小波分析在非平稳速变信号处理中的应用

摘 要：首先对小波变换的优点做了介绍，综述了小波变换在遥测非平稳速变信号处理中的两个重要方面的应用：信号消噪和信号突变点特征提取。

关键词：小波变换；小波分解；重构；信号局部奇异性；模极大值

中图分类号：F224-39 文献标识码：A

遥测速变数据易受无线信号噪声和其他外界噪声的污染，这在一定程度上影响了对数据的分析精度。另外，各种类型的故障也难免出现，这也会使遥测数据产生异常。发生故障后，对故障的部位、性质和原因必须做出准确、可靠的判断，以便采取针对性的措施。研究表明，飞行器飞行过程中的动态响应一般是非平稳的，非平稳响应的动态信号中包含丰富的动态结构等方面的信息，所以非平稳信号的处理占有特殊地位。由于Fourier（傅立叶）变换仅适用于频域分析，无法表述信号的时频域特性，也不能给出信号在某个时间点上的变化情况，因而产生分析这类非平稳信号的小波分析理论。

1 小波分析技术

1.1 小波分析的优点

传统的信号分析是建立在Fourier变换的基础之上的。虽然Fourier变换能够分别从信号的时域和频域进行观察分析，但却不能把二者有机地结合起来，其Fourier谱是信号的统计特性，是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的能力，不具备时域信息。因此，Fourier分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。

小波分析属于时频分析的一种，是一种信号的时间——尺度、时间——频率的分析方法，它继承和发展了Fourier分析理论。它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但形状可改变，且时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。

小波分析在时域、频域同时具有良好的局部化性质，能较好地解决突变信号与非平稳信号的问题。它在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的“显微镜”。

1.2 小波分析的定义

类似于Fourier分析，在小波分析中也有两个重要的数学实体：“积分小波变换”和“小波级数”。积分小波变换是基小波的某个函数的反射膨胀卷积，而小波级数是称为小波基的一个函数，小波基是小波变换的核心。下面给出基小波的定义：

如果?鬃∈L2（ＩＲ）满足“允许性”条件：

那么?鬃称为一个“基小波”或母小波（Mother Wavelet）。

连续小波变换定义：

对f∈L2(IR)上的连续小波变换为：

其中，a，b∈L2(IR)，a≠0。a表示尺度参数，与局部频率相对应；而平移参数b与信号f(t)的时间位置相联系，小波变换W?鬃f同时反映了信号f(t)的时频特性。

2 小波分析在速变信号消噪中的应用

2.1 消噪的原理

小波消噪（滤波）方法有模极大值方法，尺度空间滤波、阈值法等。利用信号和噪声在小波变换尺度空间表现出的不同特征：信号小波变换的系数随尺度的增大而增大，而白噪声、尖脉冲的幅值、方差、模极大值的稠密度随尺度的增大而减小，因此对于含噪声的信号进行小波分解，重构可以对信号滤波。

这里主要介绍阈值滤波的方法。

首先，对信号进行多尺度一维小波分解，如图1用信号S的三尺度分解进一步说明多分辨分析。从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高频部分则不予以考虑，分解具有关系：S=A3+D3+D2+D1，A为信号低频部分，D为信号高频部分。然后，可以以门限阈值等形式对小波系数进行处理。最后，对信号进行重构即可以达到消噪的目的。

2.2 消噪步骤

采用小波分析技术进行信号消噪处理的步骤为：

a) 一维信号的小波分解。先选择一个小波并确定一个小波分解的层次N，然后对信号f(t)进行多尺度分解（尺度为N），获得各尺度的小波分解系数。

b) 小波分解高频系数的阈值量化。对第1到第N层的每一层的高频系数，选取一个阈值进行消噪处理。

c) 一维小波的重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过量化处理后的第1层到第N层的高频系数，进行一维小波的重构，得到去噪后的信号f(t)。

该方法并不复杂，但目前存在以下2个问题：

a) 在小波分解时选择什么样的小波函数更适合于特定工程问题，有利于更好去除噪声，不同的问题选用不同的小波函数，滤波效果会有所不同，目前的理论研究中，对此问题还感到非常棘手。

b) 对域值的量化问题。在对各层分解中的高频系数（CD）的量化过程，选择多大的域值更有利于消噪，目前仍处于研究中，但常用的有软域值方法和硬域值方法，如基于无偏似然估计（二次方程）原理的自适应域值选择，对于一个给定的域值th，得到其似然估计，再将非似然th最小化，就得到了所选的域值。另外，还有基于Bayes统计的域值估计方法。

3 提取突变信号特征

3.1 小波变换中局部奇异性的定义

在小波变换中，局部奇异性可定义为：

设f(x)∈L2(R)，若f(x)对?坌x∈?啄x，小波?鬃(x)满足实且连续可微，并具有n阶消失矩（n为正整数），有：

|W·f(s，x)|?燮K·s·a K为常数

则称a为x0点的奇异性指数（也称Lipschitz指数）。

3.2 小波奇异性理论用于突变信号提取的基本原理

信号的奇异性与小波变换的模极大值之间有如下的关系：

设g(x)为一光滑函数，且满足条件

，不妨设g(x)为高

斯函数，即 ，令?鬃(X)=dg(x)/

dx，由于 ，因此，可取函数?鬃(x)作为基小波。

对函数f(x)的关于?鬃(x)的小波变换可写成

其中，

仍为高斯函数，不妨设a>0，则

积分 可看作是函数f(x)用高斯函数ga?子(x)按尺度a进行光滑后的结果，当a很小时，用ga?子(x)对f(x)光滑的结果对f(x)的突变部分的位置及形状影响不大。可知小波变换模|Wf(a，?子)|与尺度a下光滑后函数

的一阶导数成正比。因此

|Wf(a，?子)| 的极大值点对应的是

的突变点，当尺度a较小

时， 的突变点就是 本身的突变点。这说明小波变换模极大值的位置与信号突变之间存在一一对应关系。

利用小波变换的时频局部特征的能力，在对信号进行表示和描述中，通常信号的奇异点（如过零点、极值点等）更能够刻画信号的细节，并在对信号进行区分中起着重要作用。因此，可以利用信号在多尺度上的综合表现来描述信号，特别是他的突变点或瞬态特征。如果能够通过小波变换提取出这些奇异点，则能够更好对信号进行描述。

结语

本文基于小波分析在时域、频域同时具有良好的局部化性质，提出了应用小波分析方法对含噪声速变信号进行信噪分离处理，以及对速变数据突变点进行特征提取。小波分析有傅立叶分析不可比拟的优点。可见小波分析方法对飞行器遥测参数的数据处理及分析是非常有意义的一种方法。

参考文献

[1]刘蕴才，房鸿瑞.遥测遥控系统[M].北京：国防工业出版社，2001.

[2]程佩青.数字信号处理教程[M].北京：清华大学出版社，2004.