基于粗糙集和模糊C均值聚类对噪声图像分割

摘要：针对含有噪声的低对比度图像，运用了粗糙集理论中的不可分辨关系进行分类，去除噪声，保留边缘。应用局部的模糊增强算法，提升了图像的整体对比度，保留了像素的隶属度，有利于模糊C均值聚类分割，实验实现了很好的分割效果。

关键词：粗集分类；梯度图像； 插值滤波； 模糊分割

中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2016）35-0195-03

Noisy Image Segmentation Base on Rough Set and Fuzzy C-Means Clustering Combination

LI Yun-song， LI Xiao-jie， CHEN Ya-kun， MAO Rui

（Electronic Information Department，Zhengzhou Electronic Power College， Zhengzhou 450004， China）

Abstract：The paper presents an image segmentation method， which utilizes the indiscernibility relation of rough sets to carry on a reasonable classification about a low contrast noise image. Not only it is effective to restrain the noise， but also it preserves the edge details of image. The whole image contrast can be promoted by the fuzzy enhancement. As the same time， the kept membership is benefited to FCM segmentation. The experiment results show the enhancement image is well segmented.

Key words： rough sets classification； gradient image； interpolation filtering； fuzzy segmentation

图像分割就是把图像分成若干个特定的、具有独特性质的区域并提出感兴趣目标的技术和过程，它是图像处理到图像分析的关键步骤。模糊C-均值聚类算法按照样本点在特征空间的聚集对图像进行分割，但对于含有噪声的图像，其噪声信息和真实信息一同处理时，鲁棒性较差，不能把噪声图像进行正确的分割。

图像分割算法大都是针对具体问题的，并没有一种适合于所有图像的通用的分割算法。近年来，随着通过各种新理论和新技术结合图像分割不断取得突破和进展。其中基于知识分类机制的粗糙集理论，运用不可分辨关系、上近似c下近似和属性决策等与模糊C-均值聚类结合对图像进行分割，已取得好的分割效果。如张朝全[4]等运用粗糙集理论不可分辨关系和近似空间概念对图像进行平滑处理，有效去除噪声后，结合模糊C-均值聚类分割图像；李云松[5]运用粗糙集上近似和下近似概念对像素分类，保留了更多的图像边缘细节后，结合模糊C-均值聚类分割图像。

本文提出的噪声图像分割算法，是结合粗糙集理论的不可分辨关系按照像素的梯度值对图像分类，但因为图像的噪声和边缘梯度值都比较大，对分类后的图像用模糊C-均值聚类分割时，图像的边缘细节模糊不清。因此本文首先对分类的像素进行插值滤波和模糊增强，保留了图像的弱边缘细节，再利用模糊C-均值聚类算法取得很好的分割效果。

1 图像的粗集分类

1.1 粗集分类的基本概念

粗糙集是波兰理工大学Z.pawlak教授提出用来研究一种处理不精确、不确定和不完全数据的新的数学方法。它可以通过对数据的分析和推理来发现隐含的知识揭示潜在的规律。其主要思想是保持分类能力不变的条件下，通过知识约减，导出问题的决策或分类规则。

粗糙集主要涉及论域[U]、属性集合[R=C?D]、属性值域[V]和从[U×R]到[V]的信息函数[f]。因此，一个信息系统[S]可以表示为一个四元组[S=U， R， V， f]，简记为[S=（U， R）]，也称为知识库。

设[B?R]为一个非空子集，如果[xi，xj∈U]，均有[f（xi，r）=f（xj，r）， ?r∈B]成立，那么，我们称[xi和xj]关于属性子集[B]不可分辨关系，简记为[Ind（B）]，于是[Ind（B）]可以将论域[U]中的元素分成若干等价类，每一个等价类称为知识库的知识颗粒。全体等价类组成的集合记为[U/Ind（B）]，称之为基本集合。若集合[X]可以表示成某些基本集的并时，则称[X]是[B]精确集，否则称为[B]粗糙集。

文中把图像的灰度信息作为知识库[S=（U，R）]，定义条件属性集[C=c1，c2]，[c1]表示图像的梯度属性，[c2]表示图像的噪声属性。按照条件属性定义的不可分辨关系定义为[Rc1]和[Rc2]。

1.2 [c1]子图划分

对一幅噪声图像在某点的灰度值记为[f（x，y）]，改点的梯度值表示为：

[G[f（x，y）]=f（x，y）-f（x+1，y）+][f（x，y）-f（x，y+1）] [（1）]

那么噪声图像可定义为[g（x，y）=G[f（x，y）]]。对于图像的目标和背景区域，其灰度值变化缓慢，梯度值很小；对于图像的边缘和噪声区域，灰度变化较快，梯度值很大。如果图像像素的梯度值大于或等于某个阈值[M]，则图像的像素是关于[Rc1]不可分辨的，即属于不精确的类，子图[Rc1]定义为：

[Rc1（f（x，y））=f（x，y）|g（x，y）≥M] [（2）]

[Rc1]表示梯度值较大的像素[f（x，y）]组成的集合，即图像的边缘和噪声区域。

1.3 [c2]子图划分

以像素[f（x，y）]为中心取一个[3×3]的滑动窗口，窗口中心像素外的任一点的灰度值为[f（x'，y'）]，若满足：

[ε（x，y）=f（x，y）-f（x'，y'）>T] [3]

的像素个数为6个以上，则[f（x，y）]为噪声像素，其中[T]是阈值。不可分辨关系关系[Rc2]定义为：

[Rc2（f（x，y））=?{f（x，y）|ε（x，y）>T}] （4）

[Rc2（f（x，y））]即为图像的噪声区域。

通过图像的梯度属性，确定了图像的边缘像素和噪声像素，两者是不可分辨的。通过噪声傩裕确定了图像的噪声像素，分离了边缘像素。为了图像的精确分割，因此要对图像进行降噪和提升对比度处理。

1.4 图像插值滤波

通过噪声属性，确定了图像噪声像素的特性，对子图[Rc1]进行线性插值滤波，定义[5×5]的滑动窗口，中心像素的灰度值为0，可以把噪声像素直接丢弃，用周围24点的权值进行线性插值，离中心点越远的地方，权值越小，因此取得比较好的滤波效果。滑动窗口为：

[1116×2454246864580854686424542]

插值滤波不仅去除了图像的噪声，而且保留了图像的边缘，但滤波后的图像对比度较低，还有进行适度的增强，运用模糊增强算法有利于模糊C-均值聚类对图像的分割。

1.5 图像的模糊增强

对于增强后的低对比度图像，用 [X]表示图像的模糊集，每个像素对于一个隶属函数，则图像映射为模糊矩阵[I]。

[I=m=1Mn=1Nμmnxmn] （5）

其中[μmnxmn]表示图像素点[（m，n）]的灰度值[xmn]的隶属度，[μmn∈[0，1]]。

（1）图像模糊隶属度的计算

[μmn=00≤xmn≤a（xmn-a）2（b-a）（c-a）a≤xmn≤b1-（xmn-c）2（c-b）（c-a）b≤xmn≤c1xmn≥c] （6）

[a，c]对应图像最小和最大灰度值，参数[b]是指下面计算公式所得模糊熵的最大值：[b=argmax{En（xmn；a，b，c）|a

[En（xmn）=1M×Nm=1Mn=1N（-μmnlog2μmn-（1-μmn）log2（1-μmn））] （7）

（2）边缘均值[μmn]计算：

[μmn=（m，n）∈xmnμmn×Kμmn（m，n）∈xmnKμmn] （8）

[Kμmn]是梯度值较大的图像边缘点。对于图像的目标和背景平坦区域，灰度值很小，可令[μmn=0]，分割时看到的是整块区域，不影响目标的识别。但对梯度值较大的边缘点两边的像素对比度有较大的提升。

（3）归一化模糊对比度：

[Fc=μmn-μmnμmn+μmn] （9）

[μmn-μmn]是模糊对比度，[Fc]是归一化处理的结果。

（4）模糊对比度非线性变换

[Fc'=Ψ（Fc）] （10）

为了有效提升图像边缘两侧的对比度，[Ψ（?）]运用凸变换函数，并且满足[Ψ（0）=0，Ψ（1）=1，Ψ（x）>x]；这里应用对数函数[Ψ（x）=ln（1+kx）ln（1+k）]满足实际的要求。

（5）计算图像对比度提升后隶属度[μ'mn]

[μ'mn=μmn×1-Fc'1+Fc'ifμmnμmn] （11）

2图像的模糊C-均值聚类分割

模糊C均值聚类算法（[FCM]）是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种聚类算法。[FCM]把[n]个向量 [X=x1，x2，…，xn∈Rpn]分为[c]类，并求每类的聚类中心，使得非相似性指标的价值函数达到最小。[X]中任意样本[xk]对[i]类的隶属度为[uik]，分类结果可以用一个模糊隶属矩阵[U=uik∈Rcn]

表示，满足：[uik∈[0，1]，1≤i≤c；1≤k≤ni=1cuik=1，1≤k≤nk=1nuik>0，1≤i≤c] （12）

FCM聚类是通过最小化隶属度矩阵[U]和聚类中心[V]的目标函数 [Jm（u，v）]来实现的：

[JmU，V：X=i=1ck=1nuikmxk-viA2] （13）

式中[U=uik]为满足条件（1）的隶属度矩阵，[V=v1，v2，…vc]为[c]个聚类中心点集，[2≤c≤n]。[m∈[1，∞）]为加权指数，通常[m=2]是比较理想的取值。[FCM]是通过反复迭代优化目标函数式（13），即执行如下步骤：

（1）聚类中心[V=v1，v2，…vc]初始化。

（2）计算隶属矩阵

[uik=1j=1cxk-viAxk-vjA2/（m-1）] （14）

（3）更新聚类中心：

[vi=k=1n（uik）mxkk=1n（uik）m] （15）

（4）重复步骤（13），（14）直至式（15）收敛。

由式（11）知，图像在模糊增强时，确定了新的像素灰度隶属度[μ'mn]，因此可以确定新的聚类中心为：

[v'i=k=1n（u'ik）mxkk=1n（u'ik）m] （16）

根据模糊C-均值聚类算法，重复步骤（11），（13）直至式（16）收敛即，可以把增强的图像进行模糊C-均值聚类分割。

3 实验结果与分析

本文用标准的[FCM]算法，去噪增强后的[FCM]算法对两种类型图像对比实验研究。图1对一幅 [256×256]人工合成含噪图像进行分割，按照合成的像素灰度值的大小。分割时聚类数取[c=4]。对比分析结果， FCM算法对噪声图像分割时，不能有效的去除噪声，分割模糊不清。本文的方法运用插值滤波抑制了噪声的干扰，运用模糊增强提升了图像的对比度，分割Y果显示了良好的抗噪性。

图2按照辣椒的种类，形状，亮度和色度将其分类，此时[c=5]。由于增加的噪声改变了标准的FCM算法聚类中心，从图2- b中可以发现不仅没有很好的抑制噪声，而且在许多地方进行了错误的分类。例如，右上角辣椒的形状不可分辨清楚，图像的对比度没有得到有效的提升，导致分割图像的目标和背景相互融合，明暗程度无法细致区分。本文的方法对微小细节有更好的分类能力，可以看到直辣椒和圆辣椒在c图中细节分类的准确性。

4结论

本文引入了粗糙集理论中的不可分辨关系，按照像素的梯度值对图像进行分类，不仅图像的噪声像素得到有效的滤除，同时图像的边缘细节得到，为图像的局部模糊对比度的提升做好铺垫，模糊隶属度的计算为模糊C-均值聚类分割减少了迭代次数，图像分割更加方便易行。本文的方法是粗集理论和模糊C-均值聚类的综合运用，随着粗集理论的完善，这种研究必将深入。

参考文献：

[1] A. Polesel G. Ramponi， Mathews V J， Image enhancement via adaptive unsharp masking [J]， IEEE Trans. Image Processing， 2000， 9（3）：505-510.

[2]Gachenheimer L.Cayon R. Reifenberger. Analysis of Scanning probe microscope images using wavelets [J]. Ultra microscopy， 2006， 106（4）：389-397.

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[5] 李云松，冯玉东，张国锋. 基于快速模糊均值聚类的图像粗集分割[J].兰州理工大学学报，2013，39（1）：92-96.