高考中的函数不等式

近几年来，随着《导数》引入高中内容后，函数与不等式的综合题不断涌现。题型变化万千，题目越来越灵活。函数与不等式已成为高考必不可少的一个部分，全国各省市几乎年年考，考法各不相同。因不等式灵活，函数基础、抽象，两者集合在一起，既能检测学生的基础知识，也能考察学生的能力；同时也使题目具有了基础性、能力性、选拔性、压轴性等特点。尤其是不等式的恒成立及函数型不等式，在近年的高考中扮演了重要的角色，而《新课标——选修2-1》又出现了全称命题与特称命题，这为高考命题又提供了不等式的新背景。本文就这些问题，提出自己的解决策略，供大家参考。

一、不等式中“存在”与“任意”的区别

在高考中，有很多不等式问题，常涉及“存在”与“任意”等关键词，一词之差结果却相差甚远，这些问题也是在我们学生中常常易混淆、难把握的题型。为了更好地解决此类问题，我们必须把握好如下几个命题。

已知函数f（x）与g（x）：

命题1 对任意x∈[a，b]，有

f（x）≤g（x）成立？圳x∈[a，b]，[g（x）-

f（x）]min≥0成立。

命题2 存在x∈[a，b]，有f（x）≤g（x）成立？圳x∈[a，b]，[g（x）-f（x）]max≥0成立。

命题3 对任意x1，x2∈[a，b]，有f（x1）≤g（x2）成立？圳x∈[a，b]，f（x）max≤g（x）min成立。

命题4 存在x1，x2∈[a，b]，有f（x1）≤g（x2）成立？圳x∈[a，b]，f（x）min≤g（x）max成立。

命题5 任意x1∈[a，b]，总存在x2∈[a，b]，有f（x1）≤g（x2）成立？圳x∈[a，b]，f（x）max≤g（x）min成立。

命题6 任意x1∈[a，b]，总存在x2∈[a，b]，有f（x1）≥g（x2）成立？圳x∈（a，b），f（x）min≥g（x）min成立。

命题7 任意x1∈[a，b]，总存在x2∈[a，b]有f（x1）≥g（x2）成立？圳x∈[a，b]时，f（x）的值域是g（x）值域的子集。

（1）求f（x）的单调区间和值域；（2）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]。若对任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围。

解 （1）易得当x∈[0，1]，f（x）的值域为[-4，-3]。

（2）因g（x）=3x（x2-a2），当a≥1，x∈（0，1）时，g′（x）

所以x∈[0，1]时，g（x）为减函数，g（x）∈[g（1），

g（0）]即g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，

二、不等式的恒成立问题

近年来，尤其是一些含参数的不等式恒成立，求参数的取值范围，成了高考中的压轴题。尤其是有些问题，需采取多次求导才能达到解题的目的。对这类问题，笔者提供一种有效的解法供大家参考。

命题1 若函数f（x），g（x）在[a，b]上可导，且f′（x）>g′（x），f（a）=g（a）则在（a，b]内有f（x）>g（x）。

（1），（3）（略）；（2）若f（x）≥lnx，在[1，+∞）上恒成立，求a的取值。

三、关于函数单调性型

以函数为背景的不等式题型，常常借助不等式的单调性来命题。因此解此类题关键在于求出不等式的单调区间，然后借助函数的单调区间来解决问题。

n≥2）。

（作者单位：贵州省毕节市实验高中）