探索 ― 反思 ― 再探索

一、引言

近几年的江苏卷，解析几何除了考查相应的知识点以外，更重要的是考查学生的计算能力。学生对很多问题有思路，但是真正到计算的时候往往又错误百出。为此，我专门挑选了2011年江苏卷中的解析几何题目作为例题来强化学生的计算，并促成学生养成解后反思的习惯。

二、课堂实录

师：今天这节课，我们来看看在解析几何中如何算，能否少算甚至不算。

（投影出例题）（2011年江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆+=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．对任意k>0，求证：PAPB．

师：这是这道题目的第三问，也是区分度非常高的一问，我们一起讨论一下如何解决？

（学生互相讨论，有的已经开始动笔算）

生1：直接根据题意，求出PB的斜率。

师：求PB的斜率还缺那些条件？

生1：P点坐标、B点坐标。

师：如何求上述点的坐标。

生1：直线AP的方程和椭圆的方程联列，可以得到A、P两点的坐标，以及C点的坐标。

师：那B点坐标呢？

生1：直线AB的方程与椭圆的方程联列，可以得到B点坐标。

师：很好，请大家按照生1的思路来算算看。

（时间在一分一秒地过去，但是学生的解答始终不尽如人意）

师：生1，你算得怎样了？

生1：没有，太烦了，而且都是字母运算。

师：不能因为烦就放弃了，我们大家一起来试试看。

师：联列直线AP的方程和椭圆的方程可以得到P点坐标，多少？

生众：P（，），A（-，-）

师：直线AC的方程是y=（x-）（在黑板上边算边讲），把它和椭圆的方程联列，得到一元二次方程（2+k）x-x-=0（*），注意这个方程的一个根就是点A的横坐标-，所以不用直接解方程，利用未达定理可以得到B点的横坐标是，纵坐标是，所以k====-，所以PAPB。

生众：哇噻，老师你太厉害了！

师：生1，你刚才计算到哪一步被卡住了？

生1：把直线AC的方程与椭圆的方程联列，后面感觉太繁了，没有敢接着往下算。

师：的确，这里联列得到的是二元二次方程组，次数高，未知量多，如果不是后来发现了“方程的一个根就是点A的横坐标”这个隐含条件的话，后面根本无法算下去，那么这种思路也只能停留在理论上了。

师：能否有计算稍微简便的方法？

生2：我有一个和生1相反的思路，这里我也求点B坐标，但是我不用直线AC的方程与椭圆的方程联列，而是把直线AC的方程和直线PB的方程联列，这样得到的是二元一次方程组，次数低一点。

师：直线PB的方程没有呀？

生2：假设PAPB，把直线AC的方程和直线PB的方程联列得到点B坐标，然后证明点B在椭圆上，行不？

师：这种方法行吗？

（大家互相讨论，一会儿，生3举起了手）

生3：应该可以的，好像是初中的“同一法”。

师：说得具体点。

生3：假设PAPB，把直线AC的方程和直线PB的方程联列得到点B坐标，再证明点B在椭圆上，这样点B′与点B重合，由此得到PAPB。

师：嗯，思路不错，不知道能否算出来，请大家试试看。

生众：啊……

（过了近十分钟，我请全班数学计算最好的生4来叙述解答过程）

生4：l∶y=（x-），l∶y-=-（x-），联列得到B′（，）；把点B′的坐标代入椭圆的方程有［］+2［］=4，所以点B在椭圆上，点B′与点B重合，所以PAPB。

师：虽然改变了方法，简化了运算，但是由于字母的存在，还需要大家具备必要的计算能力。

师：下面我们来欣赏一种运算更为简单的方法。由于要证明PAPB，所以我们主要看斜率之间的关系，设P（x，y），B（x，y），则A（-x，-y），C（x，0）设直线PB，AB的斜率分别为k，k，由第一种方法我们知道k=，所以kk=2kk=2・・===-1，即PAPB。

（学生一片惊讶之声）

师：这个方法计算量很小，这里面我们虽然设了两个点的坐标，共四个未知量，但是最终都没有求，直接通过运算，以及坐标之间的关系得到了PAPB，这种方法称为“设而不求”，这是解题的最高境界。

师：以上我们通过三种方法解决这个问题，前两个是大家想出来的，后一个是我给出的。从思路简单的角度来看，第一种方法最好想；从运算的简单程度来看，无疑第三种方法是最好的。我想大家都希望在高考的考场上一下子就想到第三种方法，对吧？

生众：是的。

师：这就要求我们在平时解题的过程中要多反思，通过不断探索―反思―探索―反思这样的循环反复，你的解题能力才能得到提高。

师：本题中由于k=，所以我们可以得到k・k=-，对照这个题目的条件和结论，我通过猜想，得到这个命题：若M，N是椭圆E：+=1（a>b>0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k，k时，那么k与k之积是与点P位置无关的定值，定值是-。这个命题是否正确，留给大家课后证明；同时请大家再反思一下，双曲线是否也有类似的命题，是否正确？

三、教学反思

在平时教学中，教师不能仅仅满足于学生会解题就可以了，更要让他们逐步养成良好的思考习惯。探索、反思、猜想、推理等都是学生在平时解题中常用的方法，只有养成良好的思考习惯才能使学生的能力不断提高，从而在面对新的问题时不至于手足无措。

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