有的放矢 12期

摘要：本文以初中生数学思维现状分析为切入点，试从具体形象思维、抽象逻辑思维、发散思维以及思维的持续性和思维的批判性等方面，初探如何培养初中生数学思维能力。

关键词：初中生；数学思维；能力培养

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）12-0242-01

由于数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，所以初中数学对于发展初中生的思维能力具有极其重要的意义。因此，初中生学习数学，不仅要掌握新课标所规定的数学知识、技能和能力，而且要掌握数学思维的方法，促进数学思维能力的提高。初中生数学思维的发展具有两个主要特点：第一，抽象逻辑思维日益发展，并逐渐占有相对优势，但具体形象思维仍然起着重要作用；第二，思维的独立性和批判性有了显著的提高，他们往往喜欢怀疑并争论问题，不随便轻信教师和书本的结论。因此，发展数学思维能力是初中数学教学的重要任务，我们在发展学生数学思维能力的努力中，不仅要考虑到能力的一般要求，而且还要深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点，寻求数学活动的规律，培养学生的数学思维能力。

1.明确方向，合理规范学生的思维

在具体的授课过程中，作为教师我们应该教会学生依据解题目标，确定解题方向，避免像无头苍蝇似的到处乱撞，使思维更加具有合理性。

例如在上《一元二次方程根与系数关系》时有这么一道题目：已知关于X的一元二次方程 有两个实数根，（1）若方程两根均为非负数，求K的取值范围。（2）若此方程的两根为a和b，求y=a3+a2b-a+3ab+b的取值范围。

[分析]：第一小题可由韦达定理和根的判别式及非负数条件转化成不等式组直接求解。第二小题实质上则是求一个高次代数式的取值范围。因此讲解时必须明确的告诉学生，一般来说此类题型需遵循两个原则，1是高次化低次，2是减少未知数。注意到a和b是方程的两个根，所以有a+b=1，ab=k，则等式中的两个三次方项可提出公因式并将（a+b）用1代入，

同时将"3ab"中的"ab"用k代入，这样既达到降次的作用又间接暗示了将两个未知数a和b转化成一个未知数k的思路。至此可知y的取值范围借助于第一小题k的取值范围了。附解题过程如下：y=a3+a2b-a+3ab+1=a3+a2b+3ab+（1-a）

=a3+a2b+3ab+b=a2（a+b）+3aab+b=a2+3ab+b

ab=k，a+b=1且另有a2=a-ky=a-k+3ab+b=1+3k-k=2k+1

1≤y≤32

通过这类题型的练习，即可让学生明确方向，合理思维，从而提高学生的数学思维能力。

2.数形结合，应用形象思维的特质

数与形是数学中两个最基本的概念。著名数学家华罗庚曾经指出"数形结合无限好，割裂分家万事休"。因此在数学教学中，我们要善于把数与形结合起来研究，把图形的性质问题转化为数量关系的问题或将数量关系的问题转化为图形的性质问题，从而为学生开拓一种新的思路，体会思维的巧妙性。

例如：直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组mx>mx-2的解集是________

应用这种解法大大简化运算又易于学生理解，因此我们在教学过程中要引导学生做到"脑中有图"、"见数联形"，这样就能不断地训练学生的形象思维能力从而达到提高的目的。

3.一题多解，拓宽学生的思维

同一道题，因思考的切入点不同，往往会得到不同的思路和解法，如果教师能在具体的授课过程中注意这一点并对学生进行点拨，促使学生去寻找多种解法，则必有利于拓宽解题思路，发展思维能力。

例如有这么一道题目：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC为直角，E是AB的中点，AC是ED的垂直平分线，且AD=1，AB=2，求证：DB=DC.

解：在直角梯形ABCD中，∠ABC为直角

AC是ED的垂直平分线 AE=AD，∠EAC=45°

又AD=1 ， AE=1，且E是AB的中点 AB=BC=2

具体讲解时，以上面的步骤为铺垫，因为添加辅助线的不同，解题思路也会不同，各种解法精彩纷呈：

解法一：连结EC，（利用三角形的全等，把线段转化）

AB=BC，∠BAD=∠EBC，AD=BD ABD≌BEC

BD=EC AC是ED的垂直平分线 CE=DC

BD=DC

解法二：过D作DFBC，垂足为F，

（分割成矩形和Rt三角形，利用中垂线性质）

四边形ABFD为矩形，BC=2，AD=1 FC=BF=1

DF为线段BC的中垂线 BD=DC

解法三：过D作DFBC，垂足为F，（分割成矩形和Rt三角形，利用勾股定理求解）

在RtABD中，AD=1，AB=2 BD=

在RtABD中，DF=AB=2，AD=BF=FC=1 CD=5

BD=DC

解法四：过C作CFAD，交AD的延长线于点F

（构造成一个矩形，利用三角形全等求解）

在矩形ABCF中

AD=1，BC=2 DF=AD=1

AB=CF，∠BAD=∠CFD ABD≌CFD BD=DC

解法五：（构造出一个直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质）

AD∥BC FAD∽FBC

BD是RtFBC斜边的中线 BD=12FC BD=DC

通过此题的训练，可引导学生、鼓励学生在做一些综合题时要多从不同角度思考，不断优化自己的解题思路，达到以一道题（或一类题）为桥，尽可能多的复习到相关的知识点为目的，进而拓宽学生的数学思维。

4.分析综合，培养学生逻辑推理能力

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，对学生思维能力的培养大有裨益。例如在初三总复习时有这么一道题目：

如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，DEAC于点E，

（1）求证：DE是O的切线；

（2）若∠BAC=120°，AB=2，求DEC的面积。

（1） 【分析】欲证DE是切线，必先连接OD，且有DEAC，则只需证OD∥AC；欲证OD∥AC，只需证∠1=∠C；欲证∠1=∠C，只需证∠1=∠B（AB=AC），欲证∠1=∠B，只需证OB=OD，至此题目已破解。

（2）【综合】由∠BAC=120°且AB=AC，可得∠B=∠C =30°，又有AB=2又是直径，因此急需一个直角三角形，此时顺理成章即可连结AD，在RtABD中，AB=2，∠B=30°，可得BD=3，则CD=3，在RtDCE中，CD=3，∠C =30°，则DE、EC皆可求了，DEC的面积亦可求出。分析综合法对培养学生的逻辑推理能力是显而易见的，从而通过此类题型的训练不断提高学生的数学思维能力。

5.一题多变，强化发散思维

当前初中数学教师都比较注重集中思维的训练，这当然是十分必要的，但若不注意对学生发散思维能力的培养，则学生多数只能就题解题，不利于学生数学能力的提高。因此我们有必要教育学生养成概括问题的习惯，注重对学生发散思维能力的培养。

例如有这么一道题：

如图，在ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BNAN并延长交AC于D，AB=14，AC=19，求MN的长。

变形（一），如图，在ABC中， AN平分∠BAC，BNAN，

过点N做MN∥AC交BC于点M，若AB=14，AC=19，求MN的长。

变形（二），如图，在ABC中，M是BC的中点，AN平分

∠BAC，BNAN，若AB=14，AC=19，求MN的长。

变形（三），如图，在ABC中，M是BC的中点，，ANBD于N，若MN= CD，求证：AN平分∠BAC。

通过对已知条件的发散，可由一题变换为四题，使学生在角平分线、垂直、三角形全等、三角形中位线等知识点间灵活切换，由易到难，进而达到举一反三、提高学生发散思维能力的目的。

6.启发引导，保持学生思维的持续性

《论语》中有"不愤不启，不悱不发"，说的是：学生如果不是经过冥思苦想而又想不通时，就不去启发他；如果不是经过思考并有所体会，想说却说不出来时，就不去开导他。在具体上课过程中，当教师提出问题后，一般要让学生先做一番思考，必要时教师再做适当的启发引导。例如在教授《三角形相似的判定》这一内容时，可选用如下例题：

已知：BD和CE是ABC的中线，它们相交于F，求证：

有的教师没有认真揣摩学生的思路，直接提出连结DE，强行让学生证明EFD∽CFB，这样，教师就可能脱离学生实际，没有与学生思维同步。有经验的教师在备课时，应认真揣摩学生的心理，估计课堂可能发生的各种情况，先将不正确的思路排除，再将学生引入正途。对于这道例题，学生可能会去证明BFE∽CFD，这时要让学生先议论，先说明这两个三角形不一定相似，即使相似，也不符合求证的要求，这就为学生释去了疑虑，学生也易于接受教师的启发，甚至不用启发，他们也会利用中点的条件，连成中位线，因为这已是水到渠成的事了。因此教师在上课过程中要始终关注学生的思维进程，注意对疑难问题的启发，保持学生思维的持续性。

7.师生互动，强化学生思维的质疑能力

所谓培养质疑能力是指培养学生数学思维的批判精神。在教学中，要教会学生逐步运用辨异、分析、对比的方法，从而提高学生辨别是非的能力；鼓励学生质疑问难，勇于发表自己的见解，用批判性的态度去分析，引导学生严密、全面地利用已知条件解题，在解题关键之处学会调控自己的思维，及时的进行自我反思，尤其是不迷信于老师和课本，有分析地接受老师所讲的知识点，凡事都要经过自己的头脑去思考，然后再做判断。例如在上七年级（下）《一元一次不等式组》的时候，其中有一道例题如下：解不等式组：

当我们通过计算分别得到 时，此时我们不能直接告诉学生说解集 ，因为"同大取大，同小取小"。如果直接告诉学生这个口诀，则学生不会知其所以然，必导致学生在思维方面的"短路"。因此在教求解不等式组的解集时，我们应不厌其烦地画出数轴，先把各分支解集表示出来，寻找各分支公共部分，得到解集 ，进而再总结，并提炼出口诀。教师在教学中要鼓励学生勇于探索，敢于提出独立见解，从而培养学生数学思维的批判精神。

对于初中生的数学教学，作为教师应认识到培养学生的形象思维、抽象思维、发散思维以及思维的持续性和批判性等能力和品质，对于学好数学以及提高学生的素质都是十分重要的。因此，我们必需在具体的教学中不断探索，以提高学生的数学思维能力。

参考文献

[1] 数学教育学，田万海，浙江教育出版社，1999年10月。

[2] 数学课程标准解读，刘兼、孙晓天，北京师范大学出版社，2003年6月。

[3] 义务教育课程标准实验教科书数学（七年级下），王建磐 ，华东师范大学出版社，2007年11月。

[4] 中学数学教学艺术与研究，任勇、张，山东教育出版社，2000年6月