重庆市2004～2007高考数学命题特点探析

重庆是实施高考自主命题的省份之一，其高考数学命题受到一定的关注，并在很大程度上指导着一线教学和科研．本文就其中的“概率与统计”部分在“知识点的考查频数”、“知识点的难度水平”两个层次进行了分析和总结，并提出具有一定针对性的备考建议．最后总结出“概率与统计”在控制试题难度方面经常会考虑的六个因素．

重庆市高考实施自主命题已逾四年，由于高考试题是传达学习方向和要求水平的最重要载体之一，因而无论是在实践还是理论层面都备受关注．重庆又是我国西南重镇，其命题反映着西南地区的特色和水平，示范性和方向性都非常值得关注．本文对其2004~2007“概率与统计”（理科）的数学命题特点进行分析．

1知识点的考纲要求水平统计

四年来“考试大纲”对“概率统计”知识点的要求水平有没有变化呢？

根据《普通高等学校招生全国统一考试数学科考试大纲》（2004~2007，理科）和三年来重庆数学试题的实际呈现结果，我们析出了两大类共12个知识点作为本次研究的知识因素．两大类分别是概率和统计，其中概率包括一般随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望值与方差等7个知识点；统计包括抽样方法、用样本估计总体、正态分布、线性回归、频率分布直方图等5个知识点．其中隶属于分布列的“超几何分布”和“二项分布”是两个应用广泛的概率模型，属于考查范围内但没有单列；“频率分布直方图”属于2007年实际考查但并没有列入“考纲”的知识点．“考纲”具体要求水平如下表：

2知识点的考查次数统计

本部分将揭示：重庆命题组对“概率与统计”的知识点是否有偏好？

在研究中，我们约定：同一知识点在同一小题中多次重复出现不进行累加；同一知识点在同一大题的不同小题或不同大题之间重复出现，其次数进行累加；如果同一道试题可以用不同的知识点来解答，而且方法是常规的、切实可行的，那么我们认为这些知识点在本题中都被涉及了，其次数也进行累加．所谓“非常规”、“不可行”方法是指虽然理论上这种方法可以解决问题，但耗时太长以至于在考试中根本不可能实施的方法．“大题”指编号为1，2，……的题目；“小题”指在一个大题中编号为（Ⅰ），（Ⅱ）,……的题目（如2007第18题）．下面是知识点所属题号统计：

不难发现，命题组对“概率”在考查次数上的偏好是明显的，因为所有列出的知识点都已被测试过（尤其是等可能事件，每年必考且多个题目都涉及），而概率又集中于“等可能事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”等规范概率模型；“统计”只在2006年测试了“频率分布直方图”，其余的都没有被涉及，呈现出明显的“一边倒”情形．

2008关于“知识点侧重”的备考观点：

（1） 重复独立试验早就是考纲中的一员，其对应的二项分布更是应用比较广泛的概率模型．四年来，只被考查过一次显然不能体现它的分量，因此跳过一个2007年后，2008年继续对它实施考查可能性非常大．

（2） 渗透在常考知识点（等可能事件、互斥事件、相互独立事件）里面的是两个基本计数原理――分类计数和分布计数原理，他们是提高“概率与统计”试题难度的主要因素．因此，如果想取得比较理想的成绩，加强对二者的训练是必须而且是关键的．

（3） 尽管出区分度稍高的试题比较难，但鉴于“统计”在现实生活和科学研究中的地位，增加对它的考查是必然的．比如将“频率分布直方图”与“正态分布曲线”结合起来考查学生对分布函数（试题中不会出现这个概念）的初步了解不失为一个好的想法．

3被考查过的知识点的期望难度水平与实际难

度水平的差异比较本部分将揭示：重庆“概率与统计”试题的实际难度水平与期望难度水平（考纲要求水平）是否一致？

虽然理论上存在考查水平A（了解）的情形，但实际四年来所有试题均至少是在B（理解和掌握）水平上展开的（当然它包括了A水平）．尽管如此，真正的试题还是不像“课标”或“考纲”那样对知识点的期望难度规定的比较具体，所以确定一道数学试题的实际难度水平是一个比较棘手的问题．为了解决这个问题，我们研究了新课标对知识点要求水平的“行为动词表1”，以其中的“行为动词”为研究工具分析并描述试题的实际难度水平．也就是说，我们用一道试题中知识点对应的“行为动词”所属的难度水平刻画该知识点的难度水平．有一个问题需要指出，新课标中“掌握”是排在第三水平――掌握/应用/迁移中，考纲中“掌握”是排在第二水平――理解和掌握中．我们不纠缠于文字的表面差异，而是根据“行为动词”的实质内容将新课标中的“掌握”在难度水平上等同于考纲中的“灵活和综合应用”，其相应的“行为动词”用来刻画考纲中的“灵活和综合应用”而不是“掌握”．考纲中的“掌握”是用课标中“理解/独立操作”的行为动词进行刻画．

另外，在下面的研究中，我们约定：如果同一道试题多次涉及某一个知识点，那么我们将以难度水平最高的那次（水平）刻画该知识点在本道试题中的实际难度；如果在一套试卷中有多道题目涉及同一知识点，那么将以各道试题难度水平的均值刻画本套试卷中该知识点的实际难度；如果同一道试题用相同知识点来解有不同的解法，而各解法的难度水平又不一致，那么我们将用各难度水平的均值刻画该知识点的实际难度．如果同一道试题可以用不同的知识点来解答（视为不同的解法），其知识点难度水平以所讨论的知识点在试题中的实际呈现水平为准，整道试题的难度水平取不同解法难度水平的均值．为便于计算，水平A、B、C分别用1、2、3代替．统计结果如下：

其中，表中第3列的2.5计算方法是，2004年第18（Ⅱ）如果直接求解，其难度水平为3；如果借用18（Ⅰ）的结论，则其难度水平为2，取其难度水平的均值得到．

运用非参数（nonparametric tests）的双独立样本t检验（two-independent-samples tests）对四年来各个知识点实际考查水平与期望水平的差异进行分析的结果如下：（考纲对“频率分布直方图”的要求没有说明，所以它不进入分析）

上表显示：考纲的期望难度水平与2004~2007每年的实际难度水平均无显著差异，而且一致性良好．这表明重庆市“概率与统计”试题难度控制是稳定的，与考纲要求拟合度比较好．

因为我们想考察一种观念――“知识点有越考越难一点儿的趋势”――是否为真，所以对“早已入纲（2004年以前）的概率模型”（包括一般随机事件、等可能事件、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验）也进行了类似分析：

结果表明，在0.05显著水平上，上述5个知识点的期望与实际两个难度水平也不存在显著差异．但同时我们应该看到，其相应的显著性概率值都低于表6中的值．这表明在这5个知识点上，实际难度与期望难度的差异高于其他（含总体）知识点间相应的差异．

结论：命题组对“早已入纲的概率模型”在难度上也是有所偏重的，其实际难度水平稍高于期望难度水平（见下面的图2），但并没有出现显著差异；对 “分布列和期望值、方差”等“新入纲概率模型”在难度上没有偏重，其实际难度水平与期望水平高度一致；总体上，被考查的7个知识点的实际难度水平与期望水平没有显著差异．说明重庆市“概率与统计”试题的实际难度水平与“考纲”的期望水平非常接近，可以认为是一致的．

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2008关于“知识点难度”的备考观点：

（1） 由于2004年的第11题、2005年的第15题和第18（Ⅰ）题、2006年的第18（Ⅰ）题、2007年的第6和第18（Ⅰ）题均是在第三水平（而非“考纲”的第二水平）上测试相关知识点，所以，考纲中为“掌握”（处于第二水平）的知识点在实际训练中不宜按字面意思直接对号入座，有时候要按第三难度水平进行操作．因为事实表明，考纲和课标对“掌握”一词的界定和划分并不对等．

（2） “一般随机事件”的考纲要求是第一水平A（了解），但对试题解决过程中的实际“行为动词”的研究表明，2007这次考查（第6题）是在第2.5水平展开的．对其他省份（如2007，全国Ⅰ，18题；2007山东，18（Ⅰ）题）试题的考察也有类似的结论――略微高于考纲要求．所以，知识点范围被限制并不表明知识点的要求会被精确控制．

（3） 注意解决问题的方法策略．2007第18题表明命题人非常想让你通过求“对立事件”的概率而不是直接从正面突破来计算答案，从正面计算答案会增加试题对你个人的相对难度．这是知识点在运用策略或方法上的隐性难度．

（4） 年度平均难度发展的趋势，请看下面的折线图：（图2）

如果继续是保持“波动”的话，2008年的平均难度应该是比2007年高一点．

4增加试题难度的因素分析

首先，总的来讲，现在真正在生活和科学研究中发挥重大作用的是基于对大量随机现象进行描述和分析的“数理统计”，不是“概率”．而且，基于“概率论与数理统计”的数据分析过程对“概率的计算技巧”要求也并不高，甚至只是“算法”的．这一点在课标中已得到明确阐述．

其次，我们把难度因素分为两类：关于知识点的和关于试题的，二者是局部和整体的关系，这种分类只是便于说明问题，没有特别的意义．

关于知识点的难度因素：

（1） 提高知识点“行为动词”的实际要求水平（简称“知识要求”）．比如2007的第18（Ⅰ）题 对“互斥事件”的实际要求就略高于考纲期望要求．

（2） 设置比较生疏、复杂的情景或背景2（简称“背景”）使知识点所对应的数学模型难以被提取或者抽象出来．比如2006第18（Ⅰ）题，将“独立重复试验”这一模型从题目情境中提取或抽象出来就很不直观；该题如果使用“分类”和“分步”两个计数原理，思路虽然简单，但“分析”其中的各种情况却比较复杂．所以，“生疏”和“复杂”都是增加“概率”试题难度的手段，其中涉及的“分析”或“讨论”两个解题行为基本是在新课标关于“知识与技能”的第三水平展开的，不是考纲中要求的第二水平，请特别留意．

（3） 改变考查知识点的视角（简称“考查视角”）

例如：分布列的“反向考查”――给出随机变量全部分布列的一部分，然后求它取某一具体值或取值范围的概率．比如下表，给出ξ全部分布列的一部分，求1）随机变量ξ取3的概率．

这种手法在2007年全国卷（Ⅱ）第18题（Ⅰ）考查“等可能事件”中出现过，重庆四年来的“概率与统计”试题中还未出现过类似思维．

关于试题的难度因素：

（4） 在同一道试题中增加知识点含量2（简称“知识含量”）．比如，2004年第18题涉及四个知识点；2005年第18题涉及五个知识点．

（5） 选择恰当的解题方法（简称“方法选择”）．比如前面已经介绍的2007第18题，求“对立事件”的概率将使问题变得简单，否则正面求解会花很多时间．

本部分的特殊难度因素：

（6） 整理知识体系，为今后的学习做一些渗透或铺垫（简称“知识整理”）

例如：还是上题（表9）的条件，求2）ξ取值在区间［2，4］上的概率；3）ξ在区间［2，4］上的期望值．当然，试题很可能会赋予分布列以实际意义．

为什么会有上述想法呢？首先，从大学课程“概率论与数理统计”的设置看，今后学生（无论是纯数学还是与数学有关的经济学、管理学、统计学等）都要接触“连续型随机变量的概率密度（函数）”概念．但求连续型随机变量在某个“点”上的概率是没有意义的――都是零，因而，连续型随机变量的概率都是在区间而非“点”上讨论的．为了让学生有全面的认识，同时也为学习连续型随机变量增加一点必要的过渡，命题人有理由设计上述考法．其次，从测试的角度来讲，考查离散型随机变量在某个“小范围”内的概率或数学期望比在“整个范围”内更经济，因为它在效度得以保证的前提下减少了运算量，符合命题的经济性原则．

那么四年来六种难度因素出现的频数如何呢？

在下面的研究中，我们约定：对“知识要求”因素，我们统计试题中知识点的实际难度水平超过期望水平的次数；对“背景”因素，我们统计使用“社会公共知识”或“学科情景”2作为情景的次数，因为一般学生对二者比较生疏；对“考查视角”因素，我们统计使用“反向考查”或“侧面考查”知识点的次数；对“知识含量”因素，统计一道试题涉及的知识点超过4个（含）的次数；对“方法选择”因素，统计存在多种解决方法且解法难度有差别的题目出现的次数；对“知识整理”因素，统计存在“知识整理”现象的题目出现的次数．结果请看下图3：

上图显示，“知识要求”和“背景”是重庆实现试题难度的两个最常用因素，“方法选择”次之；“考查视角”和“知识整理”还没有使用过．相比之下，重庆命题主要靠提高知识点的“质”性难度而较少使用增加知识点含量等“量”性措施来体现难度！

总之，透过对“概率与统计”部分命题特点的分析，我们认为，重庆市四年来试题的方向、重点都是清晰而明确的，其难度也是稳定的．认真理解和把握渗透在试题中的“方向和重点”，进行有针对性的准备是切实减轻学习负担、提高备考质量的关键．

参考文献

1． 严士健，张奠宙，王尚志．普通高中数学标准（实验）解读．江苏教育出版社，2004

2鲍建生．中英两国初中数学课程综合难度的比较研究［D］．博士论文．华东师范大学出版社，2002

32004-2007重庆市高考数学试卷（理科）

4史宁中，孔凡哲，李淑文．课程难度模型．我国义务教育几何课程难度的对比．东北师范大学报（哲学社会科学版），2005（6）

5教育部．普通高中数学课程标准（实验稿）

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