化抽象为形象

当我打开《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章1.1.2《导数的概念》时，我就想：“导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲。导数的概念是全章核心，在高中数学中具有相当重要的地位和作用。

“我应该让学生学会什么呢？我的学生已较好地掌握了函数极限的知识，并积累了大量的关于函数变化率的经验；另外，我班学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础。导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度．在上课的时候要多作铺垫，扫清他们学习上的障碍，保护他们学习的积极性，增强学习的主动性。”

“教学中遵循‘学生为主体，教师为主导，知识为主线，发展思维为主旨’的原则。以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，指导学生类比探究形成导数概念。引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与中获取知识，发展思维，感悟数学。一个好的引入，形象的展示，典型的例题……”，一个思路在我的脑中形成了。我精心准备好了教案和多媒体课件。

上课一开始，我手执两枚乒乓球，一枚拿稳、一枚抛动提问：两枚乒乓球是否相同？它们有何区别？（学生回答：回答：一枚是静止的，一枚是运动的）但古希腊的大哲学家芝诺却不这么认为，他认为两枚乒乓球是一样的，因为在某个瞬间给它们拍照，它们的状态是一模一样的（在0时间里，位移为0）。现代物理学告诉我们，这两枚乒乓球不一样，因为一个的瞬时速度为0，一个不为0。（学生好奇的听着）我知道我已经成功的吸引了学生的注意力了。通过创设情境，我引出课题：“那怎么求一物体的瞬时速度呢？”

我接着在多媒体上展示：同学们，这是上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t　2＋6.5t＋10，计算运动员在　这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？（学生相互讨论，交流结果，得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”）我接着提出：我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？（学生都很好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态）接着，我和学生一起总结发现：为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。我又提出问题：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？（学生开始思考，讨论，尝试用物理的方法求解）我进一步引导学生：我们能否选取t=2附近的平均速度变化情况来找到解决问题的途径呢？在t=2之前或之后，任取一个时刻2+Δt，我们就可以计算[2+Δt，2]和[2，2+Δt]的平均速度了。如何计算呢？请大家继续思考，当Δt取不同值时，尝试计算　的值？学生发现：在t=2时刻，Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度。从物理的角度，当Δt的绝对值无限变小时，平均速度就无限趋近于t=2时刻的瞬时速度。为了表述方便，数学中用简洁的符号来表示，即　。

我知道我这节课的引入成功了，学生瞬时速度的定义也掌握了，而且是比较牢固的记住了。在此过程中，帮助学生体会从平均速度出发，感受平均速度逼近瞬时速度的过程，“以已知探求未知”的数学思想方法，　培养学生的动手操作能力，让学生两次体会了逼近思想。好的引入，这节课也成功了一半。我想，这一开放活动的设计给了学生更多的空间，和谐的教学氛围，自由的活动形式，使学生的自尊心和自信心得到体现，刺激了他们的表现欲，从而产生学习的动力，收到良好的教学效果。这节课让学生在各种活动中体验数学和经历数学。

给出瞬时速度的定义后，我又指出：那运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？（学生热烈讨论，交流，类比，合情猜想：　）为了加深对瞬时变化率的理解，再举例：气球在体积　时的瞬时膨胀率如何表示呢？（类比之前学习的瞬时速度问题，引导学生得到瞬时膨胀率的表示　）（此过程多媒体辅助展示）我又继续引导学生：如果将这两个变化率问题中的函数用　来表示，那么函数　在　处的瞬时变化率如何呢？在前面两个问题的铺垫下，我和学生共同回答：函数　在　处的瞬时变化率为　。于是，我进一步指出：我们这里研究的函数　在　处的瞬时变化率为　，即　在　处的导数，记作

（也可记为　）

整个过程一气呵成，学生很容易就得到了导数的概念，并理解了导数概念的形成过程。接着，我用幻灯片展示：17世纪，力学、航海、天文等方面取得突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为：一是已知物体运动的路程作为世纪的汗水，求物体在任意时刻的速度和加速度，反之已知物体的加速度作为世纪的汗水，求速度与路程；二是求曲线的切线；这两类问题都直接导致了导数的产生。由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度；气球半径r关于体积v的导数就是气球的瞬时膨胀率。实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、国内生产总值GDP的增长率等。这对导数的产生、作用与地位都做了进一步的分析，激发了学生学习导数的兴趣。让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。

根据教学经历和学生的反馈，本人对本堂课有如下几点反思：在教学过程中，以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过组织学生讨论，由特殊到一般，循序渐进；借助多媒体，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握了导数的概念，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法；如何更好地选择符合学生具体情况，满足教学目标的例题与练习，灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题。