从等距线谈平面上曲线之间的距离

[摘 要]本文以等距线为工具，通过点与曲线、直线与曲线、对相离曲线之间的距离作出定义，并提示了曲线距离与点到直线距离的共有性质，并得出了用简单数学方法求距离。

[关键词]等距线；曲线间距离定义、计算。

中图分类号：G613.4 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）46-0222-02

我们熟知平面上点、线间距离的定义及计算，在实际研究中会涉及到相离曲线之间的距离的计算，本文通过研究点与曲线间的距离，揭示平面两条光滑相离曲线之间的距离。

1 直线与曲线之间的距离

1.1 定义：平面上直线上的点与曲线上任意一点的连线段中，最短线段的长度叫做直线与曲线之间的距离。

1.2 直线与曲线之间的距离的求法

设直线L：ax+by+c=0

曲线：y=f（x）

由于直线的等距线为与已知直线的平行线，平行直线上的点到已知直线的距离相等，故称之为直线的等距线。作直线L的平行线，直至与曲线y=f（x）相切，切点为T，过点T作直线L的垂线，垂足为D，显然|DT|为所有直线上点与曲线上点的连线段中最短的，即|DT|为直线L与曲线之间的距离，记为d（如图1）

由于切点满足：，可求得切点为，于是

当时，

若b=0时，

例1 求直线y=x与抛物线+1之间的距离。

解：设过抛物线上的点为的切线与直线y=x平行，

，直线斜率k=1

由2x=1得.

所求点.

直线y=x与抛物线+1之间的距离为.

2 点与曲线之间的距离

2.1 定义：平面上点与曲线上任意一点的连线段中，最短线段的长度叫做点与曲线之间的距离。

2.2 点与曲线之间的距离的求法

点的等距线为以已知点为园心的园周，园周上的点到园心的距离相等，故称之为点的等距线。

以已知点M为园心，可变半径r作园，设园与光滑曲线y=f（x）相切于点T，另一条等距线与园相交于N，显然，线段TM的长|TM|即为点M与曲线y=f（x）的距离。即以已知点为园心的园与曲线相切时，该园的半径为点到曲线的距离。（如图2）

求法如下：

（1） 若存在，且，TM与切线TP垂直，

即有： ……………………………… （2-1）

可借助迭代法求出出，代入距离公式求。

（2） 若，，距离d=min.

（3） 若，，距离d=min.

例2 求点M（1，0）与抛物线之间的距离。

解：设抛物线上的点为，则TM与抛物线过点的切线垂直，

抛物线过点T的切线的斜率为：

由（2-1）有：

即：

用牛顿迭代法求解

设f（x）= ，

f（0）=-10，f（x）=0在（0，1）内有实根，在（0，1）内为正

记，，，，

所以，点M（1，0）与抛物线之间的距离

3 曲线与曲线之间的距离

3.1 定义：给定平面上两光滑相离曲线，一条曲线上任意一点与另一条曲线上的点的连线段中，最短线段的长度存在，则最短线段的长度叫做两相离曲线之间的距离。

3.2 曲线与曲线之间的距离的求法

考虑y=g（x）上任一点M到曲线y=f（x）的距离，由2.2所述，该距离为以M为园心且与曲线y=f（x）相切的园的半径，此时，对于y=f（x）上的切点T来说，这个半径不一定是点T到y=g（x）的最短距离。要使这条半径|TM|成为两曲线之间的距离，必须是以T为园心且与y=g（x）相切的园的半径。综上所述， |TM|为两曲线y=f（x）与y=g（x）之间的距离，必须满足下列条件：（如图3）

（1） y=f（x）过点T的切线与y=g（x）过点M的切线平行；

（2） TM所在的直线与过T点的切线垂直。

若存在，求，，列式如下：

设

求解方程组（3-1）

再代入距离公式即可求出最短距离。

若，的情形，类似于2.2的求法。

例3 求曲线之间的距离

解：设上点及上点的连线段|MT|为所求距离，

整理得：

设

f（0）=-10，f（x）=0在（0，1）内有实根，在（0，1）内为正用牛顿迭代式求解

取，，，，，

所以，抛物线的距离

参考文献：

[1] 寿华好，黄永民.两条代数曲线间Hausdorff距离计算[J]，浙江大学学报，2013（10）：574-577

[2] 陈小雕，雍俊海，汪国海 平面代数曲线间最近距离的计算[J]，计算机辅助设计与图形学学报，2008（4）：459-462

[3] 寿华好，江瑜，缪永伟.平面代数曲线的PH―C曲线逼近[J]，浙江工业大学学报，2012，40（1）：111-114.