买权―卖权―期货平价理论数学模型分析

【摘 要】 本文分别对持有成本理论数学模型及买权-卖权-平价理论数学模型做了分析讨论，结果表明：对同一标的的资产、相同履约价格与相同到期日的买权与卖权而言，在任何时间买权减去与之相对价格应该等于当时股价减去履约价格的折现，否则会有无风险套利机会的产生。

【关键词】 买权；卖权；期货评价理论；数学模型

一、引言

近些年来，由于政府积极采取对外开放政策，外国人和专业投资机构参与国内证券期货市场，使得衍生性金融市场规模日益扩大，投资者对股市投资避险工具的需求日益迫切。期货与选择权两者之间是否存在套利关系、两者所形成的市场是否具有效率性，是一个很重要的议题。基于此，本文将分别对持有成本理论数学模型及买权―卖权―平价理论数学模型作一探讨，希望能利用此理论可以去检测各国期货市场是否存在套利机会与市场效率性。

二、模型构建与分析

1、持有成本理论数学模型

持有成本理论数学模型是由Cornell and French及Modest and Soundaresan所提出，利用期货价格决定预期契约标的物的商品现货价格，以及持有该现货商品至期货契约交割日之间的持有成本。因此，持有成本在均衡时，期货价格会与现货价格、现货持有成本维持一定的均衡关系，由此确定指数期货的理论价格。建立此数学模型需做如下的假设：

第一，无税收负担及交易成本；第二，借贷利率相等；第三，没有每天清算的风险；第四，股票可无限制的卖空；第五，股利的发放时间与数量确定，无股利不确定风险；第六，在契约存续期间股价指数的计算方式及各股权数不变；第七，现货证券可完全分割。

为了推导出持有成本数学模型，我们考虑利用短部位避险套利，卖出期货、买入现货和借入现金来使到期日的现金流量为零，而在没有套利情况发生下，此交易到期日现金流量为零，我们则可推算出期货、买入现货和借入现金，在初期所产生的现金流量也就相等。反之，买入期货和卖出现货、存入现金有相同的结果。

由蔡义蕙的研究可知，期货价格等于现货价格加上持有该现货至期货到期日的利息。所以当不相等时，就会出现套利现象。

表1中，每一种交易方式，其价格在到期日时必须一致，否则将可通过买低卖高的方式，来获取无风险套利利润。再买入期货和卖出现货在到期日所产生的现金流量相同，否则会有套利机会存在。同理，在第二种交易方式的两个策略下，所产生的结果相同。

表1 期货价格和现货价格关系

Table 1 relationship between futures prices and spot prices

交易 t期现金流量 T期现金流量

短部位避险套利

卖出期货

买入现货

借入 0

-S

F0-S*

S*+D

-F0-D

合计 -S+ 0

长部位避险套利

买入现货

卖出期货

存入 0

S

- S*-F0

-S*-D

F0+D

合计 S- 0

资料来源：钱怡成的股价指数期货与现货价格关联性研究

由表1得：

（1）

这里，S为t时期买现货所付出的价值，F0表示T时期的期货价值；D为距到期日所产生股利的折现值。所以，将上式整理后，可得期货理论价格为：

（2）

2、买权―卖权平价理论数学模型

买权―卖权平价理论数学模型最早是由Stoll（1969）所建立，其认为相对的买权与卖权价格差异等于股票价格减去折现的履约价格。即对同一标的物而言，若买权与卖权有相同的履约价格与相同的到期日时，则两者之间会存在关系式：

C-P=S-K-rt （3）

这里，C为T时间选择权之买权价格；P为T时间选择权之卖权价格；K为该选择权的履约价格；S为T时间选择权标的物的市价；T为选择权距离到期日的天数。

由康登杰（2004）的选择权套利效率性研究得知，该关系式假设在没有股利发放、交易成本及放空限制下，若买权―卖权平价关系成立。则表示市场是有效率且不存在套利机会。Stoll所提出的买权―卖权平价理论数学模型为建构一投资组，在到期日T时，该组合的价值如：

（4）

该组合现值正好等同于欧式买权现值，即C-P=S-K-rt。

三、结论

该数学理论模型认为：对同一标的的资产、相同履约价格与相同到期日的买权与卖权而言，在任何时间买权减去与之相对价格应该等于当时股价减去履约价格的折现，否则会有无风险套利机会的产生。

【参考文献】

[1] Ackert， Lucy F. and Yisong S. Tian， “The Introduction of Toronto Index Participation Units and Arbitrage Opportunities in the Toronto 35 Index Option Market”[J].Journal of Derivatives，1998，5（4），44-53.

[2] Stoll， Hans“The Relationship between Put and Call Option Prices”，Journal Finance，1996，21，801-824.

[3] Fung，J.K.W and Mok，H.M.K，“Index Options-Futures Abitrage：Acomparative Study with Bid and Transaction Data”，The Financial Review，2001，36，71-94.

[4] 陈纲.选择权效率市场研究[D].台中：亚洲大学经营管理研究所研究生论文.2007.7.

【作者简介】

郑丽琴（1986.01-）女，甘肃天水人，陕西学前师范学院数学系，硕士研究生，研究方向：应用数学.