巧妙用“1” 锻炼思维

【关键词】高中数学 “1” 思维锻炼 【中图分类号】G 【文献标识码】A 【文章编号】0450-9889（2012）10B-0059-02

“1”在高中数学中是一个既简单又复杂的数字，简单在于它的一般形式，复杂在于它可以有不同的表现。对此若能巧妙利用，在解题时往往能收到事半功倍的效果。通过各种变换来运用“1”，能锻炼学生的思维，提高学生的思维能力，同时能让学生体验数学变换的奇妙，感受数学方法的魅力，从而能激发学生的数学学习兴趣，提高学生的学习积极性。本文将具体阐述如何通过变换“1”来解决三角函数、不等式、复数问题。

一、三角函数问题

1.利用sin■2α+cos■2α=1代换

例1 已知tanα=2，求sinαcosα的值。

分析：这道题目已知角α的正切值，求它的正弦、余弦值，可以列方程组来求解，但根据tanα=2可知，角α位于第一或者第三象限，需要进行分类讨论。

解法一：

（1） 当α位于第一象限时，可得

（2） 当α位于第三象限时，可得

由此可得sinαcosα=■。

再仔细观察这道题，发现这是一个三角函数中的齐次式问题。这类问题的特点是已知角α的正切值，求关于角α正弦和余弦的三角多项式的值，解决这类问题的方法通常是“化弦为切”，而这道题要化弦为切时遇到麻烦，所以我们需要再观察它的其他特点。观察可发现sinαcosα的分母是1，而联想到1=sin■2α+cos2■α，我们可以尝试通过代换1来寻求另外的解题途径。

解法二：sinαcosα=■=■=■=■ 。

评注：解法一是在三角函数同角的正弦、余弦、正切中知一求二 ，由于不明确角所在的象限，故需要分类讨论。解法二利用sin■2α+cos■2α=1，将所求多项式化为二次齐次式，避免分类讨论，简化了解题过程。

2.利用tan45■=1代换

例2 求值： ■。

分析：本题有好几种解法，但若选择不当，计算起来将相当麻烦。仔细观察题目可发现本题是分式形式，由此可联想到两角和的正切公式，但两角和的正切公式tan（α+β）=■=与题目的形式有区别。这时我们注意到题目中1的位置是公式中的tanα，则自然会想到令1=tan45■■，将题目中的1进行代换。

解： ■=■=tan60■=■。

二、不等式问题

1.利用题目中有关“1”的条件

例3 已知x>0，y>0，且x+2y=1，求■+■的最小值。

分析：本题是求两个正数和的最小值问题，容易想到利用基本不等式求解，而基本不等式成立的条件是“一正，二定，三相等”，很显然题目给定的形式无法满足第二个条件，所以需要根据题目中给出的条件作恒等变形，构造出所需形式（一般是凑和或积为定值）。现利用题目中x+2y=1的条件进行代换，就能构造出基本不等式的形式来求解。

解法一：■+■=■+■=1+■+■+2=■+■+3。

x>0，y>0，■>0，■>0，

故■+■+3≥■

当且仅当■=■时取等号，即x=■y，又x+2y=1，所以当x=■-1，y=■时，■+■取最小值3+■。

解法二：■+■=（■+■）（x+2y）=1+■+■+2=■+■+3，接下来的解法同上。

2.通过构造“1”创造条件

例4 若0

分析：看上去本题与例3的问题较为接近，解题方法有可借鉴之处。例3解法的关键之处是利用“1”凑出积为定值的条件，从而让基本不等式成立的条件得以满足，而在本题中正缺少了这一关键条件。再仔细观察，可发现两个分式的分母里面暗藏玄机：x+（1-x）=1，由此可构造出“1”，使问题迎刃而解。

解：■+■=（1-x）+x■+■=■+■+5。

00，

故■+■+5≥■+5=9，

当且仅当■=■，即x=■时取等号，此时■+■取最小值9。

评注：以上两个例题都是利用基本不等式求最值的问题，都不是可以直接求解的问题，需要根据题目的特征，巧妙运用“1”或构造有关“1”的条件进行恒等变形，将复杂的问题变得简单明了。

三、复数问题

1.利用-i2=1简化除法运算

例5 计算■。

分析：本题中的式子较复杂，需进行多次除法运算，若按照常规做法，计算比较麻烦。观察到式子中多处出现“1”，可考虑约分计算，将式子中的1用-i2代替，通过约分即可化简。

解：原式=■=■=■=■=-■。

评注：对于分子为实数，分母为纯虚数的复数运算，可利用此法简化运算。

2.利用■简化乘方运算

例6 计算

分析：本题若直接进行乘方运算，计算量非常大。注意到

，可变换原式，再利用 即可迅速得解。

评注：教育学生，当遇到使用通常的方法难以求解的数学问题时，应该冷静下来认真分析题目，看可否从不同的角度去另辟蹊径。如本题中1的两个立方虚根■的应用大大减少了运算量，在简化复数运算方面能起很大的作用，这一点应引起我们的注意。

利用“1”来解决数学问题，实际上是一种数学解题策略、解题方法。它通过等价转化、恒等变形，适当地引入或构造含有“1”的条件，化繁为简，化难为易，使问题变得清晰，从而得以巧解、妙解。我们在数学教学中应注意总结，举一反三，挖掘出“1”在更多数学问题中的妙用，以此类问题为载体，锻炼学生的思维，提高学生的思维能力。

（责编 王学军）