等腰三角形的性质应用考点例析

等腰三角形除了具备一般三角形的性质外,还具有如下性质:①等腰三角形两腰相等;②等腰三角形两底角相等,简写成“等边对等角”;③等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“三线合一”;④等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的中垂线.近几年的中考试卷上常出现以等腰三角形为背景,结合四边形、圆、函数等相关知识的综合性题目,重点考查学生灵活应用等腰三角形的性质进行有关论证和计算,发展学生的独立思考能力、动手能力、归纳猜想能力.下面以2009年中考中出现的典型考题为例进行归类分析.

考点1 求角度

例1(2009年黄冈)在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则∠B等于__________度.

解析:由于顶角可能是锐角,也可能是钝角,所以应分两种情况.如图(1),由于AB=AC,由等腰三角形的性质可知∠B=∠C,又因为DEAB,所以∠AED=90o,而∠1=50o,所以可求得∠A=40o.根据三角形的内角和定理,可得2∠B+40o=180o,于是可求得∠B=70o.如图(2),∠B=∠C,∠1=50o,又因为DEAB,所以∠DAB=40o,再根据三角形的外角定理即可求得∠B=20o.综合两种情况,可知∠B等于700

例2(2009年怀化)如图,在RtABC中,∠B=90o,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10o,则∠C的度数为()

A.30oB.40oC.50oD.60o

解析:由于ED是AC的垂直平分线,所以EA=EC,所以∠1=∠C(等边对等角);由于∠B=90o ,∠BAE=10o,所以∠3=80o,再由三角形的外角定理可知∠C=∠1=0o=40o.故答案是B.

说明:(1)几何计算最关键的是找出量与量的关系,有时可用列方程(组)的办法来解决;(2)在等腰三角形中求角度的计算,应牢记“等边对等角”这一性质.

考点2 求线段的长

例3(2009年朝阳)如图,ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DEAB于点E,DFAC于点F.若BC=2,则DE+DF=________.

解析:要求的是DE+DF的长,应设法把两段转化成一段.过B点作AC的垂线,垂足设为G,过D点作BG的垂线,垂足设为H,则四边形DFGH为矩形.接下去可考虑证明BDE和DBH全等:∠BED=∠DHB=90o,∠BDH=∠C=∠DBE,BD=DB,所以BDE≌DBH;然后利用三角形全等的性质可得DE=BH,这样即可把DE+DF转化成线段BG的长.而BG是等边三角形的高,根据BC=2,以及“三线合一”的性质,利用勾股定理即可求出BG,BG==.故DE+DF=.

例4(2009年牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.

解析:在RtABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6;由勾股定理得:AB=10,扩充部分为RtACD.扩充成等腰ABD应分以下三种情况:

①如图1,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6;得ABD的周长为32m.

②如图2,当AB=BD=10时,可求得CD=4.

由勾股定理得:AD=4,得ABD的周长为(20+4)m.

③如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,

由勾股定理得:x=,得ABD的周长为26m.

说明:(1)“等边对等角”适用的条件是在同一个三角形中,在不同三角形中不能用;(2)“三线合一”指的是底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合,对于腰上的高、腰上的中线,底角的平分线则不成立.

考点3 与等腰三角形有关的证明

例5(2009年衡阳)如图,ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BEAE.

(1)求证:DAAE;

(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.

解析:(1)由于AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,∠BAC+∠BAF=180o,可推出∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)=80o=90o,即∠DAE=90o,于是可证得DAAE;(2)从观察分析来看,可猜想四边形AEBD是矩形,然后进行推理,证明这个结论,在此基础上即可得出AB=DE.

例6(2009年定西)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90，D为AB边上一点,求证:

(1)ACE≌BCD;(2)AD2+DB2=DE2.

解析:(1)要证明ACE≌BCD,根据现有条件,有∠ACB=∠ECD,那么∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE,即可证得∠BCD=∠ACE,又因为ACB和ECD都是等腰直角三角形,所以有BC=AC,DC=EC,这样就把两个三角形全等的条件找够了.(2)在上述两个三角形全等的基础上,加上ACB是等腰直角三角形这个条件,可证得∠B=∠BAC=45o,于是∠DAE=∠CAE+∠BAC=45o+45o=90o,这样即可判定AED是直角三角形了.接下去利用勾股定理即可证得结论AD2+DB2=DE2.

说明:(1)在同一个三角形中,有边相等,要联想到角相等;(2)“等边对等角”主要运用于两边相等的条件下去证明两角相等的问题,而“等角对等边”正好相反,主要运用于两角相等的条件下去证明两边相等的问题;(3)当出现等腰直角三角形时,应想到它的两个底角都是45