抛物线及其性质

本部分内容由抛物线的定义、标准方程及其基本性质组成. 在客观题中，突出考查抛物线的定义、标准方程及其基本性质，解答题中主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、弦长公式、曲线导数的几何意义等；同时考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法，以及运算能力、逻辑思维能力、灵活运用所学知识分析和解决问题的能力.

重点：熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式，会根据抛物线的标准方程研究得出性质，会由几何性质确定抛物线的标准方程. 熟练运用坐标法，理解数形结合思想，掌握相关代数知识、平面几何知识的运用.

难点：把几何条件转化为代数语言，进而把“形”转化为“数”. 选择合理、简捷的运算途径，并实施正确的运算. 灵活利用概念、平面几何知识.

1． 抛物线及其性质的基本思路

求抛物线方程时，若由已知条件可知方程的形式，一般用待定系数法；若由已知条件可知动点的运动规律，一般用轨迹法；凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理；解决焦点弦问题，抛物线的定义有广泛的应用，还应注意焦点弦的几何性质，针对y2=2px（p>0），设焦点弦为x=my+■，既方便消元，又可避免斜率不存在的情况；可能的情况下，注意平面几何知识的应用，达到“不算而解”的目的.

２． 抛物线及其性质的基本策略

（1）求抛物线的标准方程

①定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程.

②待定系数法：先定位，后定量.根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式，从简单化角度出发，焦点在x轴上，设为y2=ax（a≠0）；焦点在y轴上，设为x2=by（b≠0）.

（2）焦点弦问题和焦半径

①焦半径：抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）到焦点F■，0的距离PF=x0+■.

②通径：过焦点F■，0且与x轴垂直的弦PQ叫通径，PQ=2p.

③焦点弦的性质：过F■，0的弦AB所在的直线方程为y=kx－■（k不存在时为通径）.

④弦长：AB=x1+x2+p=■（θ为弦AB的倾斜角）；x1·x2=■，y1·y2= －p2；■+■=■；以弦AB为直径的圆与准线相切.

在抛物线y2=4x上找一点M，使MA+MF最小，其中A（3，2），F（1，0），求点M的坐标及此时的最小值.

思索 “看准线想焦点，看焦点想准线”，可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解. 数形结合是灵活解题的一条捷径.

破解 如图1，点A在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，MA+MF=MA+MH，其中MH为M到抛物线的准线的距离，过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1，垂足为B，则MA+MF=MA+MH≥AB=4，当且仅当点M在M1的位置时等号成立，此时点M1的坐标为（1，2）.

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

思索 求焦点弦的弦长有多种方法，既要掌握运算方法，也要考虑一些不算或少算的方法. 数形结合是解析几何中重要的思想方法之一. 一些问题中，充分发挥“形”的作用，可以最大限度地减少运算，“看出结果”. 我们不妨考虑问题的一般情形：斜率为k（倾斜角为θ）的直线l过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，如何“看出”焦点弦的弦长？

如图2，由图可以看出，FA=p－FAcosθ，FB=FBcosθ+p，所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解过程非常直观，在已知直线倾斜角的情形下，可以直接“看出”焦点弦的弦长. 直线斜率存在时，由k=tanθ，

破解 例2中，k=1（θ=45°），p=2，所以AB=8.

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为■．

（1）求抛物线C的方程；

（2）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

思索 （1）由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程，由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标，再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程，确定p的值.

（2）存在性问题的常用方法是：先假设结论存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则否定假设；若推出合理的结果，说明假设成立.

思路1：先求切线MQ的方程，结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标，再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可.

思路2：先由点Q在弦OF，OM的中垂线上，再结合切线QM斜率的不同形式表示，列出方程思考.

1． 立足课本，夯实基础

掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识，深化对基础知识的理解，重视知识间的内在联系，提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力.

2. 熟练通法，步步过关

对相对固定的题型，如弦长问题、面积问题等，解题思路、步骤相对固定，要以课本为例，以习题为模型，淡化技巧，理解通性通法，熟练步骤，能作出合理的算法途径设计，基本问题运算过关，破解“想得出，算不出、算不对”的瓶颈.

3. 重视抛物线的综合问题

重视抛物线与直线、圆等的综合研究，尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑，对性质深入的探究不在于知道一些结论，而是在这一过程中掌握探索的方法，理解解析几何的基本思想方法.

4. 领悟思想方法，提升能力

抛物线及其相关问题的解决，往往蕴含着丰富的思想方法，如数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等，思想方法的理解是知识运用的翅膀，是知识转化为能力的桥梁. 在复习和解题过程中，要理解思想方法的内涵、操作程序，从而提升自己运用知识解决问题的能力.