抓住特点 妙解典题

平面直角坐标系体现了数形结合的思想方法，在解与平面直角坐标系有关的问题时，应在掌握基础知识的前提下，做到灵活运用.点在坐标系中的特点往往可使问题得以轻松巧妙的解答.现以2008年部分中考题为例，说明如下．

一、根据坐标的符号特点，确定点的位置

例1 （1）（2008年扬州考题）在平面直角坐标系中，点P（－1，2）的位置在（）．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

（2）（2008年大连考题）如图1，下列各点在阴影区域内的是（）．

A．（3，2） B．(－3，2）

C．（3，－2） D．(－3，－2）

解析：根据各象限内点的横坐标、纵坐标的符号特点，可以确定点所在的象限；反过来，也可以由点所在的象限，判断点坐标的符号．

（1）因为P（－1，2）横坐标为负数，纵坐标为正数，所以点P在第二象限．故应选B．

（2）图中的阴影区域是坐标系中第一象限，第一象限内点的横坐标、纵坐标都是正数．在选项中给出的四个点坐标，只有（3，2）符合要求，故应选A．

二、根据点的对称性，确定相应对称点的坐标

例2 （2008年河南考题）如图2，阴影部分组成的图案既关于x轴成轴对称图形，又关于坐标原点O成中心对称图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别为（）．

A．M（1，－3），N（－1，－3）

B．M（－1，－3），N（－1，3）

C．M（－1，－3），N（1，－3）

D．M（－1，3），N（1，－3）

解析：平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数；关于坐标原点成中心对称的点的横坐标、纵坐标分别互为相反数．由图可知，点N与点A关于x轴对称，点M与点A关于原点对称．因为点A的坐标是（1，3）.所以点M的坐标是（－1，－3），点N的坐标是（1，－3）．故应选C．

三、根据图形变化特征，确定相应对称点的坐标

例3 （1）（2008年青岛考题）如图3，把图3①中的ABC经过一定的变换得到图3②中的A′B′C′，如果图3①中ABC上点P的坐标为（a，b），那么这个点在图3②中的对应点P′的坐标为（）．

A．（a－2，b－3） B．（a－3，b－2）

C．（a＋3，b＋2） D．（a＋2，b＋3）

（2）（2008年烟台考题）正方形ABCD在坐标系中的位置如图4所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（）．

A．（－2，2）B．（4，1）

C．（3，1）D．（4，0）

解析：图形的变化主要包括轴对称、平移与旋转.根据点的轴对称性可以确定轴对称图形对应点坐标的变化；根据平移的方向与距离可以确定平移图形对应点的坐标；根据旋转的方向与旋转角的度数可以确定旋转图形对应点的坐标．

（1）由图3②知，原三角形向右平移了3个单位，又向上平移了2个单位，所以P点坐标也作了相应的平移，得到P′（a＋3，b＋2）．故应选C．

（2）DB绕D点顺时针旋转90°后，点B正好落在x轴上，此时B点的坐标为（4，0）．

四、确定坐标原点，用坐标描述点的位置

例4（2008年永州考题）图5是永州市几个主要景点示意图，根据图中信息可确定九疑山的中心位置C点的坐标为．

解析：找到直角坐标系中原点的位置是解决本题的关键．方法有二：

（1）由千家峒位置点B的坐标（0，1）出发，向下1个单位的格点即为原点．

（2）由盘王殿位置点A的坐标（1，0）出发，向左1个单位的格点即为原点．

过原点画出x轴、y轴，即可得到九嶷山的位置C的坐标为（3，1）．

点评：用坐标来确定位置，加强了坐标与现实生活的联系性.本题属于由已知坐标系中某个点的坐标，求坐标系中其他点的坐标，分析出直角坐标系原点的位置，对正确解题起着至关重要的作用.还有些题目需要自己建立直角坐标系来表示某些点的位置．

五、根据坐标特点，妙解图形面积

例5（2008年贵阳考题）如图6，在平面直角坐标系中，A（－1，5），B（－1，0），C（－4，3）．

（1）求ABC的面积；

（2）在图中作出ABC关于 y轴的对称图形A1B1C1；

（3）写出点A1，B1，C1的坐标.

解析：（1）A（－1，5）与B（－1，0）的横坐标相同,

A、B之间的距离就是这两点纵坐标差的绝对值．AB=5．

又C（－4，3），AB边上的高为3．

S ABC= ×5×3=7.5.

（2）如图7；

（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．

点评：在直角坐标系中求三角形的面积，关键是利用三角形顶点的坐标求出一条边的长，以及这条边上的高．

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”