规律探索题的构建与应用

规律探究题是指在一定的背景或特定的条件下,通过观察、分析、比较、概括和探究,从中发现有关数学对象所具有的某种规律或不变性的结论,进而利用这个规律或结论进一步解决相关的实际问题.一般的解题思路是通过观察,进而寻找规律,猜想出相关的结论并加以验证, 它体现了“从特殊到一般”及转化的数学思想方法.现结合2009年的中考试题进行剖析,希望能给同学们带来一定的启示与帮助.

一、在图形的叠加中构建

例2(2009年武汉)将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放:第1个图形有6个小圆,第2个图形有10个小圆,第3个图形有16个小圆,第4个图形有24个小圆,……,依次规律,第6个图形有个小圆.

思路点拨与解析:通过观察发现:所有的图形之间存在着不变的量(小圆)和相应变化的量(小圆),在每个图形中的四个角是不变的量(4个小圆),不断变化的量是内部方形中的小圆呈矩形方阵分布(长与宽的个数分别为相邻的两个整数),且是随着序列数n的变化而变化,即n(n+1)个小圆,则总共有n(n+1)+4个小圆;当n=6时,便有6+4个小圆,即46个小圆.

点评:解这类问题的关键在于从简单的情形入手,逐个观察、发现、归纳图形中的变化规律、变化趋势及不变化的量,寻找出内在的规律与序列数之间函数关系式,主要是考查我们的观察能力、发现能力、分析判断能力和猜想规律能力.

二、从几何图形中构建

例3(2009年衢州)如图,AD是O的直径.

(1)如图①,垂直于AD的两条弦B1C1,B2C2把圆周4等分,则∠B1的度数是,∠B2的度数是;

(2)如图②,垂直于AD的三条弦B1C1,B2C2,B3C3把圆周6等分,分别求∠B1,∠B2,∠B3的度数;

(3)如图③,垂直于AD的n条弦B1C1,B2C2,B3C3,…,BnCn把圆周2n等分,请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案).

思路点拨:在此题中,注意运用垂径定理中直径将弦所对的弧平分,以及圆心角、圆周角及所对弧的关系对题中的条件进行分析,推理.

解析: (1)22.57.5

(2) 圆周被6等分,弧B1C1=弧C2C3 =360=60

直径ADB1C1, 弧AC1=弧B1C1的度数=30

∠B1= 弧AC1的度数=15

∠B2=弧AC的度数=300=45

∠B2=弧AC3的度数=3000=75

(3)∠B=[(n-1)]=(或∠B=90o-=90o-).

点评:解这类问题的关键在于从简单问题入手,通过观察、分析、推理、发现与猜想,注意把握相关图形的性质与内在联系,进而寻找出解题方法与技巧,逐步进行推广、拓展与应用,化特殊为一般,使问题得以解决与突破.

三、在流程图中构建

例4(2009年咸宁)如图所示的运算程序中,若开始输入的 值为48,我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12,……,第2009次输出的结果为___________.

思路点拨与解析:这是一道分类考虑的程序流程题,解题的关键是确定输入的数据是奇数还是偶数,再按要求选择相应的代数式将值代入求解,通过计算,会发现从第3次开始,这个程序输出的将以6、3、6、3循环,每两次一循环,由此2009-2=2007,从而判断出第2009次输出的结果为3.

点评:这是一道以数字转换循环计算为背景的代入求值的程序题,解题的关键是弄清流程图所表示的含义,要注意根据代入数的奇、偶性选择相应的代数式计算.

四、从表格中构建

例5(2009年台州)将正整数1,2,3,…从小到大按下面规律排列.若第4行第2列的数为32,则

①n=;②第i行第j列的数为 (用i,j表示).

思路点拨与解析:在所给表格中,通过观察可以发现:表格中的行列是有序增加1,第i行、第j列上的数是n(i-1)+j,题中的第4行第2列的数为32,列方程为n(4-1)+2=32,解得n=10;此时的第i行第j列的数为10(i-1)+j.

点评:解这类问题的关键在于结合表格中所给数据,分析、发现出表格中横行与纵列各个数据之间的内在联系,从特殊到一般,并用与表格相关的序列、数字、相应的字母、代数式等表示出表格中数列横向与纵向的变化趋势或规律.