《几何画板》在实施高中数学课程中的优点

摘要：信息技术与数学课程的整合是现代教育改革、发展的需要。《几何画板》以其动态几何的特性深入几何的精髓，有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象；同时，架设“数形结合”的桥梁，把数和形的潜在关系及其变化动态地显示出来，抽象变形象，微观变宏观；让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，更有效地发展学生对数学概念的理解和解决问题的能力， 构建“实验探究――自主发现――讨论合作”教学模式。

关键词：几何画板 由静到动 数形结合 数学实验

《普通高中数学课程标准（实验）》明确提出：“现化信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。”

数学是人的记数活动和空间度量活动的反身抽象，是对主体活动的抽象。学生的数学学习是一个具体形象思维和抽象逻辑思维相结合的思考过程。从这个意义上说，利用信息技术与数学课程整合，就是要应用信息技术创设丰富多彩的教学情境，让学生通过观察、实验、猜想、验证、交流等课堂活动，改善数学课堂中的学习方式，促进学生积极主动学习。在这方面，《几何画板》以其动态几何的特性显示了其独特的魅力。通过创设情境，能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象。同时，架设“数形结合”的桥梁，把数和形的潜在关系及其变化动态地显示出来，抽象变形象，微观变宏观；让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，也能更有效地发展学生对数学概念的理解和解决问题的能力，构建“实验探究――自主发现――讨论合作”教学模式，更好地体现数学课程改革的基本理念。

1 由静到动，提示几何精髓

在传统教学中，使用尺规作图，在黑板上画出的永远是静止不变的图形，要认识它的关系需要教师的语言描述和学生的空间想象能力，有时很容易掩盖一些几何规律和极其重要的几何原理。而《几何画板》以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测量、计算、动画、跟踪轨迹等，显示或构造出其它较为复杂的图形（诸如各种几何图形、立体透视图、动态正弦波、函数曲线、轨迹的动态描述等等）。它的特色是能把较为抽象的几何图形形象化，并将其"动态性"，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓。

例如，讲《二面角》时，可以画出如图1所示的二面角（可以任意转动的）。图形连续转动形成的众多画面变换，给学生带来的视觉感受使学生在大脑中形成图形空间变化的印象。教学过程中让学生动手操作，反复观察在各个不同位置二面角的图形特点，从而纠正学生长期形成的二维平面思维习惯，实现空间想象能力培养的目的。

在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图2），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图3），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。

在解析几何教学中，学生看到了引起动点运动的原因，看到了“动点”真的动起来了，看到了轨迹形成的过程。例如，利用《几何画板》可以动态地观察在函数中，参数是如何影响函数的图象的（如图4）。

2 架设“数形结合”的桥梁，抽象变形象，微观变宏观

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”。“数形结合”是学习数学的重要方法，用图形解释抽象的数学现象形象、直观。《几何画板》能很好地把数和形的潜在关系及其变化动态地显示出来，随时观察到各种情况下的数量关系及其变化。

例如，直线的倾斜角、直线的斜率，以及当直线在平面上绕一点转动时其斜率如何变化，是一个学生容易出错的问题。如图5，用《几何画板》可以把图形画在一个屏幕上，它们的变动情况以及数量关系都显示在同一屏幕上，不用老师开口，同学们就会发现：当直线绕点逆时针旋转（不绕过垂直于x轴的直线）时，斜率总是在增大。同一个屏幕上，函数的图象，又从“形”的角度帮助认识斜率与倾斜角间的数量关系。

图象的变换是函数教学的一个难点。要说明函数的图象与函数的图象的关系，只要拖动点T（改变它的横坐标t），反复观察图象移动与t的数量关系，就不难明白，当函数式中时，图象右移，时，图象左移，形象地显现了图象的移动与参数t间的关系，从而归纳出平移的规律（如图6）。

3 “做数学”的实验室，改变教学模式

长期以来，人们对数学教学的认识就是概念、定理、公式和解题，认为数学学科是一种具有严谨系统的演绎科学，数学活动只是高度的抽象思维活动。其实，数学不只是逻辑推理，还有实验。G・波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门试验性的归纳科学。”弗赖登塔尔也曾指出：“在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或是小组活动。”计算机的出现改变

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了数学只用纸和笔进行研究的传统方式，丰富和发展了数学实验的内涵。计算机使我们获得了一种新的“做数学”的方法，即主要通过计算机实验从事新的发现，而《几何画板》正是一种支持数学教学实验的工具性软件。

如，在学习椭圆与双曲线的定义时，可以设计下面的实验：画一个圆A（半径为AB），在圆上取一点C，在平面内任取一点D，作线段CD的垂直平分线k，让圆上的点C在圆上运动，轨迹跟踪这条直线。让学生动手操作，改变D点的位置，观察垂直平分线的轨迹形状。

1 点D在圆A的外部（如图7（1））；

2 点D在圆A内部（分CD>AB和CD

3 点D与圆心A重合（图7（3））；

4 点D在圆A上（图7（4））；

5 改变圆的半径AB的大小，重新讨论上述各种情况。

通过一个简单的拖动过程，可从一个角度说明椭圆和双曲线是统一的，都是二次曲线，并且还能表示出特例的情况。

在这个实验里，《几何画板》成为学生发现知识、解决问题的重要工具。教师不再是知识的讲解者，而是成为学生学习过程的设计者和指导者；学生也不再是单纯的听众，而是成为学习的主人，成为学习过程真正的参与者。学生由“听数学”转为“做数学”，从被动接受知识变成主动建构知识，通过《几何画板》平台进行数学实验，实现知识的有意义建构，并从中获得数学研究、解决实际问题的过程体验、情感体验，产生成就感，从而增强学生学习数学的动力。打破了传统的“讲、练、记”的教学模式，构建“实验探究――自主发现――讨论合作”教学模式。

总之，在利用《几何画板》探索数学教学的过程中，抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成对数学的喜爱，可以极大地调动学生的学习积极性，有效地激发了学生的学习兴趣，增强了他们学好数学的信心，对提高教育教学质量、提高学生的数学能力都有着积极的促进作用。