浅议“平淡”解法背后的“不平淡”解法

现行课本中的一些例题的选取，是本着贴近生活，适合本年龄段学生较为熟悉、浅显易懂的原则进行选材的，这些问题的解法也显得简单通俗。所以，也给人以“平淡”的感觉。我们为了提升学生的解题能力，必须在“平淡”的基础上深入钻研，挖掘其背后“不平淡”的解法。下面以七年级上册P88的一个问题的解决为例展开我们的话题。

把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分了3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本。这个班有多少学生？

课本上对该问题做了如下分析和解答：

设这个班有x名学生，每人分3本，共分出3x本，加上剩余20本，这批书共（3x+20）本。每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共有（4x-25）本，这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等。根据这一相等关系列得方程：

3x+20=4x-25 （A）？圯x=45

在肯定上述解法的基础上，我们又进行了一番新的探索。试图从中能“淘”出一些“金子”来。于是对方程（A）先进行合理变形，看看其中还能透露出什么新信息。

由3x+20=4x-25可得3x+20=3x+（x-5）。此时，我的眼睛一亮，有些兴奋。感觉原先问题的语句可否换一种方式去叙述：“……如果每人分3本，那么剩余20本；如果每人先分3本，然后再每人分1本，那么仍差25本……”按照这种说法，我们又可得出一种更加简便的列方程方法。即：

设这个班有x名学生，由于在两种不同的“每人分3本”的情形下，其剩余部分的数量应该是相同的，根据这一相等关系立刻得出如下方程：

x-25=20 （B） 解得：x=45

受到此解法的引导，我们相仿地还可布列与之类似的方程，我们依然对方程（A）进行另一种变形。即：

由3x+20=4x-25。得出：4x-（x-20）=4x-25，眼前这个等式用文字语言表达应该是这样的：“……每人分3本，实际上可看作先每人分4本，然后再每人从中抽回一本的话，它还缺少20本，同样，若每人一次性分4本，则另少25本……”依照每人分4本的情形，出现了两种不同的说法。在这个前提下，其余部分必然是完全相同的，于是，新的方程列法展示如下：x-20=25 （C）。

当我们挖出这些“宝贝”后，意犹未尽，重新审视原题，按每人分3本后，显现一种情形，而依每人分4本，又展现另一种情景，这两种办法，每人仅相差1本。前一种分法尚有剩余，后一种分法还短缺一些。这一余一缺之间整整相差（20+25）本，于是头脑里马上又涌出一种新的布列方程的想法，即，

设这个班有x名学生，根据题意可得：

4x-3x=25+20 （D）

甚至直接列成：1x=25+20 （E）

从对方程（A）的变形角度来验证是完全可以讲得通的，至此，我们对于该问题中用直接设未知数法获得的“不平淡”解法。

停顿片刻后，我们突然又转向用间接设未知数可否找出另外的列方程方法呢？经冷静思考后，我们终于寻觅到了，即，

设这批图书的总数为x本，由题意知：

■=■（F）

写到这儿，我们松了一口气，总算在列方程方面有了一些收获，同时又有意外的惊喜，因为通过对方程（B）（C）（D）（E）中的任何一个当中，直接观摩到这个班的学生人数为45人。以此为起点，再观摩方程（A）：3x+20=4x-25，此方程中又向我们透露了这批图书数目的信息，即它必然是5的倍数，具体理由是：从方程是左边看，此数不能被3整除，其剩余为5的偶数倍，再从方程右边观察，此数也不能被4整除，况且它的多项式中的常数项为5的奇数倍。再结合已经显露的学生人数为45，我们无论从方程（A）的左边或右边，均可计算到这批图书的总数约在100到200之间。再往后分析，不管从方程（A）的哪一边来看，这批图书的数量应该是5的奇数倍。就拿4x-25这个多项式为例，4x的值为偶数，后面的常数为奇数，其差必为奇数。到此为止，我们更进一步粗略估计这批图书的数目是在100至200之间的5的奇数倍。于是，在我们不解方程的前提下，可以预测其答案的大致范围，使我们心中减少了盲目性。这难道不是我们的另一份收获吗？

好了，应该到停笔的时候了，不过我还想唠叨一句，原题中有小小的一处文字上的失误。这便是其关联词使用中犯了“文白夹杂”的错误。从文言文的角度上讲，假设关系的语句中，一般正确用法是“若……则……”，而白话文中的关联词正确用法是“如果……那么……”，而本题的表述却为“如果……则……”，是一个不文不白不伦不类的“混血儿”。作为教科书来讲，传递了一种不正确的知识。虽然是数学教材，也不应该忽视这个错误。我们应该像数学这门学科一样严谨、科学地对待视图的语言文字，维护其严肃性、权威性、规范性。或许上述话语有吹毛求疵之嫌，敬请大家对我们的小题大做予以斧正！

（作者单位：新疆生产建设兵团第三师第一中学）