坐标系与参数方程重点解析与典型例题

坐标系与参数方程的主要内容是极坐标和直角坐标的互化，曲线的参数方程与普通方程的互化，以及参数方程和极坐标的简单应用三部分，下面针对这三部分内容进行透析：

一、坐标系

了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．

特别提醒：

1．平面上任意一点的极坐标不是唯一的；

2．点的直角坐标化为极坐标，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），

当θ在第一、第二、第三、第四象限时，极角θ分别取α、π－α、π+α、2π－α；

3．极坐标方程与直角坐标方程互化要注意其等效性．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨慎漏解．

例1 取直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则点M（－1，－3）的极坐标为_____________．

分析：把直角坐标化为极坐标主要是求出求出ρ与角θ即可．

解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又点M是第三象限内的点，可得θ=43π，故点M的极坐标为（2，43π）．

点评：可以利用数形结合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意点的位置与极角的关系．

例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，则曲线ρsinθ=2与曲线ρ=4sinθ的交点的极坐标为_____________．

分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，可求出交点的直角坐标，再化为极坐标或联立方程即可求出ρ与角θ．

解：法一：把两个极坐标方程化为直角坐标方程，可得y=2与x2+（y-2）2=4，利用数形结合可得到交点坐标为（2，2）和（－2，2），由ρ≥0则ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，θ=π4或θ=3π4．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．

法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，从而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．

点评：本题用了两种解法，化成直角坐标要稍麻烦一点，直接联立方程可以方便的求出ρ与角θ．

二、曲线的极坐标方程

了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．

特别提醒

1．在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ρ=r；

2．在极坐标系中，以 C（a，0）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ；

3．在极坐标系中，以 C（a，π2）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2asinθ；

4．在极坐标系中，θ=α（ρ≥0）表示以极点为起点的一条射线；θ=α（ρ∈R）表示过极点的一条直线；

5．在极坐标系中，过点A（a，0）（a>0），且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是ρcosθ=a．

例3 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____________．

分析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．要把已知条件与x=ρcosθy=ρsinθ 联系起来，即可得到曲线的直角坐标方程．

解：将ρ=2sinθ+4cosθ，两端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，则

x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．

点评：本题中曲线的极坐标方程只要在两端同乘以ρ，再根据直角坐标和极坐标直角的关系就很容易得出该曲线的直角坐标方程．

例4 已知圆心在M（a，0），半径为R，试写出圆的极坐标方程．

分析：先建立直角坐标系找出动点P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.

解：如图，在OPM中，由余弦定理可得：

ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．

点评：建立直角坐标系找出动点P所在的三角形是解决此类问题的关键，三解形中的余弦定理是解决本题的工具．

三、参数方程

了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．

特别提醒：

1．曲线的参数方程不是唯一的，选择不同的参数，得到的参数方程也不同；

2．注意直线的参数方程中参数的几何意义及其应用．

例5 直线x=3+tsin40°y=－tcos40° （t为参数）的倾斜角是_____________．

分析：将参数方程化为直线参数方程的标准形式即可得到直线的倾斜角，也可以将参数方程化为直线的斜截式方程，求出斜率k，进而得出倾斜角，但计算量比较大．

解：将参数方程化为x=3－tcos130°y=－tsin130° （－t为参数），对照直线的参数方程可得倾斜角为130°．

点评：本题所给出的直线方程的参数形式比较容易让人混淆，t不是定点（3，0）与直线上的点之间的距离，如果不认真分析就比较容易出错．本题解题方法的选择也至关重要．

3．参数方程与普通方程的互化：

（1）参数方程转化为普通方程

把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑．一般地说，当f（t），g（t）都是多项式时，常采用代入消元法；当f（t），g（t）都是t的三角函数时，常借助三角恒等式等．在转化的时候，还必须使两种方程的变量的取值一致．

参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法、三角法、平方法等．

（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．

例6 把参数方程x=21+t2y=2t1+t2（t为参数）化为普通方程．

分析：观察方程组里的两个式子的分母相同，所以把两个式子相比就得到t用x，y来表示的关系式，再将其代入到参数方程中即可．

解：由原方程组得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化简得：x2+y2－2x=0（x≠0），这就是所求的普通方程．所以它表示的曲线是以（1，0）为圆心， 1为半径的圆除去原点（0，0）．

点评：在用代入消元法的时候关键要得到t的一个关系式，之后再代入到参数方程中的x式或y式即可．

（2）普通方程转化为参数方程

把普通方程化为参数方程，一般有如下思路：

（1）F（x，y）=0选取参数tx=f（t），y=g（t），（t为参数）．

例7 直线l的普通方程是2x－y+2=0，把其化为参数方程．

分析：可以选取一个参数t，直接令x=t，代入方程后则可求出y关于t的关系式．

解：选t为参数，令x=t，则y=2t+2．得参数方程为x=t，y=2t+2.（t为参数）．

点评：选定参数t以后，将普通方程化为参数方程的问题就转化为已知t，分别求解x、y的问题了，它和求动点轨迹的参数方程的方法类似．

4．转化思想在解题中的应用

（1）在圆中的应用

例8 已知实数x、y满足x2+y2+2x－23y=0，

（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．

分析：从几何意义来考虑，设P（x，y）是圆C：x2+y2+2x－23y=0上的一点，可利用圆的参数方程得到Ｐ点的坐标，再来求解最值问题．

解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ为参数，0≤θ

（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2

=4（3sinθ－cosθ）+8

=8sin（θ－π6）+8

当θ－π6=π2，即θ=2π3时，（x2+y2）max=16．

（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，

当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，（x+y）max=3－22－1．

点评：利用圆（x－a）2+（y－b）2=r2的参数方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ为参数），来设P点的坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决．

（2）在椭圆中的应用

例9 求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的内接矩形的面积及周长的最大值．

分析：把椭圆的标准方程转化为参数方程x=acosαy=bsinα，即可设出椭圆的一个点的坐标，从而得到内接矩形的边长，即可列出面积与周长的表达式来求最值．

解：如图，设椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形在第一象限的顶点是A（acosα，bsinα）（0

S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，

当且仅当α=π4时，Smax=2ab，

L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα

=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，

当sin（α+φ）=1时，Lmax=4a2+b2，此时α存在．

点评：利用椭圆的参数方程解题，能够很快的知道点的坐标，可以便捷的得到矩形的边长，从而求得面积和周长的最值．

（作者：车树勤，连云港市锦屏高级中学）