巧用隔板法解题

众所周知，把N个相同的元素分成n(n≤N)份，每份至少一个元素，常用隔板法，其方法是在N个相同元素所形成的N-1个空档中间插入n-1个隔板，共有Cn-1N-1种情况.其方法数Cn-1N-1等价于线性不定方程x1+x2+x3+…+xn=N(xi≥1,i=1,2,…,n；n≤N)的正整数解的个数Cn-1N-1，但由于受“xi≥1”的限制，在具体解题中隔板法往往不能得到很好的应用.笔者在处理此类问题时，发现了一个非常适用的好方法，使得隔板法的应用更灵活更方便.本文特列举几例说明如下.

【例1】 10个相同的小球放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，共有多少种不同放法？

分析：此题是隔板法的最典型例题，可直接用隔板法.

解法1：把10个球分成3份，每份至少1个球，在10个相同的小球中间有9个空档，插入两块隔板，共有C29不同的放法.

解法2：设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为xi，则x1+x2+x3=10(xi≥1,i=1,2,3).

此不定方程解的个数为C29=36，即为此题的方法数.

【例2】 把20个相同的球全部装入编号分别为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数，问有多少种不同的装法？

分析：此题要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数，比例1难多了，不可直接用隔板法，此例说明隔板法并不具一般性.常见解法为解法1，其思维突破口是：先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球，然后再分，此法有一定的思维要求，不太容易想到.其实在实际解题时，有不少学生会有如下思维：先在1、2、3号盒中分别放进1、2、3个球，再分剩下的14个球，其答案为C213＝78是错误的.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性，则可得解法2，此解法更具一般性，使隔板法的应用更灵活更方便.

解法1：先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球，再把剩下的17个球分成3份，每份至少1个球，在17个球中间有16个空档，插入两块隔板，共有C216＝120种不同的装法.

解法2：设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为xi，则x1+x2+x3=20(x1≥1,x2≥2,x3≥3)①，此不定方程解的个数即为此题的方法数，但方程①的解的个数不可直接求，可设y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2，则可得新的不定方程y1+y2+y3=17(y1≥1,y2≥1,y3≥1)，此不定方程①解的个数为C216＝120，等价于方程的解的个数，所以此题的方法数为C216＝120.

【例3】 将k个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子可以放任意多个球，也可以是空的，共有多少种不同放法？

分析：因为允许有些盒子不放球，其常见解法有两种：解法1对空盒子的个数进行分类讨论；解法2就很难想到了，把4个盒子也看作4个相同的球，思维能力要求极高.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性，则可得解法3.

解法1：如有零个盒子空，有C3k-1种放法；如有一个盒子空，有C14C2k-1种放法；如有两个盒子空，有C24C1k-1种放法；如有三个盒子空，有C34种放法.共有C3k-1+C14C2k-1+C24C1k-1+C34=C3k+3

种放法.

解法2：k个球可放进1个盒子或2个、3个、4个盒子，有些盒子可以是空的，直接用隔板法是不行的，因为隔板法只适用于每份至少一个球的情形，把4个盒子也看作4个相同的球，则共有k+4个球，然后再把它们分成4份，每份至少一个球，则不同的放法有C3k+3种.

解法3：设放入第i(i=1,2,3,4)个盒子的球的个数为xi，则x1+x2+x3+x4=k(xi≥0,i=1,2,3,4)②，此不定方程解的个数即为此题的方法数，但方程②的解的个数不可直接求，可设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1,y4=x4+1，则可得新的不定方程y1+y2+y3+y4=k+4(yi≥1,i=1,2,3,4)，此不定方程解的个数为C3k+3，等价于方程①的解的个数，所以此题的方法数为C3k+3.

【例4】 (a+b+c)8的展开式共有多少项？

分析：此题是三项式问题，可转化为二项式问题求解，可得解法1.但实际上，此题也可用隔板法求解，可得解法2.

解法1：(a+b+c)8=［a+(b+c)］8=a8+C18a7(b+c)+…(b+c)8.

在a8中有1项；在C18a7(b+c)的展开式中有2项；…在Cr8a8-r(b+c)r的展开式中有r+1项；…在(b+c)8展开式中有9项，所以(a+b+c)8的展开式共有1+2+3+…+9=45项.

解法2：设(a+b+c)8的某个展开式中含x1个a，x2个b，x3个c，则x1+x2+x3=8(xi≥0,i=1,2,3)③.设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1，则可得新的不定方程y1+y2+y3=11(y1≥1,y2≥1,y3≥1)，此不定方程解的个数C210=45为，等价于方程③的解的个数，所以(a+b+c)8的展开式共有C210=45项.