积累基本活动经验的两条途径

世界自然基金会曾在中国举办“可持续发展环境教育”研讨会，笔者参与了其中的一个综合性活动。活动将参与者分成几组，每组备有不同的材料。如第一组：10张白纸、2张100元纸币；第二组：4张白纸、2支铅笔、2张100元纸币；第三组：1张白纸、2把剪刀、2把尺子、1个圆规、1套直角尺、4支铅笔、6张100元纸币等。游戏规定，参与者只能用所给材料剪出符合规则要求的图形（见下图），不能手撕，不同图形有不同的价值，根据“生产价值”的多少决定各组的名次。游戏中有组织者和一位协调者。

活动结束，参与者明确了游戏主题：“世界贸易”。不同组别分别代表发达国家——拥有先进技术，但原材料缺乏；发展中国家——拥有一定的技术和一定的原材料；欠发达国家——原材料丰富，但缺乏技术。不同国家之间通过转让原材料获得技术，或通过转让技术获得原材料的方式来谋求发展，其中也有无条件转让原材料或肆无忌惮掠夺现象的发生。协调者的身份类似“联合国”，起到协调、“济贫”的作用。

上述案例是“综合与实践”的内容，学习者在活动参与中领悟主题，感悟学习内容，积累基本活动经验。值得思考的内容有两点：

世界贸易又称国际贸易，意指不同国家或地区之间的商品和劳务的交换活动，包括进口贸易和出口贸易。这是一个抽象概念，如何在学生已有认识和经验的基础上，建构起抽象概念，是活动设计的核心。

游戏过程中，参与者通过合作、竞争甚至垄断，体会“出口”和“进口”，体会商品交换，体会交换活动中的贸易关系——友好合作、霸权或者垄断、掠夺竞争等。随时变动的图形价值，说明商品需求关系的变化。此案例让参与者在模拟的货币交换、制造产品、积聚财富等具体活动中抽象出概念。

感悟概念的抽象过程，不仅有利于学生对概念的理解，而且可以在参与和思考的过程中积累基本活动经验。数学的特点之一是形式化、抽象化，对于学习过程中的学生而言，如果仅停留在数学抽象的“象牙塔”里，将活生生的数学背景抹掉，是无法真正理解数学的内涵的。也正如大数学家冯·诺依曼所言，当数学越来越抽象，距离人们的生活越来越远时，数学的生命力是否依然枝叶繁茂的疑问也就出现了。①

学生思考的过程应该是感悟数学概念的抽象过程。人教版初中二年级“平方根”概念是这样表述的：“一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。”以下是对这一概念的两个不同的教学设计②：

教学设计1：

师：大家已经知道，9的算术平方根是3，也就是3的平方是9。还有没有其他的数，它的平方也是9呢？

生：还有-3。

师：平方得9的数有几个，平方得的数有几个，平方得0.64的数呢，有没有平方得-9的数？

生：平方得9的数有2个，是±3；平方得的数有2个，是±；平方得0.64的数也有2个，是±0.8；没有平方得-9的数。

师：已知一个数，我们可以求得它的平方。同样，已知某数的平方是多少，我们需要求这个数。用式子表示就是，如果x2=a，求x的值。这和我们一开始提出的问题求一个数的平方正好相反，我们把这种运算就叫作开平方（或开二次方）。这个数就叫作数的平方根。

随后教师引入平方根的符号表示。

教师原本以为，学生已经学过“算术平方根”，“平方根”的学习可以水到渠成、顺其自然。因此，教师教学时按照教科书的安排，从举例引入。但课堂练习过程中学生出现了诸如64==±8，（-25）2==-25，11=±等错误。学生不明白：开平方是什么？为什么用±来表示？是正数吗？

教学设计2：

师：请大家回答3+4=？

生：7。哈哈！（学生认为问题“小儿科”！）

师：大家知道，这是由3和4进行加法运算而得出的一个等式，其中各数的名称……（生回答）请问，同样用这三个数字表达：3=？

生：3=7-4。

师：我们发现，用7、4表示3的等式已由原来的加法等式变成了它的逆运算减法等式，各个数字的名称也发生了改变。请大家回顾从小学到现在学过的类似的互逆运算等式。（生回答，教师提炼、板书）

3+4=7 3×4=12 （±5）2=25

3=7-4 3=12÷4 ±5=？

师：上面的式子中，加法算式中的一个加数可以由“和”和另一“加数”通过互逆运算“减法”表示，乘法算式中的一个乘数可以由“乘积”和另一“乘数”通过互逆运算“除法”表示。很自然的，对于平方算式，有没有类似的结论：平方算式中的底数能否用“乘积”和“幂”来表示±5=±

在总结反思的基础上，该教师改变由“算术平方根”直接引入“平方根”的做法，通过类比学生熟悉的“加、减、乘、除、乘方”运算，引入“平方根”概念和“开平方”运算。从而引出猜想：±5应该可以用2和25表示。由此，引入平方根概念和开平方运算，引入符号表示：±5=±。

以上两种不同的教学设计，反映出教师的教学能否站在学生的角度考虑。教学设计1的主要问题是教师以“成人”或“过来人”的视角看待接受新知识的“未成年人”，以“过来人”的思维代替学生的思维，呈现给学生形式化的、演绎的数学。学生缺乏真正意义上的从自身出发、符合自身常理性思考的认识和学习过程，不能理解概念的本质以及抽象符号的意义。改进后的教学设计2，注重学生的已有认知，通过类比引入“平方根”概念，即学生已经学习了加、减、乘、除、乘方运算，并且加、减互为逆运算，乘、除互为逆运算，那么乘方运算有没有互逆运算？如何表示？由此，建立“平方”运算与“开平方”运算的联系，帮助学生建立起自主和有意义学习的基础。

参与者的交流、讨论，可以促进对概念的理解和感悟。案例活动开始时，部分组别的成员是迷茫的，因为仅有的材料无法制造产品。然而，进一步交流、讨论后发现，通过互换、掠夺等方式可以促进组内活动的展开。参与者在思维碰撞和分工合作中，最大限度利用材料生产了尽可能多的产品。

美国数学教师国家委员会年书（1999年）曾讲过这样一个例子：

一只蟋蟀落在直线的点“1”处，它希望到达直线的“0”点处，但每次蟋蟀只能跳到所剩距离的一半。问：蟋蟀第一步落在直线何处？第二步落在直线何处……蟋蟀能否最终落到“0”点处？

美国学生有下面的交流和讨论：

生1：我想知道，为什么每次蟋蟀只能跳到所剩距离的一半，而不能在下一段中跳过相同的距离？

生2：因为下一段的距离又被分为了两半。

生3：蟋蟀的能量是逐渐减少的，每跳一次，蟋蟀的能量都将减少一半，这真是太残酷了。

生1：于是，最终它将只剩一个头了？

生3：它最终只能是一个非常非常小的身体了。

生2：正因为如此，它的身体每次都会减少，所以不能在下一次的时候继续相同的距离而只能跳动所剩距离的一半。

这样的讨论似乎偏离了解题思路，却反映了学生的原始想法。首先，他们对蟋蟀为什么这样做寻求“合理”的依据；然后借助空间推理和想象，将蟋蟀看成一个“质点”，认识到这是一个不同于现实生活的“数学问题”，是与蟋蟀尺寸大小无关的问题，由此抽象出图形（如下图），进一步进行数学解答。

这种质疑、探究、讨论看似偏离主题，但对问题合理性解释的过程，恰恰是学生基于自身认识基础上的思考，是一种追根究底、探求问题实质的态度。可以说，积累基本活动经验的重要载体之一是学习者的交流和讨论，交流和讨论可以促进学习者对问题的深入理解和感悟。

对于培养学生的数学创新而言，重要的是积累归纳推理的经验，因为归纳推理在于由已知探求未知，演绎推理在于验证结论③。上面的案例旨在说明，教学应关注学生通过归纳推理获得猜想以至抽象概念的过程，关注学生交流、讨论中的思维碰撞。教学不宜过早形式化和符号化，不能剥夺学生思考的过程，更不要把教学变成枯燥的演绎推理的符号表述，学生需要经历学习的过程，积累数学基本活动经验。

注释：

① 刘金顺、何绍庚译. 数学史译文集[M]. 上海：上海科学技术出版社，1981：123.

② 刘香琴，郭玉峰. 数学知识由“学术形态”向“教育形态”的转化——以“开平方”教学为例[J]. 中小学教材教学，2005：7.

③ 郭玉峰，史宁中. 数学基本活动经验：提出、理解与实践[J]. 中国教育学刊. 2012：4.

（本文是北京市教育科学“十二五”规划重点课题——“四基”之数学基本活动经验研究：量化与课堂实践（ABA12020）的研究成果之一。）

（作者单位：郭玉峰系北京师范大学数学科学学院，刘春艳系北京师范大学第一附属中学） （责任编辑 钱丽欣）