巧用数学性质解题

摘要：教学中每一个概念的产生，每一个法则的规定都有丰富的知识背景。在许多数学问题中，无论是题设、结论，还是整体结构、直观图像都表现出或隐含着某种特征。解题时，若善于观察和捕捉这些特征，并由此进行分析、变换、联想、构造，往往可以迅速得到问题解决的途径或优化问题解决的过程。

关键词：数学性质；解题方法；教师；学生

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）10-0119

一、巧用一次函数的性质

例1.已知x∈（0，π/2）问是否存在m∈（0，1），使得等式cosx+msinx=m成立？并说明理由。

解由cosx+msinx=m得

m （sinx-1）+cosx=0

设f（m）=m（sinx-1）+cosx在（0，1）上有解，f（0）f（1）

cosx（sinx+cosx-1）

而x∈（0，π/2），cosx>0，sinx+cosx-1>0

cosx（sinx+cosx-1）>0

（1）式与（2）式矛盾，故不存在m∈（0，1），使得等式cosx+msinx=m成立。

例2. 若a，b，c∈R，a

求证：ab+bc+ca+1>0

证明：构造函数f（x）=x（b+c）+bc+1

若b+c=0，由于-1

即f（x）>0，若b+c≠0

f（1）=b+c+bc+1=（b+1）（c+1）>0

（-1）=-（b+c）+bc+1=（1-b）（1-c）>0

由一次函数的单调性可知

对x∈（-1，1）总有

f（x）=x（b+c）+bc+1>0

而a0

从而原不等式得证

例3. 已知：等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求此数列的前110项和。

解：设等差数列为{an}，

Sn=na1+■d=■22+（a1-■）n，

■=■n+（a1-■）

从而■可看作关于n的一次函数。

点（10，■），（100，■），（110，■）都在该一次函数的图像上

■=■

解得S110=-110

二、巧用轮换对称的性质

方法：若已知条件和待求式中的代数式都是关于某些字母的轮换对称式，则当且仅当这些字母相等时，待求式取得最值。再取特殊值代入验证，判断是最大值还是最小值。

例1. 如果a，b，c>0，a+b+c=1，则■+■+■的最大值是多少？

解：因为已知条件和待求式中的代数式是关于a，b，c的轮换对称式，则当且仅当a=b=c=■时，待求式取得最值3■；又可取a=■，b=c=■，此时所证判定待求式的值小于3■，故3■为所求式的最大值。

例2. 已知x，y，z∈R+，且■+■+■=1，则z+差+号的最小值是多少？

解设■=m，■=n，■=k，则问题转化为：m，n，K∈R+，且m+n+k=1，求■+■+■的最小值。

因条件式和待求式都是关于m，n，k的轮换对称式，当且仅当m=n=k=■时，■+■+■的最值是9；又令m=■，n=k=■，有待求式的值大于9，故9为所求的最小值。

三、巧用圆锥曲线的定义

例1. 点P为双曲线■-■=1（a>0，b>0）右支上任意一点，F1，F2为其两个焦点，直线l为∠F1PF2的平分线，自F2向l引垂线，垂足为M，求点M的轨迹。

解：延长F2M交PFl于Q，因为直线l为∠F1PF2的平分线，F2MlPQ=PF2，又PF1-PF2=2a QF1=2a F1O=F2OQM=MF2OM=a为一定值，故点M的轨迹，以O为圆心，以口为半径的圆，其方程为x2+y2=a2。

例2. 已知点P为双曲线■-■=1（a>0，b>0）右支上任意一点，F1，F2为其两个焦点，圆O′为F1PF2的内切圆，求点O′的横坐标。

解：设圆O与F1PF2的三边F1P，PF2，F1F2的切点分别为E、F、G，则问题即为求点G的横坐标。

由PE=PF，F1E=F1G，F2G=F2F由双曲线的定义得PF1-PF2=2a，F1E-FF2=2a

F1G-GF2=2A

设F1（-C，0），F2（C，0），G（XG，0）

则XG-（-C）-（C-XG）=2a可得XG=a

所以点O′的横坐标为a

四、巧用等差数列的性质

由等差数列的定义，不难得出如下性质：1.（k，ak），（m，am），（n，an）三点共线，则■=■（k≠m≠n）；（2）{■}是等差数列，首项是a1，公差为■；（3）（n，Sn）是抛物线f（x）=px2+qx（p=■，q=a1-■）上的点。

例：等差数列的前n项和为Sn

（1）若a1>0，Sm=Sn（m>n）求Sm+n

（2）若a1>0，S9=S17，问前多少项的和最大？

（1）解法一：由

0=Sm-Sn=an+1+an+2+…+am=（■）（m-n）

因为m-n≠0■=0

Sm+n=（■）（m-n）=（■）（m-n）=0

解法二：由性质（3）知（n，Sn（是抛物线f（x）=px2+qx（p=■，q=a1-■）上的点，并且此抛物线过原点，

因为f（m）=Sm=Sn=f（n） （m，f（n））（m，f（m））两点关于抛物线的对称轴对称，所以抛物线的对称轴为■，所示（0，f（0）），（m+m，f（m+n））关于抛物线的对称轴对称。

所以f（m+n）=f（0）=0，由因为Sm+n=f（m+n），所以Sm+n=0.

（2）解法一：由（1）中的解法易知（n，Sn）所在抛物线f（x）=px2+qx的对称轴为x=■=13，由已知抛物线f（x）开口向下，所以，当x=13时，f（13）最大，因为S13=f（13）所以前13项的和最大。

从性质入手，充分发掘其内在规律，性质的应用，大大提高了解题速度。

五、巧用绝对值的性质

巧用绝对值的性质解题，必须对绝对值的结构非常熟悉，以及能主动地把所求解的问题与性质结构联系起来，此外，应注意式子的恒等变形。

例：解方程|x+lgx|=|x|+|lgx|

解：由绝对值的性质知，原方程等价于xlgx≥0，x≥1

故原方程的解集为{x：x≥1}

六、利用函数迭代的性质

设有一阶递归数列a1=a（已知），且an=f（an-1），n=1，2，3……

于是有：an=f（an-1）=f°f（an-2）=f°f°f（an-2）=……=f [n-1]（a1）

利用此性质就可以求一阶递归数列的通项。

例：已知x1=0，xn=■，n=1，2，3……求数列{an}的通项公式。

解：令f（x）=■ 则xn=f（xn-1） xn=f [n-1]（0）

由上例可知xn=f [n-1]（0）=■

教学中的每个概念、性质都是数学研究的结晶，这里面蕴藏着深刻的数学思维过程，因此，引导学生对数学性质的发现应用，对培养学生的创造能力有着十分重要的意义，对一个数学问题从多方位、多角度去联想、思考、探索，这样既加强了知识间的横向联系，又提高了学生，从而达到开发学生智力和能力，提高创造思维的品质，增强创造力的目的。

（作者单位：山西省祁县二中030900）