排列组合中某些特殊问题的解决方法

1.有"0"时应该注意的问题

我们都知道"0"很特殊：数字"0"在排列构成整数中不能放在首位；末尾是"0"的数一定是偶数，一定能被10整除等等。因此在有"0"时我们一般要特殊处理，优先考虑"0".

例1：用数字0，2，3，4，5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

分析：由于该三位数为偶数，故末位数字必然为偶数。还要注意的是"0"不能排在首位。所以这里我们将"0"视作特殊元素，应该优先安排，按"0"在末尾和"0"不在末尾分为两类：（1）"0"排末尾时，只需要在剩下的4个数字中选出2个数字排在十位和百位，有A42=12种；（2）"0"不排在末尾时，应该从2，4这两个数字中选出一个排在末尾，然后再从刚才选中的这个数和"0"以外的3个数中选出一个排在百位，最后再从剩下的三个数中选出一个排在十位，故有C12 C13C13=18种。由分类计数原理可知本题的正确答案为30个。

2.若干个数字排列与指定数做比较

这一类问题通常是告诉你某几个数字来排列成一个不重复的几位数，问排出来有多少个数比已知数大；或者问某一个数按大小顺序排出来应该在第几位。针对这类问题我们需要对这个数的每一个数位逐一考察，形如查字典，因此我们把这种方法称为"查字典法"。

例2，用1，2，3，4四个数字无重复数字的四位数，有多少个数比2314大？

分析：（1）首先如果某个数的首位排3或4，那么这个数的后面几个数位无论怎么排都比我们的2314大，这时有2A33=12个；

（2）如果某个数的千位排的是2，它的百位是4，那么这个数后面的十位和个位无论怎么排都比2314大，这时有A22=2个；

（3）如果某个数的千位排的是2，它的百位是3，十位是4那么这个数后面的个位只能是1，它比2314大，这时有1个；

（4）如果某个数的千位排的是2，它的百位是3，十位是1，个位只能是4，它不比2314大，这时有0个。

由分类计数原理可知一共有：2A33+A22+1=15个数满足题意。

这是这一类问题中比较简单一点的问题，有时几种特殊条件综合在一起，需要我们引起高度的重视。比如我们一起来看下面的例3：

例3：用0， 1， 2， 3， 4五个数字组成无重复数字的四位数 ， 若按从小到大排列 ， 3204是第几个数？

分析：这个问题实际上是：看排成的四位数中有多少个比已知数3204小。

解 ：由高位到低位逐级分为 ：

（1） 千位是1或2时 ， 无论后面的三个数位怎么排列都比3204小，这时有A12A34 =48个；

（2）①千位是3时，当百位排0， 1时 ， 后面的两个数位无论怎么排这个数都比3204小，有2A23 =12个； ②千位是3时，当百位排2时 ， 比3204小的仅有3201，有1个。

所以，比3204小的数一共有48+12+1=61个数，3204是第62个数。

3.循环问题

关于这一类问题，一般中学里面不会做深入的研究，但是循环排列在中学竞赛中是有所涉及的。大学里面的初等代数，图论组合课程研究的比较多，这里我们做一个简单的介绍。如果是n个元素循环排列，那么它的排列种数共有（n-1）！ 种。因为我们知道一个循环它是没有固定起点，终点的，排列好后它可以以任何一个元素作为起点，终点也就随之确定。所以它的排列种数为n1/n=（n-1）！。

例：学生6人，教师2人，师生8人围桌而坐，在下面几种约束条件下各有几种不同的坐法？

（1）不加任何限制；

（2）两位教师必须在相邻的位置；

（3）两位教师不相邻。

解：（1）这显然是一个很直接循环排列问题，由题易知有8！/8=（8-1）！=5040种坐法；

（2）这是在循环排列的基础上要求了其中两个元素必须相邻的情况，首先把这两个教师捆在一起作为一个元，则相当于7个元素循环排列，其次两位教师的内部是需要讲顺序的，所以，一共有7！7×2！=1440种；

（3）这是在循环的基础上要求了其中两个元素不相邻的情况，首先把6位学生排列好，则相当于6个元素循环排列，最后两位教师再插空且是需要讲顺序的。所以，一共有6！6×A36=3600种。

当我们看了以上的例题后发现：其实循环排列和一般排列脸有在考虑总体排列情况时存在差别，形如相邻，不相邻这类问题的处理方法是一致的。

4.代数问题的排列组合解法

综观上述可见，运用转化法求解排列组合题，思路明了，趣味横生，有助于发展智力，培养能力。