家人对应趣题

有三位农夫――乔治、约翰、汤姆,分别带着他们的女儿到超级市场购物,三个女儿的名字分别是玛丽、埃玛以及伊莎，而至于谁是谁的女儿就不得而知了,你只能从下列的条件来推算:假设他们6人,每人花在买商品的美元数等于商品数量的平方,而且每位父亲比自己的女儿多花48美元,现在乔治比埃玛多买9件商品,而约翰比玛丽多买7件。现在你能知道谁是谁的女儿吗?

从表面上看，此题似乎缺少条件，而且题目所给条件也很模糊，难以确定数量关系之间的途径，而事实上，只要正确理解题意和综合分析各种情形，在解题过程中牢牢抓住算术基本定理（唯一分解定理）进行处理，我们就能顺利解决问题。下面就来分析与解答：

假设一位父亲买了x件商品,根据题意条件,他的花费就是x2美元。同时,假设他的女儿买了y件商品,那她就付出了y2美元,已知“每位父亲比自己的女儿多花48美元”，则有x2-y2=48，即（x-y）（x+y）=48。

由于商品的件数x、y只能是正整数,所以可以判断 x+y>x-y；同时还要考虑到（x-y）和（x+y）同奇同偶的特点，因为（x-y）（x+y）=48是偶数，所以可确定（x-y）和（x+y）都必须是偶数。

现在,我们就将48分解质因数,然后组合成符合两个偶数相乘的情形，只有下列三种:48=2×2×2×2×3=2×24=4×12=6×8，也就是

解此三个方程组得x=13，y=11；x=8，y=4；x=7，y=1三组答案。其中，乔治比埃玛多买了9件商品，那么唯一的可能就是13-4=9，可见，乔治买了13件商品，埃玛买了4件商品。类似地，约翰比玛丽多买7件，这情形也只有一种8-1=7，就是约翰买了8件，玛丽只买了1件，再由“每位父亲比自己的女儿多花48美元”就可确定这三对父女分别是:乔治（13件）、伊莎（11件）；约翰（8件）、埃玛（4件）；汤姆（7件）、玛丽（1件）。

怎么样？“父女对应问题”的解答是不是颇有意趣且极具逻辑性，你能领会其中蕴含的数学思想方法吗？为了强化这一点，请大家接着看下面这则本质相同的“夫妻对应问题”，并用类似的策略解答。

有三个农民X、Y、Z和他们的妻子U、V、W上集镇去买猪崽。已知每个人买的猪崽头数恰好等于他（她）买每一头猪崽所用的元数，每个男人比他的妻子多用63元，并且X比V多买了23头猪崽，Y比U少买了19头猪崽，问谁是谁的妻子？

我们不妨用M表示一农民买的猪崽头数，W表示他的妻子买的猪崽头数，根据题意，“每人买的猪崽头数恰好等于他（她）买每一头猪崽所用的元数”，因为每人买猪崽所花的钱都应该是“猪崽头数×每头猪崽的元数”，所以农民和妻子花的钱分别就是M2、W2；根据“每个男人比他的妻子多用63元”，则有M2-W2＝63，显然M2-W2＝（M+W）（M-W）＝63，考察63＝63×1＝21×3＝9×7这三种可能形式，分别研究讨论这几种情况（M+W必定大于M-W）：

（1）若（M+W）＝63，（M-W）＝1，则可推出M＝32，W＝31；

（2）若（M+W）＝21，（M-W）＝3，则可推出M＝12，W＝9；

（3）若（M+W）＝9，（M-W）＝7，则可推出M＝8，W＝1；

把以上三种情况综合成下表：

下面就根据题意条件与表中数据直观比对，因为只有32和9的差是23，所以确定X买了32头猪崽，V买了9头猪崽；同样只有31和12的差是19，又可确定是V买了12头猪崽，U买了31头猪崽，所以说U是X的妻子，V是Y的妻子，自然W是Z的妻子喽！