运用“倒推”策略解决问题

生活中的事情从发生到结束总是有过程的，这个过程或是在数量的多少上发生变化，或是在方向、路线、时间等方面发生变化，或是在其他方面发生变化。研究这些事情里的数学问题通常有两条线索：一条是从事情的起始状态，根据将要发生的变化，推断结束时的状态；另一条是从事情结束时的状态，联系已经发生的变化，追溯起始状态。学生比较习惯用前一条线索分析数量关系和解决实际问题，但是，有些问题用后一种思路去解决更为简便。鉴于“倒过来推想”这一策略对学生有较高的思维要求，因此在设计前，执教者要客观分析学生的思维水平和解题基础，在教学中要引导学生克服思维上的障碍，还原自己的解题过程，突破解题的难点。另外需要注意的是，一方面要引导学生在简单的事情中体会倒推是一种策略，另一方面要引导学生学会举一反三，灵活运用倒推策略解决实际问题。

一、故事激趣

故事引入：一天，李白在家中请客。到中午十二点，还有几个客人没到。于是自言自语：“该来的怎么还不来？”听到这话，客人们心想：“该来的还不来，那么我们是不该来了？”于是有一半客人告辞而去。李白后悔说错了话，着急道“不该走的又走了！”剩下的客人心想：“不该走的走了，看来该走的是我们啊！”于是剩下的客人又走了一半，李白见状，十分懊悔，辩解道：“我说的不是他们啊！”一听这话，剩下的客人心想：“不是他们？那就是我们了！”于是剩下的客人，有一半叹了口气，也走了。最后只剩下李白最要好的，最了解他的一个朋友默默看着他，哭笑不得……

问题：有多少人到李白家里做客？

通过故事中隐藏的数学问题激发学生探究的欲望，激活学生认知储备和经验储备中“倒过来推想”的思想方法。

二、从旧知入手感知策略

1.出示课题（解决问题的策略）。

提问：同学们以前接触过类似的课题吗？这里的“策略”是什么意思？

指出：在解决比较特殊、比较复杂的问题时，往往要用到一些策略。今天我们学习解决问题的策略，就从简单的问题开始。

2.旧知引入。

谈话：这是同学们曾经接触过的题型，“一个数原来是20，经过如下两次变化后，现在是多少？”说说计算的过程。

3.感知策略。

引导：“如果现在的结果是20，那么原来是多少？”说说你的思考过程。

比较，上面（1）、（2）两题有什么地方不同？

启发：“某一个数经过如下两次变化后，现在的结果是54，这个数原来是多少？”

讨论：（3）题与（1）和（2）题中的哪一题相似？你是怎么想的？比较（2）、（3）两题有什么共同点？（知道现在的结果，“倒过来推想”原来的数；不仅思考方向要从现在到原来，而且计算也要反着算。）

板书：原来现在

4.揭示概念。

指出：像这样从现在的结果出发，根据变化的过程，倒过来推想原来的状态，我们把这种策略叫做“倒推”（板书：倒推）。

评析：教师课前谈话和引入部分的设计独具匠心：一是有趣味性，改编的故事“李白请客”，其富有趣味的情境，集中了学生的注意力，激发了学生探究的欲望。二是有数学味，“填数”活动唤起了学生头脑中已有的认知储备，让学生体验到要知道原来的数必须从现在一步一步往前倒推。三是有导向性，两次活动都能让学生在猜想的过程中，体验到要知道事物原来的状态必须借助一定的方法，初步感悟倒推策略的本质——倒过来推想。

三、在模型构建中引入策略

1.整理条件。

出示例题：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军30张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？

引导：仔细观察，这道题有什么特点？小明邮票的张数发生了几次变化？怎样变化的？为了清楚地表示小明邮票张数的变化情况，建议先对题中相关信息进行整理。你认为怎样摘录方便快捷呢？（学生如有困难可提示方法：摘录重点语句加箭头，或用方框加箭头……）

投影展示：

方法一：又收集24张送给小军30张还剩52张。

启发：有什么建议要提？

方法二：原有？张又收集24张送给小军30张还剩52张。

指出：这位同学虽然多写了几个字，但完整、清晰。

方法三：

（？张）■（ ）■（52张）。

提问：这里的“+24”、“-30”是什么意思？

方法四：（ ）+24-30=52。

点评：最后两种方法运用数学符号来表示数量的变化过程，更加简捷。

2.尝试“倒推”。

提问：整理信息后，我们发现要求“小明原来有多少张邮票？”可以用“倒推”的策略来解决。谁来说说怎样倒推？（多媒体演示）

3.列式解答。

方法一：52+30-24=58（张）。

方法二：52+（30-24）=58（张）。

提问：方法一中的“+30”、“-24”表示什么意思？方法二中为什么要先算“30-24”？怎么确定上面的解答是正确的？怎样检验？

4.归纳反思。

启发：这道题为什么要倒推？

讲解知道变化的过程和现在的结果，推算原来的情况。

评析：此例是典型的倒推题，呈现的是一个数量的两次变化，与导入部分的“填数”活动无缝对接，更加符合学生的认知特点和思维规律。倒推策略应用的典型特征是已知现在，要求原来。这里教师突出关键问题，首先引导学生思考：这道题有什么特点？小明邮票的张数发生了几次变化？怎样变化的？然后让学生通过整理条件——确定策略——列式解答——检验答案，突出波利亚的“怎样解题的步骤”。通过教学让学生掌握倒推的方法，也就是从有序整理到按序倒推，最后再按顺序检验这一解决问题策略的模型，掌握用“倒推”策略解决问题的特殊性，体验在特定问题情境下用“倒推”策略解题的优越性和“倒推”策略的具体形成过程。即在通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“倒推”的策略加以解决。

5.典型例题分析。

师：刚才我们研究的是一个数量发生变化的情况，如果有两个数量发生变化呢？

（1）观察：从图中你知道哪些数学信息？

（2）提问：在倒果汁的过程中，什么没有变？什么发生了变化？它们各变化了几次？这道题可不可以倒推？

（3）思考：请借助表格用倒推的策略来解决问题。

（4）列式解答：

400÷2=200（毫升）

甲杯：200+40=240（毫升）

乙杯：200-40=160（毫升）

（5）回顾：我们是怎么倒推的？

（6）比较：对比一下刚才的两道题，有什么异同？

评析：例题分析由易到难，循序渐进，遵循了学生的认知起点和思维规律。从一个数量的两步倒推，到两个数量的一步倒推，继续强化倒推策略的特征——已知现在，要求原来。让学生在变化中寻求不变：什么没有变？什么发生了变化？它们各变化了几次？并通过课件演示，形象揭示数量变化的过程，使学生进一步产生需要倒推策略的心理需求，再次体验“倒推”是解决问题的策略。另外，通过填表反思“倒回去”的过程，利用加法或减法计算倒入和倒出的问题，能进一步理解“倒回去”的意思，体会它对解决问题的作用；而通过比较两个例题的异同点，更加突出了解决问题方法的特点，以及对这种方法的感受。这样，从解决问题的过程中提炼了思想方法。

三、在拓展延伸中运用策略

1.专项练习。

（1）小娟和小磊做纸鹤，裁纸要用5分钟，折纸鹤要用25分钟，把纸鹤用线穿成一串要用10分钟。如果要在上午10时全部完成，他们最迟从什么时间开始动手做？

（2）蚂蚁从蚁巢出发，先向西走5格，再向南走1格，再向西走3格，最后向南走3格找到食物，你能帮蚂蚁找到家吗？（演示课件）

学生独立完成后，展示、反馈学生的练习情况。

2.对比练习。

（1）小军收集了52张画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，小军还剩多少张画片？

（2）小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原有多少张画片？

提问：上面两道题，哪一题需要用“倒推”解决？理由是什么？

学生独立解答后，重点反馈第（2）题。

预设：①25×2+1=51（张），②（25+1）×2=52（张）。

反馈：老师发现了不同的答案，究竟哪个正确呢？（引导学生检验）为什么要先加上1再乘2？

指出：其实，这道题还可以用线段图来帮助理解。从图上也可以清楚地看出，25并不是原有张数的一半，（25+1）才是原来的一半。或者把“一半还多1张，剩25张”假设为“送一半，剩（25+1）张。”

小结：看来运用“倒推”策略是有讲究的，不仅要考虑变化过程，还要注意倒推的顺序。

3.拓展延伸。

用“倒推”策略解决经典名题《李白喝酒》。

诗仙李白善饮，诗圣杜甫有诗为证——“李白斗酒诗百篇”。唐朝天文学家、数学家张遂以“李白喝酒”为题材编了一道题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”

同学们可能已经听出来了，老师讲的故事和古诗中隐藏着两个数学问题，知道答案吗？

评析：巩固部分分三个层次进行，其中对比练习中的第（2）题是这节课的一个难点，较例题复杂，学生在理解上也有一定的困难。这里面其实渗透了倒推与多1少1的动态平衡思想。几乎大多数学生都会出现像第一种列式那样的错误，学生在理解的过程中其实还没有真正掌握这种复杂的问题是不能轻易改变倒推顺序的，教学中通过引导尝试、验算、讨论，加上教师因势利导进行点拨，并借助于线段图列出小军画片的变化过程，学生也就理解了计算过程，明白了错在哪里，同时也意识到有序整理、按序倒推、顺序检验的重要性。通过对比练习让学生从顺向和逆向两种情境中体验“倒推”策略的本质特征，促使学生的数学思维进一步延伸。

四、在回顾提升中巩固策略

谈话：今天这节课学习了“倒推”这一解决问题的策略，谁能告诉老师，可以倒推解答的题目有什么特点？倒推时要注意什么？

指出：倒推很多时候只是一种特殊的思考方法，很管用。但是，有些现象是无法倒回去的，比如时光，既然无法让时光倒流，那就让我们从现在开始，认认真真做好每一件事，快快乐乐过好每一天。

总评：这是一节策略教学研究课，成功之处有以下三个方面：

1.典型例题，突出结构特征。教师在教学例题后，除了让学生反思学习过程外，还注意让学生说说例题的特点，有利于学生掌握这一类题的思考方法。在让学生经历建模过程，强调体验的同时，对方法的探究、梳理和提炼，是让学生扎实“四基”的重要手段，策略教学如果没有一类典型题的支撑，不让学生明白这类典型题的特征，也就无法让学生掌握运用策略解决问题的方法。

2.方法提示，引领自主学习。为达到预期的效果，教师在教学中运用这样的语言引领：为了清楚地看出题中数量之间的关系，可以将题中的信息进行整理，可用摘录重点语句加箭头的方法，也可以用方框加箭头的方法。从课堂实际效果来看，这样做是有效的。

3.注意比较，发展数学思考。培养学生的数学思考是数学教学的重要任务，教学中，教师除了引领学生“说数学”外，还注重比较，让学生从比较中感悟，从比较中理解。例如，在开始的两个框图出现后进行比较，让学生感悟怎样的框图可以用倒推的方法解决问题，为后面的学习提供思维支撑；在学生学习完两个例题后，教师再次组织学生比较两道题有什么相同的地方，让学生进一步明白，怎样的题目适宜用“倒推”的策略来解决。

在“算法多样化”处理上，教师要注意如下几点：一是要分析学生出发方法的思维水平，如果较高层次的思路已经出发，而学生对于低层次的想法也没有想到，这时教师没有必要引导学生说出低层次的思维方法。二是要在多种算法出来后，组织学生比较，引导得出基本的学生普遍适用的方法。三是要突出基本思路的回归，让学生在操作、说理、交流中学会基本的思考方法。