水含盐量为25%，也即，图示为

再加1杯盐后含盐量为40%，也即，图示为

由上图很容易得出：1份盐、1份水刚好也是1杯盐、1杯水，如不加1杯水和1杯盐，原含盐量由图示应为--=即原溶液的含盐量为，也即33.3%。

应用点的直观特点，可以把一些较复杂的数学问题简单化，把难以理解的数量关系变得一目了然，并激发学生解题的兴趣，提高解题能力。

二、线的直观

线的直观，也叫作画线段图，用线段表示某一种数量，线段的长度表示数量的大小，线段长度间的关系表示数量关系，从而直观地显示题意，以便寻求已知条件和问题之间的联系。

1.应用线的直观，促进算理理解

例如，一辆摩托车小时行驶18千米，1小时行驶多少千米？

学生根据已学过的数量关系“路程÷时间=速度”，正确列出算式：18÷，由此自然引出学习内容。

师（画出一条线段）：如果把这条线段看作1小时行的千米数，那么怎样表示小时行的千米数？

生：把这条线段平均分成10份，其中的3份表示小时行的千米数。

教师根据学生的回答画出线段图，见图5。

师：观察线段图，想一想怎样求摩托车1小时行的千米数呢？

（学生根据线段图进行思考，很快发现这道题的解题思路。）

生：根据“摩托车小时行驶18千米”，可以先求出摩托车小时行驶多少千米，算式是18÷3 = 6（千米）；求1小时行驶多少千米，也就是求6个小时行多少千米，用6×10 =60（千米）。

教师在线段图上标出小时行驶的路程，并板书算式18÷3×10。

师：18÷3能不能转化成乘法计算？根据乘法结合律，18××10还可以怎样计算？

教师继续板书：18÷=18÷3×10=18××10=18×= 60（千米）

最后，教师引导学生观察、分析等式：18÷=18×，归纳出整数除以分数的计算方法：整数除以分数可以转化为乘这个分数的倒数。

根据问题画出线段图，学生在线段图的帮助下很快发现了这道题的解决思路：先求出摩托车小时行多少千米，再求1小时行多少千米，列出算式18÷3×10。然后，教师对这一算式进行适当的形式化处理，使之成为既对学生具有启发作用又能体现整数除以分数一般算法的典型模型，学生顺利实现了理解基础上的算法建构。这一教学事实表明：线段图是沟通实际问题与数学算式之间的重要“桥梁”，利用线段图的直观效果，有效降低了学生探究算理、理解算理的难度。