例谈分类讨论法在中考数学中的运用

摘 要： 本文通过具体事例说明了分类讨论思想在近些年本省中考数学试题中的运用.

关键词： 分类讨论 中考数学 运用

在数学中常常需要根据研究对象的性质，对各种不同的情况予以分析，这就是分类讨论.由于分类讨论题覆盖的知识点较多，考查方式多样，具有较高的逻辑性和综合性，因此在这几年的中考试题尤其是解答题中经常用到这种方法.可以说，只要是有一定难度的试题，一般就会用到分类讨论的思想.然而，一些学生在用分类思想解题时，却常常出现因考虑不周而失分的现象，因此在平时教与学的过程中，尤其在中考复习时，对分类讨论思想要进行多方面的渗透，提高学生全面分析问题的能力，形成严谨的思维品质.

任何分类讨论方法都可以分为四个步骤：（1）确定分类对象.（2）进行合理分类.（3）逐类讨论，分级进行.（4）归纳并作出结论.现从本省近几年的中考数学试题中举例说明分类讨论思想在解题时的具体应用.

一、根据相关政策法律和方案进行分类

例1：（2013・徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：

（1）若甲用户3月份的用气量为60m■，则应缴费？摇 ？摇元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m■），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用气175m■（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

分析：（1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；

（2）结合统计表的数据根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；

（3）设乙用户2月份用气xm■，则3月份用气（175x）m■，分3种情况：x>125，175x≤75时，75

由于我国正处于经济社会发展的关键时期，为了解决改革中出现的各种问题，国家相继制定了相关法规和政策，其中不乏与中学数学知识有密切关系的.为了体现数学的应用性，此类问题是近些年中考数学的热点问题.如例1中的天然气收费问题，2012年淮安卷25题的阶梯电价问题和2011年无锡卷28题的个人所得说的征收问题，解决这些问题的关键是要求考生运用分类讨论的思想，根据相关政策在不同阶段的不同规定，求出相应的函数关系式，最后根据题目具体要求代入数据或列出方程求出正确结果.

二、按对应关系的不确定性进行分类

例2：（2012・扬州）已知抛物线y=ax■+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

分析：（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可.

（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点.

（3）由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况讨论：①MA=AC，②MA=MC，③AC=MC.可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面三种情况列式求解.

此类问题的解决方法一般是按照题目中的条件或结论得出一些特殊几何图形，然后根据这些特殊图形所具备的各种不同的对应关系进行分类，最后根据分类结果，依据相关数学定理如勾股定理、对应边相等或成比例，列出方程或函数关系式.由于此类问题易于考查学生思维的条理性和严密性，近几年的中考中屡见不鲜.如例2中和2013年无锡卷26题的根据等腰三角形的腰的不确定性进行分类，2012年徐州卷27题和2013年苏州卷28题中DOE与ABC相似中对应点的不确定性进行分类.

三、按照不同的运动状态进行分类

例3：（2011・淮安）如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2，点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t/秒（t>0），正方形EFGH与ABC重叠部分面积为S.

（1）当t=1时，正方形EFGH的边长是？摇 ？摇；当t=3时，正方形EFGH的边长是？摇 ？摇.

（2）当0

（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？

分析：（1）当时t=1时，可得EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；

（2）正方形EFGH与ABC重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形，可分三段分别解答：

①当0

②依次求S与t的函数关系式.

解决此类问题一般从运动的观点，根据平移、旋转、轴对称等相关知识，抓住运动图的一些基本特征，在不同位置构造出不同的几何图形进行分类讨论，然后利用相似、面积公式和三角函数等知识求出关于时间t对应函数关系式.由于运动形式和运动元素的多样性，近些年此类问题的试题呈现一些新的特点，如本例中和2013年连云港卷26题的两个动点问题，2012年淮安卷27题矩形旋转问题，2011年盐城卷28题动直线与圆的位置关系问题，虽然题目形式变化多样，但应用上述方法一般都可解决此类问题.

四、由参数的变化引起的分类讨论

例4：（2011・南京）已知函数y=mx■-6x+1（m是常数），⑴求证：不论m为何值，该函数的图像都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图像与x轴只有一个交点，求m的值.

分析：（1）由于二次函数的常数项为1，故x=0时，y=1得证.

（2）考虑一次函数和二次函数两种情况，m=0函数为一次函数，与x轴有一个交点，m≠0函数为二次函数，由函数y=f（x）与x轴有一个交点的要求，对应的一元二次方程f（x）=0有两个相等的实数根，即根的判别式等于0.

求解某些含参数的数学问题时，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，因此不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.如本文例4中的由于参数m的不确定性，需对函数类型进行分类讨论.根据数学中参数存在的形式不同，分类方法也不同.如2012年泰州卷28题，利用参数表示相关点的坐标，然后根据坐标满足条件进行分类；2012年镇江卷27题中先求出由t决定再生二次函数，然后根据再生二次函数经过的不同点进行分类，求出相应t的值.

总之，当涉及的数学问题较复杂，难于按照统一的方式方法加以解决时，需要把待解决问题划分为若干方面加以解决，最后得到问题的全部解决.分类讨论思想在中考试题中的应用很广泛，需要学生在平时解题时仔细体会.

参考文献：

[1]钮必伍.考试，2009（11）.

[2]张洪斌.科技信息（科学・教研），2009（8）.

[3]郑春安.中学数学杂志（初中版），2010（3）.

[4]薛清华.四川职业技术学院学报，2010（6）.