简析利用均值不等式求最值

数学知识的学习与其他科目最大的不同就在于它有高度的抽象性和概括性.制约数学教学的往往就是学生无法抽象或具体概括地思考问题.这时候，教师可以根据教学内容，合理适当地整合资源，为学生举例具体分析.举例分析要合理，不能超出学生的认知水平，还要能引起学生的兴趣，调动起学生的探究热情和学习的主动性，这样才能比较好的引入探究学习的内容.

不等式是高中数学的一个重要组成部分，是分析、解决有关数学问题的基础与工具.经过实践探索总结后发现，高中数学中关于对不等式的性质的考查部分，主要涉及以下问题：（1）根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立.（2）利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小.（3）利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系.

一般而言，证明不等式的过程就是从条件出发实施一系列的推出变换的过程.解不等式的过程就是施行一系列的等价变换的过程.不等式的解法也不止一种，在此就均值不等式问题进行探讨.

均值不等式是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题.对于有些题目，可以直接利用公式求解.有些题目必须进行必要的变形，才能利用均值不等式求解.

下面就如何利用均值不等式求最值简析几种常用的方法.

1.配凑法

在运用均值不等式解题时，我们经常会遇到题中一些不便于套用公式的地方，或者不便于利用的题设条件，此时需要对题中的式子适当进行配凑变形.“配凑”是一种重要的数学思想方法，以此思想为指引，可以引发出种种解题技巧.

2.整体代换法

整体代换法在代数式求值题中是比较常见的应用方法，主要表现为用与“整体”等值的数、字母或其他代数式来代换“整体”的一种方法，恰当地运用这种方法，可化难为易.

分析：在本题中，由于涉及分式比较复杂，首先让人咋一看觉得头晕眼花，心惊胆战，更不敢轻易尝试.且求证式子较长；证明起来也很容易出错，因此，可以采用整体代换法，证明起来就变得比较简单.证明略.

3.换元法

一般来说，在解高次方程时，都可以使用换元法使方程次数降低.也可以应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用.在解决不等式恒成立问题时，还可以使用“判别式法”.一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点.

以上几个方法只是解不等式最值问题的几种基本方法，学生在遇到具体问题时，还需要具体问题具体分析，以便采用最简单合理的方法正确求解.

高中学生的数学思维习惯基本上已养成，轻易很难改变.但是每个人都渴望得到别人的肯定，高中学生思维活跃，跳跃性强，正是培养惯性逻辑思维能力的最佳时期，数学教师如果能够巧妙合理地运用典型例题，引导学生有针对性地总结几种常见的利用均值不等式求解的方法，可以在一定程度上减少解题的运算量，化繁为简，节省时间.

掌握均值不等式求最值问题的基本方法是一把双刃剑，在为学生解题提供方便的同时，也可能会使学生形成思维定式.采用多种方法激发学生学习数学的热情和创造性思维，会使学生受益终生，但我仍然相信让学生掌握利用均值不等式求最值问题的方法是很有必要的.