攻克解析几何的堡垒

解析几何具有代数形式与几何形式，是联系各知识板块的极为重要的工具，是代数知识与几何知识的交汇产物. 高考数学往往在知识板块的交汇处设计试题，突出考查同学们的数学能力. 解析几何方面的试题体现了高考命题改革方向和创新趋势. 解析几何试题的新颖度、灵活度和难度都较大，以致同学们普遍感到不适应. 解析几何是大多数同学难以攻克的一座堡垒. 笔者就学习解析几何过程中经常遇到的四大症结，有针对性地总结攻克策略和方法.

症状一 ＞＞

运算能力不过关

表现涉及直线和圆锥曲线的计算经常算不到底，越算越复杂．

症结尚未熟练掌握直线和圆锥曲线中基本量的性质，经常无法正确应用相关数学公式．

突破之道解析几何问题通常计算量比较大，因为除了本身计算量大以外，还会涉及其他数学公式． 只有熟练掌握直线方程的斜率k及截距b，圆的圆心及半径r，椭圆和双曲线中的a，b，c，e，准线，焦半径及抛物线中的p等基本量的性质，并熟记相关公式及结论，才能攻克解析几何．

例1双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点． 已知

，

，

成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截线段长为4，求双曲线的方程．

解析：（Ⅰ）设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d． 由勾股定理可得（m－d）2＋m2＝（m＋d）2，所以d＝m． tan∠AOF＝，tan∠AOB＝tan（2∠AOF）＝＝． 由倍角公式得＝，解得＝，所以离心率e＝．

（Ⅱ）过F直线方程为y＝－（x－c），与双曲线方程－＝1联立，并将a＝2b，c＝b代入，化简得x2－x＋21＝0． 所以由所截线段长度为4可得到4＝x1-x2＝，结合韦达定理可得4＝，所以b＝3． 故所求的双曲线方程为－＝1．

难于处理知识交汇点

表现遇到解析几何与其他知识交汇的问题不知如何下手．

症结解析几何与其他知识点（向量、数列、不等式、立体几何、导数等）交汇的问题灵活度大，不能达到熟练运用各个知识点的境界．

突破之道关注解析几何与其他知识点综合的常见类型，掌握通性通法．

例2在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－），（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值；

而y1y2＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1，于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，所以k＝±．

（Ⅲ）

2－

2＝x＋y－（x＋y）＝（x-x）＋［（kx1＋1）2－（kx2＋1）2］＝（x1－x2）［（x1＋x2）（k2＋1）＋2k］＝（x1－x2）・． 因为A在第一象限，故x1＞0． 由x1x2＝ －知x2＜0，从而x1－x2＞0． 又k＞0，故

症状三 ＞＞

不注重数学思想的应用

表现遇到需要灵活运用常用数学思想解决解析几何问题时不知所措．

症结基本数学思想掌握不牢固或不能将这些数学思想融入实际的解析几何问题中．

突破之道与圆锥曲线有关的问题，基本上融合了高中数学里四种基本数学思想（转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想及函数与方程思想）． 在思考解析几何问题，要有意识地联想基本数学思想，并能依问题的不同选择不同数学思想．

例3已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（－3，0），一条渐近线的方程是x－2y＝0．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．

解析：（Ⅰ）略．

（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0）． 点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组y＝kx＋m，

－

＝1，消去变量y并整理得（5－4k2）x2－8kmx－4m2－20＝0． 此方程有两个实根，于是5－4k2≠0，且Δ＝（－8km）2＋4（5－4k2）（4m2＋20）＞0． 整理得m2＋5－4k2＞0． ①

由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足x0＝＝，y0＝kx0＋m＝．

从而线段MN的垂直平分线方程为y－＝－x-

将上式代入①式得＋5－4k2＞0，整理得（4k2－5）（4k2－k

逻辑运算能力不强

表现涉及联想、推理、代数论证等逻辑运算的问题无从下手．

症结缺乏系统分析问题和解决问题的能力和逻辑推理能力．

突破之道开阔思路，发散思维，并熟练掌握观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的推理，同时借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．

例4设b＞0，椭圆方程为＋＝1，抛物线方程为x2＝8（y－b）． 如图1所示，过点F（0，b＋2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F1．

（Ⅰ）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（Ⅱ）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

[y][x][F][G][F1][B][A][O]

只有一个．

若以∠APB为直角，设P点坐标为x，

得ABP为直角三角形．