直线与圆锥曲线的综合问题

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）24-0102-02

两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，发现用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线，当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线都是平面与圆锥相交的产物。通常我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的综合问题，通常涉及直线与圆锥曲线的位置关系，体现为直线与圆锥曲线相切与相交问题，可以采用几何方法或代数方法来求解。

一、直线与圆的综合问题

圆是到定点距离等于定长的动点的轨迹，圆有两个基本量：圆心、半径。直线与圆的综合问题可以用代数法和几何法求解，一般情况下，利用几何法求解直线与圆的综合问题比较简便明了。

例1：已知圆O：x2+y2=4。（1）求过点A（-1，）的圆的切线方程；（2）求过点（1，2）的圆的切线方程。

这时直线与圆的切线问题，切线问题通常涉及两种题型：已知切点；未知切点。已知圆心O（0，0），半径为2。第一小题点A（-1，）是切点，求得直线OA的斜率为-，因为直线OA与切线垂直，则切线的斜率为，可得切线方程为x-y+4=0。第二小题点（1，2）不是切点，这时就要利用圆心到切线的距离等于半径这一特征，可设切线的斜率为k，利用点到直线的距离公式，易得k=0或k=-，即切线方程为y=2或4x+3y-10=0。要注意假设直线的斜率时，要考虑直线的斜率是否存在的情况。

例2：已知圆O：x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的斜率为-1，直线l与圆交于A、B两点，求线段AB的长。

直线与圆的弦长问题须借助垂径定理，运用弦心距（即圆心到弦的距离）、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算。已知圆心O（0，0），半径为2，圆心到直线AB：x+y=1的距离为，从而根据勾股定理，可得|AB|=。直线与圆的弦长问题中，上述直角三角形是关键，本质上是直角三角形中的三个量的相互转化，是数形结合思想的应用，体现转化与化归的数学思想。

二、直线与椭圆、双曲线及抛物线的综合问题

例3：已知直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系问题，主要涉及方程的思想和韦达定理。第一小题是直线与抛物线的切线问题，由y=x+b、x2=4y联立方程组，得x2-4x-4b=0，则=16+16b=0，解得b=-1。直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系，通常转化为一元二次方程的解的个数问题，利用判别式与0的大小关系来判断解的个数，进而判断直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系。第二小题是直线与圆的切线问题，求得圆心A（2，1），半径为2，则圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=4。两题均为切线问题，却体现了两种截然不同的解题思路，一个是代数方法，另一个是几何方法，都是数形结合思想的应用，一个是几何问题代数化，另一个是代数问题几何化。

例4：已知直线l：y=kx+m与双曲线C：x2-3y2=3交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数的取值范围。

此题是直线与双曲线的相交问题，涉及弦的中点问题，又是取值范围问题，综合性较强。圆锥曲线中最值与取值范围问题是解析几何的核心问题，是常考点之一。取值范围问题常常与不等式有关，求特定字母的取值范围时，可首先考虑利用题目给出的几何元素的位置关系以及几何量的代数关系，建立特定字母的不等式，从而求得其取值范围。

根据题意，由y=kx+m、x2-3y2=3，可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，所以1-3k2≠0且 >0，这里因为是求实数m的取值范围，所以将参数m与k分离，则可得m2>3k2-1且1-3k2≠0①。为了求实数m的取值范围，须将参数k转化为参数m，所以须寻找关于参数m与k的方程。易得线段MN的中点B（），由线段MN垂直于线段AB，所以两直线的斜率的乘积等于-1，可得3k2=4m+1。代入①式，得m2-4m>0且4m+1>0，所以实数m的取值范围是（-0.25，0）U（4，+∞）。

最值与取值范围问题的求解需注意两个方面：一是利用判别式的符号可限制参数的取值范围；二是求解目标函数的最值时，要根据解析式的特征灵活选择相应的方法：配方法、均值不等式、导数法等，通常利用前两种方法，因为导数在函数中已经考查，一般不会重复考查。

例5：已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A、B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）。（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线x=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值。

定值、定点等问题是一个热点，其解法充分体现了解析几何的基本思想：运用坐标法逐步将题目条件转化为数学关系式，然后综合运用代数、几何知识化简求值。

第一小题设直线AB的方程为y=kx+2，代入C：x2=4y，得x2-4kx-8=0。设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则有x1x2=-8，直线AO的方程为y=x，直线BD的方程为x=x2，解得交点D的坐标为（x2，），注意得到x1x2=-8及x12=4y1，则有y=-2，所以动点D在定直线y=-2上。第二小题依题意，切线l的斜率存在且不等于0，则切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入C：x2=4y，得x2-4ax-4b=0，由于 =0，得到b=-a2。故切线l的方程为y=ax-a2，分别令y=2，y=-2，得N1、N2的坐标分别为（+a，2），（-+a，-2），利用两点间的距离公式可得|MN2|2-|MN1|2=8，所以|MN2|2-|MN1|2为定值8。

直线与圆锥曲线的综合问题本质上是以直线与圆锥的位置关系（相切或相交）为载体，考查切线、相交线、弦长、最值及取值范围等问题，直线与圆的问题要注意利用直线与圆的图像来辅助解题，而直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题基本上是用代数方法来解题，要注意判别式的取值范围，在有多个参数的情况下，要注意建立参数间的相互联系，从而将多个参数的表达式转化为单个参数的表达式，进而求最值及取值范围。