让学生思维的严谨性落地生根

[摘 要] 如何培养学生的严谨性思维？笔者通过 “阅读”的途径培养学生审题的能力；经历“三阶段”强化训练，使技能操作实现动力定型；利用比较凸显解决问题本质属性及澄清思维症结. 同时，教师以身作则打造严谨治学氛围，内外兼修，使严谨性在学生思维中落地生根.

[关键词] 严谨性；研读；动力定型；本质属性

创新型思维是数学教育的核心，那么严谨性思维是数学教育的生命底. 可是在这乱花渐欲迷人眼的环境下，严谨性的缺失越发凸显出来. 在学习中由于不严谨而导致的错误频频发生，学生却认为“微不足道”，思想已导致“积重难返”的局面. 差之毫厘，谬以千里. 美国“航天者一号”太空飞船的事件，让人触目惊心之余又给人带来深刻的启示. 是的，无论在生活还是生产中，数学起着重要作用，特别是当今世界高科技的发展，对数学教育提出了空前的要求，数学教育已成为科技发展的关键所在. 培养学生的严谨性思维是数学教师义不容辞的责任. 如何在教学中培养学生思维的严谨性？笔者结合教学实际谈谈自己的一些尝试，以期得到同仁的指导.

通过训练“阅读”提升学生审题

能力，培养学生的严谨性思维

错误呈现 （1）要求写出一个以x=3，y=2为根的二元一次方程，全班共有学生45人，竟有18人写成了二元一次方程组.

（2）如图1，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC， BD平分∠ABC，∠A=60°. 过点D作DEAB，过点C作CFBD，垂足分别为E，F，连结EF，求证：DEF为等边三角形. 对于此题，大多数学生证明三角形是等腰三角形后，对于如何说明是等边三角形时思维受到阻碍，半途而废.

究其原因 上述错误的主要原因是学生审题能力的不足，阅读基本功的缺失. 对于习题，多数学生习惯走马观花地看一遍题目后就盲目地去做；或由于题目的条件过多而浅尝辄止；或不能将条件有效整合而畏难放弃，严重缺乏研读的探究能力.

实施措施 可通过 “读题”的训练培养学生认真审题的习惯，加强“阅读”教学，提升学生的阅读能力. 方法具体如下.

1. 在教学中注重加强“读”题的教学.

对于（1）的错误，如果学生养成了逐字逐句读题的习惯，就一定会避免这种草率的错误. 对于（2）中存在的问题，需引导学生认真读题. 笔者在例题教学中提出了三遍读题法. 第一遍要求出声地逐字逐句读；第二遍为默读；第三遍为研读，研读的同时理清以下问题：题目告诉了哪些条件？能从中想到哪些性质、公式？每个条件的实质是什么？条件联合起来后告诉了我们什么（挖掘隐含条件）？问题是什么？如何解决问题？有哪些方法可做考虑？而当分析含糊不清时，可继续让学生读题，边读边悟，在读中悟，在悟中读，直到找到问题的解决方案. 三遍读题法强调，对于每道题，学生都至少要读三遍，这样就能培养其审题的耐心和细致，克服半途而废的草率心理，培养学生互相联系的缜密思维品质 （对于初始年级，效果事半功倍） . 当我们研究问题到达某一个关键处而停滞不前时，不要善意地替代，应懂得停下来，让学生反复研读，重复审题，在反复阅读中将条件有效整合，找到问题的切入点，进而找出解决问题的途径. 例如（2）中只要把BD平分∠ABC，∠A=60°有效联系起来，问题便迎刃而解. 我们在例题教学中，应加强读题训练，读题的过程是学生训练思维的过程，是磨炼意志的过程，能培养学生慎重审题的习惯，培养他们锲而不舍的、严谨的探索精神.

要养成良好的读题习惯，需追溯到阅读习惯的培养，所以，在数学教学的初始就应重视阅读的培养.

2. 在课堂中加强“阅读”训练.

数学教材语言精练、简约、严谨，并具有很强的抽象性和逻辑性. 阅读时不仅要领会语言文字、数学符号、术语、公式、图表等知识，还要通过反复推敲、联想推理、分析综合等方法来解决问题. 这个复杂的阅读教材过程，对学生思维的严谨性提出了很高要求，要求学生沉着冷静，认真细致地揣摩、推理. 然而现在教学中由于多媒体的大量使用，省略了学生逐字逐句细细阅读的过程，所以笔者认为教学中要多回归课本，加强对教材的阅读，培养学生的阅读能力，为学生的发展奠定良好的基础.

比如，在概念的教学中，许多概念一闪而过，难以在学生的思维中得到沉淀，这会影响后续学习的潜力. 在学习概念时，应让学生回归课本，反复阅读，在阅读中感悟提升，加深对概念内涵、外延的理解. 如在学习轴对称和轴对称图形的概念课时，可让学生尝试概括之后到课本中阅读概念.

师：从概念中你能读出什么？

生：两个图形，两个图形重合.

生：沿着某条直线折叠.

学生似乎在诉说着定义，并没有深入地理解，此处要求学生继续读.

生：有对称轴.

生：是翻折.

师：这是一个发生式定义，发生式定义应从哪些方面剖析呢？

生：运动的对象、运动的方式、运动的结果.

再读定义继续回答问题.

生：发生的对象是两个图形；发生的方式是翻折变换；发生的结果是两个图形能够完全重合（全等）.

为了深入了解概念的内涵、外延，教师可在重点、难点和易错处设计问题，让学生带着问题纵向深入和横向拓展地阅读，组织学生再阅读，寻找答案，弥补先前阅读时的疏漏.

无疑，自主学习是培养学生阅读能力的最佳途径，也是阅读能力培养的主阵地. 教学中的许多内容都适合这种教学方法，例如，学习角的平分线的画法.

原题呈现 （1）以O为圆心，以任意长为半径，分别交射线OA，OB于点D，E.

这个作图题，虽然有“想一想”的实际操作引领，但对于初一的学生来说，要准确地画出图形仍存在一定的难度，难在对尺规作图指示性语言的理解. 所以教学过程中应先让学生逐字逐句地出声式地读题，再自己默读一遍，然后研读一遍，仔细推敲、琢磨，并鼓励动手操作、大胆尝试. 如果学生仍不会画，应要求学生继续读，反反复复地读，因为阅读能使思维越发清晰. 经历了学生的反复阅读、模糊体验、思维碰撞和努力尝试后，大部分学生最终能准确作图. 正像数学教育家乔治・波利亚指出的，学习任何东西最好的途径是自己去探索发现. 此处没有走“示范模仿”的捷径，而是让学生经历自主探索的艰辛过程，重在培养学生的阅读能力和探究能力，培养学生认真研究的态度和严谨的思维品质.

学习“概率”这一章时，对于概率的估计，根据概率的定义，落脚点是稳定值，教学中往往权衡几个近似值更接近于哪一个数，而忽略了试验次数. 初教者往往会因理解不透彻导致学生学得模糊. 例如，某种绿豆在相同的条件下发芽的实验结果如表1.

估计绿豆芽的概率（保留三位小数），当学生的答案在0.928和0.931两者之间争执不休时，应引导学生阅读教材，直到学生读到“事实上，这类事件发生的概率的值是客观存在的，但我们无法确定它的准确值，因而在实际的工作中，人们常把实验次数很大时事件发生的频率作为概率的近似值.”读到此处，学生豁然开朗，兴奋不已. 由此可见，应渗透阅读的意识，培养阅读的能力，在阅读中培养思维严谨的品质.

究其原因 此类错误，学生明知易犯，这是潜意识中的错误行为，原因是缺乏过强的运算能力，缺乏严谨的做事态度.

实施措施 调整教学节奏，进行强化训练，使技能操作实现自动化，提升运算能力.

运算能力是在不断地运用数学概念、法则、公式，经过一定数量的练习逐渐形成的. 运算不仅体现数学知识，更体现为一种数学技能. 冯国良教授研究：心智技能的形成需要经历定向、操作、内化的过程. 没有一定时间、一定数量的强化训练，很难形成技能，更难转化为能力. 作为中学教师，我们都感到，由于教材容量较大，学生水平参差不齐，所以总感觉课时不够. 为此，我们只好精心设计教案，争取课堂高效，紧赶慢追，脚步匆匆. 而且短而快的节奏感染着学生，学生处于森林但不见树木，难以细化形成技能、转化成能力. 所以，教学中，教师应既站在系统的高度把握教材，又应根据学生的学历情况，调整教学节奏，灵活把握教学进度.

比如苏科版七（上）第二章“有理数”，它为学习后面数与式的一切知识作铺垫. 本章的教学至关重要，不能浮光掠影，匆匆而过. 仅仅完成“学生会计算”这个简单目标是不够的，还应培养学生的运算能力. 运算能力的主要特征是运算的正确、灵活、合理和简洁. 此时要有一定量的强化训练，为技能操作实现自动化打下基础，进而促进技能向能力转化，以便为后续知识做好坚实的后盾.

再例如，苏科版七（下）教材中“因式分解”的教学内容课时数安排得较少，可是分解因式掌握不好就会造成分式、根式的学习难以进行. 分解因式是一种新形式的运算，与整式的乘法易混淆，相互干扰；而分解因式的结果不易分解彻底是学习的难点，学生需要一个内化的过程，并进行技能的强化训练.

数学技能要经历模仿练习、变式训练与综合训练三个阶段的内化过程. 有效地数学技能训练应注意训练的层次性、有序性，精心配置习题，避免僵化的机械重复. 对于训练，要把握一定的“度”，虽然适当的练习对于学生运算能力的培养是必要的，但过犹不及，因为过多的训练会导致学生疲于奔命，草率应付，由刚开始的力不从心到以后的厌恶不负责任. 与其这样不如提高要求，即做题就要做对题，把提高做题准确度放到作业评价重要的位置上，以此促进学生养成精确无误的、严谨的学习品质. 俗话说得好，夹生饭再回锅也做不出可口的香米饭. 所以，教师要轻重缓急地把握教学节奏，以学定教，不要以专业化快速成长代替学生的缓慢进步.

究其原因 对于此类题，课堂讲解不系统、不透彻，没有凸显解决问题的本质，思维混沌、机械模仿.

实施措施 用题组或变式的方式，通过比较凸显解决这一类问题的本质，促进学生理解，整体提升解决问题的能力.

不比不明，比较是理解思维的基础，通过比较可以帮助学生区分共同点和差异点，防止知识的范化和混淆，促进学生掌握问题的本质属性，突出问题的症结所在. 教师应站在高处，多角度、全方位地看待问题，要由一个题想到一类题，并注意知识间的联系，由点到面，由浅到深，创造性地构造变式或题组，使其赋予新的意义、新的作用，且应创造情景让学生去分析、去争辩、去比较，挖掘这类问题的本质，探讨导致问题的症结所在，使学生思考得更全面、更深入，达到窥一斑而见全貌的境界. 就题论题、支离破碎的课堂不能给予学生一个规范的、完整的、清透彻底的思维过程.

例如，学习一次函数时，可采用变式教学.

原题呈现 为了参观上海世博会，某公司安排甲、乙两车分别从相距300千米的上海、泰州两地同时出发相向而行，图2是它们离上海的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.

（1）请直接写出它们离上海的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）写出点B的意义.

（1）请直接写出AB，CD的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）写出点B的意义.

（1）请直接写出甲离出发地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系式；

（2）写出点D的意义.

变式基于选择的变量不同，引发函数的关系式、函数的图象则不同. 解决此类问题的关键是识图，首先要弄清横轴、纵轴所表示的变量；其次，知道两个变量是如何对应和变化的；再次，明了起画龙点睛作用的是一些特殊点的实际意义. 教学时应将函数的图象、函数的关系式与实际问题进行整合，因为变量的改变会因产生新的函数而生成新的函数图象. 上述变式教学不仅能让学生的思维灵性飞扬，又能更好地诠释函数的本质属性. 不言而喻，学生对于函数有了更为深刻的认识，能掌握解决函数问题的本质思路，大大提升学生变通的思维能力.

再例如七年级（下）教材中，在讲利用二元一次方程组解决实际问题时，对于下面的一类应用题，我盲目地采取兵来将挡、水来土埯的方法，以至学生很长时间没有理清关系，做题中频频出错，矫正了许久，效果却不好. 如果我有预设，统筹全面，汇集各种类型，集中地、全面地、对比地剖析各种情况，也许学生的学习效果会事半功倍. 下面，我采用下面的题组形式向学生展开.

（1）某市公园的门票价格如表3：

某校初一年级甲、乙两个班去该公园举行联欢活动，其中甲班有100多人，乙班不足100人，如果以班为单位买门票，一共要付1925元；如果两个班一起买票，一共要付1800元. 甲、乙两个班的人数之和超过200吗？为什么？

（2）某市公园的门票价格如表4：

某校初一年级甲、乙两个班要去该公园举行联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人，如果以班为单位买门票，一共要付920元；如果两个班一起买票，一共要付515元. 甲、乙两个班的人数之和超过100了吗？为什么？

（3）若某市公园的门票价格如表5：

七年级学生人数少于50人，八年级学生人数多于50人而少于100人，若七、八年级分别购票，两个年级共计应付门票1575元，若合在一起购票，总计应付门票1080元，参加郊游的七、八年级的学生总人数是否超过了100人？为什么？

通过变式或题组的教学形式，对于一类题，学生在头脑中会有较全面的、较清晰的认识以及解题的思维方法，当解决类似的问题时，学生便会全盘考虑，统筹方法，灵活地应用. 所以，教师在讲题时，应把涉及一类题的相关事项考虑得全面、细致，严谨地给学生讲全、讲透、剖析到位，促进学生思维的灵活性，这有利于学生综合能力的提升. 教师对于问题锲而不舍的探索精神，会感染学生，使其有锲而不舍的探索精神，教师严谨的治学态度也会感染学生，使其有严谨的治学态度.

创造严谨的氛围

非淡泊无以明志，非宁静无以致远. 安静的环境有利于培养孩子严谨的思维. 潘石屹说过：“人工作时应进入一种精神状态，这种状态是什么样的呢？应该是平静的，忘我的，外部看来有点孤独的. 但自己内心是喜悦的.” 静能生智，只有静下来，全神贯注地投入才能达到学习的精微处. 而中学生恰值懵懂时期，大多热血冲天、心浮气躁、好高骛远，教师应在教学中创造一个安静的、严谨的氛围，以平和冷静的心态引导学生冷静思考，用一种理性缜密的思维替代一种盲目的、浅尝辄止的感性思维，用严谨的治学态度感染学生，应潜下心来读书，潜下心来育人，关注教学细节，体验孩子的情感，静听孩子成长的脚步，做一个纯粹的、具有影响力的教育者.

严谨性思维是学生学习的制胜点，严谨是一种能力，严谨是一种优秀的品质. 冰冻三尺，非一日之寒，数学严谨性思维的培养是一个循序渐进的过程，需要教师在长期的教学中有意识地渗透并落到实处，这样才会培养学生良好的、严谨的思维品质，为学生的终身发展奠定坚实的基础.