例析“直线关于直线对称”问题

高中数学解析几何《直线方程》部分涉及点关于点、直线关于点、点关于直线、直线关于直线对称四类问题，现就个人在教学中有关直线关于直线对称问题加以分析：

（一）求已知直线与对称轴平行的直线方程

例 求已知直线L1：2x+3y-4=0关于直线2x+3y-6=0的对称直线L的方程。

解：由题意知：L1与对称直线2x+3y-6=0平行

可设其对称直线的方程为2x+3y+C=0

L1到2x+3y-6=0的距离等于L到对2x+3y-6=0的距离

所求直线L的方程为：2x+3y-8=0

评析：此题为求已知直线与对称轴平行的对称问题，解题时，只需利用平面几何知识，即平行间的距离相等便能使问题得到解决。

（二）求已知直线与对称轴相交的直线方程

例 求已知直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0的对称直线L的方程。

解法1：由x-y-1=02x-y=0得x=-1y=-2

（-1，-2）为两已知直线交点，且（-1，-2）也在直线L上。设所求直线L的斜率为k，则：

所求直线L的方程为y+2=7（x+1）即为：7x-y+5=0

解法2：由解法1知交点为（-1，-2），在L1：x-y-1=0上设其一点为（1，0），则（1，0）关于2x-y=0对称点B（x0，y0）

即：直线L1：x-y-1=0关于直线2x-y=0对称直线L的方程为

7x-y+5=0

解法3：设所求直线L上任意一点P（x0，y0），P点关于2x-y=0的对称点为P1（x1，y1），则P1在直线x-y-1=0上。

即：7x-y+5=0为所求直线L的方程

评析：此类问题为求已知直线与对称轴相交的直线方程，方法有3种，各有优势。其中第1种解法是由轴对称性质，对称轴与两条直线夹角相等，然后使用到角公式求出直线斜率，再利用点斜式求出所求直线方程；第二种方法是在已知直线上任找一点（特殊点也可），从而求出该点关于定直线的对称点，然后根据两点式求出直线方程，充分利用垂直平分来求解对称的直线方程；第三种方法由两条直线关于定直线对称，则这两条直线中任何一条直线上任意一点关于对称轴的点必在另一条直线上，对称轴是这两点的中垂线，由此可写出两点坐标间的关系式，用代入法求出直线方程。综合三种解法，第1、2种较为简单，运算量较小，但第三种方法很复杂，而且运算量较大，但此法即代入法求直线方程是我们学习解析几何时常用的方法，如求点的轨迹方程等，应值得注意。

综上所述，求直线关于直线对称的方程时，首先分清已知直线和对称轴的关系，若平行则所求直线与对称轴也是平行的，斜率就相等，再根据所成距离相等，可以求出相应的直线方程；若已知直线和对称轴是相交的，则可以求交点，再根据所成角相等，求出斜率，或选取特殊点或求对称点等，由点斜式或两点式求出相对应的直线方程。

（作者单位：陕西省渭南铁二处中学）