几何图形与二次函数的结合

透过历年各地的中考试题,我们不难发现有许多的几何图形与二次函数相结合的综合题,对此,不少同学感到难以下笔.事实上,对于此类问题的求解策略,只要结合图形的性质,灵活运用相似三角形、图形的面积等知识,将其中的两个变量过渡到一个相等的关系式中去,从而将问题平稳地转化到二次函数中来,并利用二次函数的性质即可求解,求解的同时注意变量的取值范围即可.为了说明问题,现以2009年中考试题举例说明.

例1(日照市)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.

(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时EMN的面积;

(2)设MN与AB之间的距离为x米,试将EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;

(3)请你探究EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.

分析:对于(1)利用三角形的面积公式容易求解.而(2)可分两种情况,画出图形利用三角形的面积公式或相似三角形即可求解.对于(3)结合(2),利用二次函数的性质即求.

解:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时EMN中MN边上的高为0.5米.

所以,SEMN=.5=0.5(平方米).即EMN的面积为0.5平方米.

(2)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,即当0

②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即当1

又因为 MN∥CD,所以MNG∽DCG,所以=,即MN=,

故EMN的面积S=x=-x2+(1+)x;

综合可得S=

(3)①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0

即当x=-=(米)时,S得到最大值,最大值S==+(平方米).

因为+>1,所以S有最大值,最大值为+平方米.

说明:本题既是一道二次函数的应用题,又是一道几何函数问题,求解时除了考虑运用二次函数的知识外,还要灵活运用几何图形的性质,二者不可偏废.

例2(恩施自治州)如图1,在ABC中,∠A=90，BC=10,ABC的面积为25,点D为AB边上的任意一点(D不与A、B重合),过点D作DE∥BC,交AC于点E.设DE=x,以DE为折线将ADE翻折(使ADE落在四边形DBCE所在的平面内),所得的A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y.

(1)用x表示ADE的面积;

(2)求出0

(3)求出5

(4)当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?

分析:(1)由DE∥BC,容易得到有关角对应相等,进而可以判定ADE∽ABC,由相似三角形面积比的性质即解.(2)由对称和中位线的知识即求.(3)当5

解:(1)因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C,所以ADE∽ABC,

所以=()2,即=()2,所以SADE=x2.

(2)因为ADE与A′DE是关于DE对称,所以SADE=SA′DE,因为BC=10,所以BC边所对的三角形的中位线长为5,所以当0

(3)当5≤x

因为SA′DE=SADE=x2,所以DE边上的高AH=A′H=x,

由已知求得AF=5,所以A′F=AA′-AF=x-5.

由A′MN∽A′DE,知=()2,

所以SA′MN=(x-5)2,所以y= x2-(x-5)2=-x2+10x-25.

(4)在函数y=x2中,因为0

在函数y=-x2+10x-25中,当x=-=时,y最大为,因为

说明:本题是一道几何函数题,求解时一定从几何图形入手,充分利用几何图形的性质构造出函数关系,如本题始终以相似三角形及性质为求解问题的突破口,在解决问题(4)时应注意比较,以避免出现错误.