构“问题图式”促思维提升

摘 要 “问题图式”习题教学能将分散的知识集中化、单一的图形多元化、抽象的思维具体化、静态的图形动态化，使习题教学教得深刻、学得透彻；教有深度、学有高度。

关键词 问题图式 习题教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）22-0074-02

所谓“问题图式”，是指由与问题类型相关的原理、概念、解题方法、结构变化和操作程序构成的一个知识综合体。由于图式既表征了抽取出来的一般性命题，又具附属于命题的具体解决思路，因此，在习题教学中，选择典型题及解法作为基本图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研究，形成合理的知识组块和问题图式。教学设计便于引导学生知识的迁移和解决问题能力的产生，利用图式启智，剖析问题结构、优化解题策略、提升思维能力。如何利用课本典型习题进行“问题图式”习题教学，我以一节“直角三角形”习题课为例，谈谈对此的认识和理解。

一、铺路引桥构建问题图式

师：“已知：ABBD于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，那么ABP≌PDC”这个结论成立吗？

学生纷纷摇头，表示条件不充分，所以结论不成立。

抛出条件串：（1）AP=PC （2）AB=PD （3）PB=CD （4）APPC。

师：你能在条件串中进行挑选、补充与原题不一样的条件，使结论成立吗？

学生们经过思考之后，得出五种方案：

（1）AP=PC，AB=PD （2）AB=PD，PB=CD

（3）AP=PC，PB=CD （4）AB=PD，APPC

（5）APPC，PB=CD

师：同学们做得很好，我们取条件APPC、AB=PD，改编结论为：PB=CD，结论成立吗？

生1：仍然成立，可借助先前已证得的全等三角形，再根据全等三角形的性质得到PB=CD。

师（继续追问）：若取条件AB=PD、PB=CD，改编结论为：APPC，结论成立吗？

生2：成立，可借助刚才已经得到的两三角形全等得∠1=∠C，又因为∠C+∠2=90埃傻谩？+∠2=90埃APPC。

师：若连接AC，APC是一个什么特殊三角形？

生齐声回答：等腰直角三角形。

【设计思路】该环节设计，通过改变原题的已知条件、运算信息、待求结论的结构，形成“一线三等角”（等角是直角）的“K”字图典型图式，渗透全等三角形性质和判定、等角或同角的余角相等等知识运用，完成全等三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三大图形的转化，完成此类题目的解题梳理。

二、化隐为显运用问题图式

问题1：如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上。若a=6，b=7，则c=______。

师：你能在这里找到熟悉的图形吗？

学生的积极性被点燃起来，由于前面打下的基础，很快就有学生观察到CBN≌NEH，再借助“正方形的四边相等”和勾股定理易得到：

问题2：如右图，是由两个全等的长方形拼成的字母“L”，其中B、C、D在同一条直线上，你能借助图中的顶点画出一个等腰直角三角形吗？请说明理由。

问题3：是个操作题，由于它是结论开放性题目，所以每个学生都能根据自己的实际水平解决它，因此他们解题热情高涨，大多数学生很快就找到满足要求的BHC、ECD。教师询问还有没有时，有部分学生反应敏捷，略一思索，把第三个答案ACF也找到了。很显然第三个答案的得出，得益于引题的启发。（具体见下图）

【设计思路】利用问题图式，使隐含条件外显，问题障碍减弱，难度系数降低，“K”字图在解题过程中更显结构化，促进解题高效完成。

三、变静为动激活问题图式

问题：如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B、C，点P为线段BC上一动点。（1）当AB=1，CD=4，BC=5时，线段BC上是否存在点P，使APD为等腰直角三角形？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。

由于动点题型八年级的学生接触不多，所以教师可借助几何画板，在BC上任选一动点P，构造APD，让点P在线段BC上自由运动，在运动的过程中，让学生观察是否有等腰直角APD存在。

学生通过观察，认为存在，当点P如下图示，APD为等腰直角三角形。并根据假设APD为等腰直角三角形时，可得ABP≌PCD，BP=CD=4。

师：BP的长度与AB、BC有关吗？

生齐声回答：无关。

师：如果无关，那么老师可否让AB=1，BC=6？

学生们略微思索之后，回答不行，因为题中PC=AB=1，那么BC只能为5。

师趁机抛出引申问题：在上图中，当AB=a，CD=b，BC=c时，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APD为等腰直角三角形？

生3：仍然借助ABP≌PCD，可得AB=PC=a，BP=CD=b，BC=BP+PC=a+b=c。

【设计思路】把基础图形放置于“直角梯形”的背景之中，变静为动，以点动带动图形的运动变化，对原题进行了深化，本题看似是动点题，但思想方法上看点P位置，实际等腰直角三角形的存在只是动点过程的一个特殊情况，似动实静，实质就是“K”字图，激活数学图式，感悟它的数学本质。这样，看似无关联的动点题探究又在“K”字图上统一起来了，这为学生解题能力的提升打下了坚实的基础。