基于传播算子的Root-MUSIC算法

摘 要：传播算子(PM)法不需要进行复杂的特征值分解，减小了计算量，但仅在信噪比较高的情况下才有较好的波达方向估计性能，且谱峰搜索仍需要较大计算量。在此基础上提出了一种改进的算法PM-Root-MUSIC，它不需要特征值分解,同时用多项式求根代替谱峰搜索，大大减少了计算量。理论分析和计算机仿真结果表明此方法是有效的。

关键词：传播算子； 波达方向估计； Root-MUSIC； 计算量

中图分类号：TN911.7-34文献标识码：A

文章编号：1004-373X(2011)09-0090-03

Root-MUSIC Algorithm Based on Propagator Method

WANG Xue-meng, WANG Bin

(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China)

Abstract： The propagator method (PM) does not need the complicated eigenvalue decomposition and has less computation, but this algorithm has better performance of the DOA estimation only in the condition of high SNR, and its spectrum search are computationally intensive. An improved algorithm (PM-Root-MUSIC) based on propagator method is proposed to solve the problem. Its computational complexity is greatly reduced by using the method of finding the multinomial root instead of the spectrum search and the eigenvalue decomposition. Theoretical analysis and computer simulation results show that the method is effective.

Keywords： propagator method; DOA; Root-MUSIC; computed amount

0 引 言

信号来向及其空间分布通常称为空间谱，空间谱估计已经是阵列信号处理领域的重要研究方向。传统的波达方向(DOA)估计方法分辨能力受瑞利限的限制，而超分辨技术能够突破瑞利限的限制，实现同一波束内的信号分离。在已提出的超分辨DOA估计算法中，子空间类算法引起诸多研究者的关注，其中经典MUSIC算法［1］性能优良，但需要估计协方差矩阵并对其进行特征分解及谱峰搜索，计算复杂度高。PM算法［2］是一种快速的子空间算法，该算法利用阵列协方差矩阵的子矩阵得到噪声子空间，无需特征分解，减少了计算量。

本文基于PM算法提出了一种改进的快速DOA估计算法，该算法利用阵列协方差矩阵的子矩阵得到传播算子矩阵，进而用多项式求根的形式得到信号的来向。无需特征分解，且无需谱峰搜索，只需估计该子矩阵，因而运算量远小于MUSIC算法，且性能损失较小。

1 信号输出模型及PM法介绍

1.1 窄带信号阵列输出模型

假设有D个远场窄带信号入射到由M个阵元组成的均匀直线阵上，则第i个阵元接收的信号为：

xi(t)=∑D－1k=0sk(t)exp－j2πλ(i－1)dcos θk+ni(t)

(1)

式中：sk(t)为第k个来向信号；λ为信号波长；d为阵元间距；θk为第k个信号的入射角度；ni(t)为加性噪声。

写成矩阵的形式为：

X(t)=A()S(t)+N(t)

(2)

式中：X(t)=［x1(t),x2(t),…,xM(t)］T为阵列输出矢量；A()=［a(1),a(2),…,a(D)］为阵列流形矩阵；a(θk)=

1,exp－j2πλdcos θk,…,exp2πλ(M－1)dcos θkT，k=1,2,…,D，为阵列的导向矢量；S(t)=［s1(t),s2(t),…sD(t)］T为信号矢量；N(t)=［n1(t),n2(t),…,nM(t)］T为加性噪声矢量。

1.2 PM方法介绍

PM方法基于阵列流形矩阵的分解，具体过程如下［3］：

对阵列流形矩阵进行分块:

A=A1A2

(3)

式中：A1为D×D维矩阵；A2为(M－D)×D维矩阵。

当A1为非奇异矩阵时，即A1的D行相互独立，那么A2是A1的线性变换，得到：PHA1=A2，P为传播算子。定义一个M×(M－D)维矩阵Q，令Q=P－IM－D,

式中：－IM－D为(M－D)维单位矩阵，则［2］：QHA=0。

由于P的求解需要源方位信息，在实际应用中，可以通过阵列输出的协方差矩阵估计传播算子，得到传播算子的估计值。首先对阵列输出的协方差矩阵R=E［x(t)xH(t)］进行分块：R=(G,H)，式中:G为协方差矩阵的前D列；H为协方差矩阵的后M－D列。即：G=R(:,1:D)，H=R(:,D+1:M)。

令：

GP=H

(4)

求使H－GP2F最小的解，则可以得到传播算子的估计值：

=(GHG)－1GHH

(5)

=－IM－D

(6)

与方向矩阵正交，所以张成的空间属于噪声空间。对矩阵进行正交化以提高性能，得到矩阵Q，然后用类似MUSIC的方法可以得到波达方向的估计公式：

PPM(θ)=1aH(θ)QQHa(θ)

(7)

在信噪比较高时，PM算法估计精度和MUSIC性能相近。

2 基于PM的root-music算法(PM-Root-MUSIC)

MUSIC算法需要估计协方差矩阵并进行特征分解，运算量很大，使该算法实时实现具有一定难度［4］。PM算法利用阵列协方差矩阵的子矩阵得到噪声子空间，无需对协方差矩阵进行特征分解，而只需得到传播算子矩阵，然后进行谱峰搜索得到信号的波达方向，减少了计算量。本文在此基础上结合Root-MUSIC算法提出了一种改进的快速算法，它既不需特征值分解也避免了谱峰搜索，计算量更少。其算法原理如下：

由阵列输出的协方差矩阵R，根据PM算法得到传播算子的估计矩阵，对其进行正交化以提高性能，得到矩阵Q，矩阵Q即可作为估计的噪声子空间，即UN=Q。

根据Root-MUSIC算法［5］的基本原理，定义一个多项式：

f(z)=pH(z)UNUHNp(z)

(8)

只要求得此多项式的根即可获得有关信号源到达角的信息，由于多项式存在z诚睿这使得求零过程变得复杂，因此将多项式修正为：

f(z)=zM－1pT(z－1)UNUHNp(z)

(9)

将UN=Q代入式(9)得到：

f(z)=zM－1pT(z－1)QQHp(z)

(10)

求出它的D个接近于单位圆上的根即可得到信号的波达方向。

本文算法步骤如下：

(1) 计算采样协方差矩阵R；

(2) 由协方差矩阵R得到传播算子矩阵，对其标准正交化，得到矩阵Q；

(3) 根据式(10)定义多项式，求出多项式的系数，进而求出多项式的根；

(4) 找出D个接近于单位圆上的根，根据式θi=arcsinλ2πdarg{i}，i=1,2,…,D，求出对应的信号源角度。

3 性能分析及计算机仿真结果

3.1 PM方法介绍

下面比较几种算法和本文算法的运算量。Root-MUSIC算法中接收信号的协方差矩阵需要复数乘法次数为O(NM2)［6-7］，对采样协方差矩阵进行特征分解需要复数乘法次数为O(M3)［7］，并且计算量随着阵元数和信号采样点数的增加而急剧增大。PM算法无需特征分解，而标准正交化法计算复杂度为O((M－D)D2)［7］，其谱峰搜索的计算量很大(O(MDJ))且随着搜索精度的提高而急速增大。Root-MUSIC算法用求根代替谱峰搜索，多项式求根的计算量远小于特征分解的计算量［8-9］，也远小于谱峰搜索的计算量。PM算法需要谱峰搜索，Root-MUSIC算法需要特征值分解，而本文算法既不需要特征值分解也无需谱峰搜索，故其计算量大大减少。其中，J表示搜索精度。

3.2 计算机仿真结果

仿真实验基于九元均匀直线阵，d/λ=0.5，来波方位角为45°；由于PM算法在信噪比较低时失效，故设仿真信噪比最低为0 dB。

仿真1:无幅相差时估计方差与信噪比及快拍数的关系。

信噪比为0~30 dB,间隔变化为1 dB，采样点数为100~1 000,间隔为100，Monte-Carlo实验次数为100次，图1采样点数N=500，图2信噪比为10 dB。

图1的仿真结果表明,在10 dB以下本文算法和PM算法性能基本一致，均差于Root-MUSIC算法，高于10 dB时三种算法性能基本相同；图2的仿真结果表明，三种算法的性能都随采样点数的增加而提高，Root-MUSIC算法性能要好于其他两种算法。

图1 三种算法估计方差随信噪比变化比较

图2 三种算法估计方差随采样点数变化比较

仿真2：无幅相差时实验成功概率与信噪比的关系。

信噪比为0~30 dB，间隔变化为1 dB，采样点数N=500，Monte-Carlo实验次数为100次，来波方位角为45°，图3以估计值与实际值的差值的绝对值小于等于0.5为实验成功。

图3 三种算法成功概率随信噪比变化比较

图3的仿真结果表明,在信噪比为5 dB及以下时,本文算法和PM算法成功概率基本一致，它们的成功概率均低于Root-MUSIC算法，高于5 dB时三种算法基本都成功。

仿真3:存在幅相差时估计方差与信噪比的关系。

信噪比为0~30 dB,间隔变化为1 dB，采样点数N=500，Monte-Carlo实验次数为100次，来波方位角为45°，幅度差为0.3 dB，相位差为±10°。

图4的仿真结果表明,在幅相差存在的条件下，三种算法的性能均有所下降，本文算法性能与PM算法性能基本一致，略差于Root-MUSIC算法。

仿真4:存在幅相差时实验成功概率与信噪比的关系。

图4 存在幅相差时估计方差随信噪比变化

信噪比为0~30 dB,间隔变化为1 dB，采样点数N=500，Monte-Carlo实验次数为100次，来波方位角为45°，幅度差为0.3 dB，相位差为±15°。图5以估计值与实际值的差值的绝对值小于等于0.5为实验成功。

图5 存在幅相差时成功概率随信噪比变化

图5的仿真结果表明,存在幅相差时,在信噪比10 dB以下，本文算法和PM算法的成功概率基本一致，它们的成功概率均低于求根MUSIC算法，高于10 dB时三种算法基本都成功。

图5与图3比较可以看出，幅相差存在时三种算法的性能都有所下降，本文算法性能与PM算法性能基本一致，差于Root-MUSIC算法。

4 结 语

本文研究了一种波达方向估计的快速算法。该算法利用阵列协方差矩阵的子矩阵得到传播算子矩阵即噪声子空间，再利用多项式求根的方法代替谱峰搜索得到信号源的角度。该算法无需进行矩阵特征分解，且无需谱峰搜索，大大降低了计算复杂度。当信噪比较高时，算法性能与PM算法和Root-MUSIC算法基本一致，信号信噪比较低时，算法性能下降。计算机仿真结果验证了该算法的有效性。

参考文献

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