实践比设计更精彩

摘要：作为一位负责任的老师，在课前精心准备教学，写出详细的教学设计是必不可少的，这也为正常的教学进行做好了铺垫，但是纵然你在课前已经做了非常充足的准备，包括各种预设，但是课堂上还是有可能出现一些意想不到的事情，这也正是课堂教学的魅力所在。同时，一个好的教学设计如果没有经过课堂这一实践关的检验，那也只是纸上谈兵，“实践才是检验设计的唯一标准”。以下记录的是笔者在一次有关“费马点”的教学实践前后所发生的事。

关键词：教学设计；课堂教学；费马点

中图分类号：G423 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）25-0183-02

一、教学实践前的教学设计

探究：费马点之找法

课堂预设：如图1，以B点为中心，将APB旋转60°到C'BP'，因为旋转60°，且PB=P'B，所以P'PB为一个正三角形？圯PB=P'P，因此，PA+PB+PC=

P'C'+P'P+PC，由此可知当C'、P'、P、C、四点共线时，PA+PB+PC=P'C'+P'P+PC为最小；若C'-P'-P共线时，则∠BP'P=60°？圯∠C'P'B=∠APB=120°，同理，若P'-P-C共线时，则∠BP'P=60°？圯∠BPC=120°，所以P点为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点。

二、教学实践中的课堂实录

探究：费马点之找法

师：大家思考一下该如何寻求三角形的费马点呢？

生1：和对应的课堂预设一样（略）。

生2：如图2，假设P为满足PA+PB+PC最小的点，令PA+PB=k为一定值，则满足P'A+P'B=k的P'点的轨迹为一椭圆，故P点必为C点到椭圆上点的最短距离的点。由此可知，CP与过P点与椭圆相切的切线MN垂直，所以，∠CPM=∠CPN=90°，再由椭圆的光学性质，可得∠APM=∠BPN，故∠CPM+∠APM=∠CPN+∠BPN？圯∠CPA=∠CPB，同理可证出∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

师：太漂亮了，用解析几何的想法给出了一种构造方法，那你能证明吗？

生2：如图3，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，又A'BPC四点共圆（？摇∠BPC+∠BA'C=180°），所以∠CPA'=60°。故∠APC+∠CPA'=180°，因此P在AA'上，同理可证P在BB'、CC'上，故P为AA'、BB'、CC'三线交点。

师：这位同学给出了三角形的费马点的非常漂亮的构造与证明，那谁还有其他方法吗？（此时学生热情高涨）

生3：记得在物理课上做过一个实验力的平衡实验，好像可以证明费马点的性质：AP、BP、CP所夹的三个角必为120°。

以木条为边组装正三角形，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，另一端连在一起代表P点，让重物自然垂下到达静止状态，测量∠APB、∠APC、∠BPC的角度，因为三重物重量相等，三条线的张力亦相同，即F1=F2=F3=W。

在平衡时所构成的力图（图4）形成的“封闭三角形”（图5）为正三角形，亦即该力图之三力所夹的三个角皆为120°。

将之前实验装置垂直置于一坐标平面之上方，记录P点坐标，再求出之P点一次函数，以计算机程序计算是否符合，重复以上步骤5次，并改变三角形的形状重复操作。

师：有点神奇了，鼓掌。

生4：这不算神奇，还有更神的。

（笑）

师：说说看。

生4：以木条为边组装正三角形ABC置于水平面上，三顶点各装置一滑轮，取三条等长棉线一端各悬挂一等重黏土块W，分别由三滑轮垂下，由实验一已知P点为费马点。于P点（费马点）悬挂一黏土块W，让重物自然垂直向下移动到达静止状态（图6），量测此时P点与水平面之垂直距离，分别作三次后取平均值，高度为hF。将P点任意移向三边BC、AC、AB上的任意点，然后将重物放开，发现不论在任何边上，均会趋向费马点。

根据“物体会自由趋向能量最低点”的原理，可证明费马点具有最低的位能。将之前实验过程分别纪录得到位能高度h'（三次平均值）■、■（代表从BC点释放后的状况，依此类推）、■、■、■、■。

重复以上步骤3次，并改变三角形的形状重复操作。

师：完了，我几乎不懂了。（笑）

生：没关系，我们懂了。（笑）

这时下课的铃声响起，同学们意犹未尽。

师：没关系，大家下课再查阅一下资料，看还有没有其他方法，就留作今天的作业吧。

三、教学实践后的课后反思

这节课总的来说符合新课程的理念，但是若能够把学生带到物理试验室去上这节课就更好了。这样的教学能更好的体现学生探究、操作的能力。一些表象原来要通过平面几何添加辅助线和多步的求解才能得出的结果，现在可以通过一个有趣的实验事实就可得到。从而可以使学生们对“数学实验”有初步认识并产生了兴趣，也体现了教学模具发明的意义和作用。

另外，查阅资料后发现，还可以尝试运用电学方法证明费马点：在电学中，电阻的大小与电线导体的长度成正比，如果以费马点到三角形三顶点的距离，分别以此量取三段长度的电阻线，并联后的电阻，是否比非费马点的并联电阻小，试图找出三线并联后的电阻与费马点的关系。取一根导线和一根电阻线串联，再将上述之装置三条并联交于同一电源装置。以上述装置的导线与电阻线之交点为三角形的顶点，用木条组装成正三角形。将三条电阻线之末端交于三角形内之P点，再与一个安培计串联回到电源装置形成通路。开启电源，移动P点的位置，找出P点位于何处时电流值最大后，将实验装置垂直置于一坐标平面之上方，纪录P点坐标，再求出P点的一次函数，以计算机程序计算（是否符合）。改变三角形的形状并重复操作。

还可以尝试从理论化学观点探讨费马点的性质：在理论化学的发展上，已经可以以计算机程序仿真小型化学分子的结构状态，并据以求得最稳定存在（能量最小）的分子排列，对一些三角形分子而言（如环乙烯、环乙醚、环乙胺，这些分子和外界原子的排列，在自然状态下，势必要保持最小能量的稳定态，而这些原子间的相关位置，是否和三角形分子构形中的费马点有关，我想藉由一些较简单的化学分子计算软件（MM2，MOPAC），试着找出其中的奥秘。

所以老师应该不只是去设计一节课，更应该去实践一节课。