直线的对称问题

通过多年教学发现，对称问题使学生们理解的一个难点，经常犯晕。从一个函数的自对称，两个函数的互对称，到直线的对称问题，再到以后的曲线对称问题，对学生来说当时有可能明白了，可过后就晕了，经常碰到学生问对称问题，学生不知从何处入手。究其原因笔者认为是学生们思考太少，没有发挥自己的主动性，没弄清问题的来龙去脉，其实好多问题学生自己可以发现，自己解决，这样就牢记于心了！下面我们就来探讨一下直线的对称问题。

直线对称问题一般分为中心对称和轴对称两大类问题，其实这类问题学生的思路很开阔，我们本文就展示学生的解题思路，我们先看看中心对称问题。

例1求点A（-1,2）关于点B（2,1）的对称点的坐标

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学生甲：在向量那章我们学了中点坐标公式，设点A关于点B的对称点为点C ，则B为A,C的中点，由中点坐标公式易知C(5,0).

例2 求直线2x+y+1=0关于点A（1,2）对称的直线方程

方法一：学生乙：两点确定一条直线，在直线l上任取两点B，C,则其关于点A的对称点B＇,C＇在所求的直线上，由两点式写出所求直线方程。如取B（0,1）,C（-1,1）,由例1方程酸的B（2,5）,C（3,3）,故所求方程为2x+y-9=0

方法二：学生丙：由图可知所求直线与已知直线平行，故可设所求直线为2x+y+m=0（m≠1）点（1,2）到两直线的距离等

=?圯m=-9

所求直线方程为2x+y-9=0

这时老师点评：由于上述两位同学抓住了直线这一特殊性，提出两种解决方案，很好！要是题中的直线变为曲线，又怎么求呢？这里我给大家介绍一种方法，（引起全班同足额注意）称为相关点法，不仅对这个题的直线适用，对以后的曲线对称也适用。

方法三：设所求直线上任一点为（x，y）则（x，y）关于（1，2）对称的点（2-x，4-y）在直线2x+y+1=0上，将（2-x，4-y）代人2x+y+1=0中得2（2-x）+（4-y）+1=0

即所求直线方程为2x+y-9=0

问题设置：轴对称问题

例3求点A（-3，5）关于直线l：3x-4y+4=0的对称点A的坐标

学生丁突然站起来说，老师通过画图，我有思路了，就是直线AA＇与已知直线垂直，AA＇ 的中点在已知直线上，两方程两未知数可得A＇坐标，具体如下：

解：设A关于直线l：3x-4y+4=0的对称点为A＇（x，y），则直线l为线段AA＇的垂直平分线，则由=-3-4+4=0解得x=3y=-3解A＇坐标为（3，-3）

老是说：很好，这个同学观察仔细，下面看看这道拓展题，谁能很快算出结果

拓展：（1）点（x0，y0）关于直线y=x+m对称的点为

（2）点（x0，y0）关于直线y=-x+m对称的点为

一同学举手回答：（1）（y0-m,x0+m） （2）（m-y0,m+x0）

这位同学算的又快又准，大家仔细观察比较拓展题，发现什么规律了没？想想我们初中学的点关于直线y=x对称的点坐标。有同学恍然大悟。下面同学们利用这个规律，很快计算这道题：

变式：一光线经过点P（2,3）射到直线l：x+y+1=0上反射后穿过点Q（1,1），求射入光线和反射光线的方程

解：入射光线的方程为5x-4y+2=0；反射光线的方程为4x-5y+1=0

例4求直线l1：2x-2y+1=0关于直线l：3x-2y+1=0对称的直线l2的对称点A＇，B＇在所求直线l2上，利用例3就可求得！比如取A（-，0），B（1，）

法二：另一同学举手补充：没必要求两个点，所求直线过两条已知直线的交点P（0，）所以只需l1上另找一个点就可，节省了计算器！

这两个同学的回答完全正确，建立在我们刚刚例3的基础上，后者更是简化了计算，同时体现了数形结合思想的作用！

法三：有同学又说有相关点法也可以解决！

对这是毫无疑问的！最后没想到又有一个同学提出来一种方法：到角公式

法四：设l1的斜率为k2，由题可知l1到l得角和l到l2的角相等，由到角公式可得

=解得k2=，又l2过l与l1的交点2x-2y+1=03x-2y+1=0得x=0y=

则l2为y-=（x-0）?圯34x-14y+7=0

由此看来，学生自己能解决的让自己解决，充分相信学生，教学效果会更好！

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文